Mersova věta - Maiers theorem - Wikipedia

v teorie čísel, Maierova věta (Maier 1985 ) je věta o počtech připraví v krátkých intervalech, pro které je Cramér pravděpodobnostní model prvočísel dává špatnou odpověď.

Věta říká, že pokud π je funkce počítání prvočísel a λ je pak větší než 1

${ displaystyle { frac { pi (x + ( log x) ^ { lambda}) - pi (x)} {( log x) ^ { lambda -1}}}}$

nemá limit jako X má sklon k nekonečnu; přesněji lim sup je větší než 1 a lim inf je menší než 1. Cramérův model prvočísel nesprávně předpovídá, že má limit 1, když λ≥2 (pomocí Lemma Borel – Cantelli ).

Důkazy

Maier dokázal svou větu pomocí Buchstab Ekvivalent pro funkci počítání kvazi-prvočísel (množina čísel bez prvočinitelů nižší než mezní) ${ displaystyle z = x ^ {1 / u}}$, ${ displaystyle u}$ pevný). Rovněž použil ekvivalent počtu prvočísel v aritmetických postupech dostatečné délky kvůli Gallagher.

Pintz (2007) dal další důkaz a také ukázal, že většina pravděpodobnostních modelů prvočísel nesprávně předpovídá střední kvadratická chyba

${ displaystyle int _ {2} ^ {Y} vlevo ( sum _ {2$

jedné verze věta o prvočísle.

Reference

• Maier, Helmut (1985), „Připravuje v krátkých intervalech“, Michigan Mathematical Journal, 32 (2): 221–225, doi:10,1307 / mmj / 1029003189, ISSN  0026-2285, PAN  0783576, Zbl  0569.10023
• Pintz, János (2007), „Cramér vs. Cramér. Na Cramérově pravděpodobnostním modelu pro prvočísla“, Funkce a Přibližné komentáře Mathematici, 37: 361–376, doi:10,7169 / facm / 1229619660, ISSN  0208-6573, PAN  2363833, Zbl  1226.11096
• Soundararajan, K. (2007), "Distribuce prvočísel", v Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (eds.), Equidistribuce v teorii čísel, úvod. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11-22, 2005, NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, 237, Dordrecht: Springer-Verlag, str. 59–83, ISBN  978-1-4020-5403-7, Zbl  1141.11043