Selbergsova domněnka zeta funkce - Selbergs zeta function conjecture - Wikipedia

V matematice je Selbergova domněnka, pojmenoval podle Atle Selberg, je teorém o hustotě nul Funkce Riemann zeta ζ (1/2 +to). Je známo, že funkce má na této přímce v komplexní rovině nekonečně mnoho nul: jde o to, jak hustě jsou seskupeny. Výsledky v této oblasti lze formulovat z hlediska N(T), funkce počítající nuly na řádku, pro který je hodnota t vyhovuje 0 ≤ t ≤ T.

Pozadí

V roce 1942 Atle Selberg vyšetřoval problém Hardy – domněnka Littlewood 2; a dokázal to pro všechny

${ displaystyle varepsilon> 0}$

existují

${ displaystyle T_ {0} = T_ {0} ( varepsilon)> 0}$

a

${ displaystyle c = c ( varepsilon)> 0,}$

takové, že pro

${ displaystyle T geq T_ {0}}$

a

${ displaystyle H = T ^ {0,5+ varepsilon}}$

nerovnost

${ displaystyle N (T + H) -N (T) geq cH log T}$

platí.

Ve svém tahu Selberg uvedl domněnku týkající se kratších intervalů,^[1] totiž že je možné snížit hodnotu exponentu A = 0,5 palce

${ displaystyle H = T ^ {0,5+ varepsilon}.}$

Důkaz domněnky

V roce 1984 Anatolii Karatsuba dokázal^[2][3][4] že za pevnou ${ displaystyle varepsilon}$ splnění podmínky

${ displaystyle 0 < varepsilon <0,001,}$

dostatečně velká T a

${ displaystyle H = T ^ {a + varepsilon},}$ ${ displaystyle a = { tfrac {27} {82}} = { tfrac {1} {3}} - { tfrac {1} {246}},}$

interval na souřadnici t (T, T + H) obsahuje alespoň cH lnT skutečné nuly Riemannovy zeta funkce

${ displaystyle zeta { Bigl (} { tfrac {1} {2}} + it { Bigr)};}$

a tím potvrdil Selbergovu domněnku. Odhady Selberg a Karatsuba nelze s ohledem na pořadí růstu zlepšit T → +∞.

Další práce

V roce 1992 se Karatsuba osvědčil^[5] že analogie Selbergova domněnky platí pro „téměř všechny“ intervaly (T, T + H], H = T^ε, kde ε je libovolně malé pevné kladné číslo. Metoda Karatsuba umožňuje zkoumat nuly Riemannovy zeta funkce na „supershort“ intervalech kritické linie, tj. Na intervalech (T, T + H], délka H z nichž roste pomaleji než kterýkoli jiný, i když libovolně malý T.

Zejména dokázal, že pro všechna daná čísla ε, ε₁ splňující podmínky 0 <ε, ε₁<1 téměř všechny intervaly (T, T + H] pro H ≥ exp [(lnT)^ε] obsahují alespoň H (lnT)^{1 −ε₁} nuly funkce ζ (1/2 +to). Tento odhad je velmi blízký podmíněnému výsledku, který vyplývá z Riemannova hypotéza.

Reference