Funkce Landaus - Landaus function - Wikipedia

v matematika, Landauova funkce G(n), pojmenoval podle Edmund Landau, je definován pro všechny přirozené číslo n být největší objednat prvku prvku symetrická skupina S_n. Ekvivalentně G(n) je největší nejmenší společný násobek (lcm) jakéhokoli rozdělit z n, nebo maximální počet opakování a permutace z n prvky lze rekurzivně aplikovat na sebe, než se vrátí do své počáteční sekvence.

Například 5 = 2 + 3 a lcm (2,3) = 6. Žádný jiný oddíl 5 nepřinese větší lcm, takže G(5) = 6. Prvek řádu 6 ve skupině S₅ lze napsat v notaci cyklu jako (1 2) (3 4 5). Všimněte si, že stejný argument platí pro číslo 6, tj. G(6) = 6. Existují libovolně dlouhé sekvence po sobě jdoucích čísel n, n + 1, …, n + m na které funkce G je konstantní.^[1]

The celočíselná sekvence G(0) = 1, G(1) = 1, G(2) = 2, G(3) = 3, G(4) = 4, G(5) = 6, G(6) = 6, G(7) = 12, G(8) = 15, ... (sekvence A000793 v OEIS ) je pojmenován po Edmund Landau, který se ukázal v roce 1902^[2] že

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { ln (g (n))} { sqrt {n ln (n)}}} = 1}

(kde ln označuje přirozený logaritmus ). Jinými slovy, ${ displaystyle g (n) sim e ^ { sqrt {n ln n}}}$ .

Prohlášení, že

{ displaystyle ln g (n) <{ sqrt { mathrm {Li} ^ {- 1} (n)}}}

pro všechny dostatečně velké n, kde Li⁻¹ označuje inverzní k logaritmická integrální funkce, je ekvivalentní s Riemannova hypotéza.

To lze ukázat

{ displaystyle g (n) leq e ^ {n / e}}

s jedinou rovností mezi funkcemi na n = 0, a opravdu

{ Displaystyle g (n) leq exp left (1,05314 { sqrt {n ln n}} right).}

^[3]

Poznámky

^ Nicolas, Jean-Louis (1968), „Sur l'ordre maximum d'un élément dans le groupe S_n des permutations ", Acta Arithmetica (francouzsky), 14: 315–332
^ Landau, str. 92–103
^ Jean-Pierre Massias, Majoration explicite de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (5) 6 (1984), č. 3-4, str. 269–281 (1985).

Reference

E. Landau, „Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [O maximálním pořadí permutací daného stupně]“, Oblouk. Matematika. Phys. Ser. 3, sv. 5, 1903.
W. Miller, „Maximální pořadí prvku konečné symetrické skupiny“, Americký matematický měsíčník, sv. 94, 1987, str. 497–506.
J.-L. Nicolas, „O funkci Landau G(n)", v Matematika Paula Erdőse, sv. 1, Springer-Verlag, 1997, s. 228–240.

externí odkazy

OEIS posloupnost A000793 (Landauova funkce na přirozených číslech)

[1] Nicolas, Jean-Louis (1968), „Sur l'ordre maximum d'un élément dans le groupe S_n des permutations ", Acta Arithmetica (francouzsky), 14: 315–332

[2] Landau, str. 92–103

[3] Jean-Pierre Massias, Majoration explicite de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (5) 6 (1984), č. 3-4, str. 269–281 (1985).

[1]

[2]

[3]