Montgomerysova párová korelační domněnka - Montgomerys pair correlation conjecture - Wikipedia

Hugh Montgomery v Oberwolfach v roce 2008

V matematice Montgomeryho párová korelační domněnka je domněnka, kterou vytvořil Hugh Montgomery  (1973 ), že párová korelace mezi páry nul z Funkce Riemann zeta (normalizováno na jednotkové průměrné rozteče) je

${ displaystyle 1- left ({ frac { sin ( pi u)} { pi u}} right) ^ {2} + delta (u),}$

který, jak Freeman Dyson ukázal na něj, je stejný jako ten pár korelační funkce z náhodné hermitovské matice. Neformálně to znamená, že šance na nalezení nuly ve velmi krátkém intervalu délky 2πL/ log (T) ve vzdálenosti 2πu/ log (T) z nuly 1/2 +to je o L krát výše uvedený výraz. (Faktor 2π / log (T) je normalizační faktor, který lze neformálně považovat za průměrnou vzdálenost mezi nulami s imaginární částí kolem T.) Andrew Odlyzko  (1987 ) ukázal, že domněnka byla podpořena rozsáhlými počítačovými výpočty nul. Domněnka byla rozšířena na korelace více než 2 nul a také na zeta funkce automorfních reprezentací (Rudnick a Sarnak 1996 ). V roce 1982 student Montgomeryho Ali Erhan Özlük prokázal domněnku párové korelace pro některé Dirichletovy L-funkce.A.E. Ozluk  (1982 )

Spojení s náhodnými jednotnými maticemi by mohlo vést k prokázání Riemannova hypotéza. The Hilbert-Pólya domněnka tvrdí, že nuly funkce Riemann Zeta odpovídají vlastním číslům lineárního operátoru a implikuje RH. Někteří lidé si myslí, že jde o slibný přístup (Andrew Odlyzko  (1987 )).

Montgomery studoval Fourierova transformace F(X) párové korelační funkce a ukázal (za předpokladu Riemannovy hypotézy), že se rovnal |X| pro |X| <1. Jeho metody to nedokázaly určit pro |X| ≥1, ale domníval se, že u těchto se to rovná 1 X, což znamená, že funkce párové korelace je jak je uvedeno výše. Motivovala ho také představa, že Riemannova hypotéza není cihlová zeď a člověk by měl mít volnost silnější domněnky.

Numerický výpočet Odlyzko

Skutečná čára popisuje dvoubodovou korelační funkci náhodné matice typu GUE. Modré tečky popisují normalizované mezery netriviálních nul funkce Riemann zeta, prvních 10⁵ nuly.

V 80. letech zahájil Odlyzko, motivovaný Montgomeryho domněnkou, intenzivní numerické studium statistik nul ζ (s). Potvrdil, že rozdělení mezer mezi netriviálními nulami pomocí podrobného numerického výpočtu a prokázal, že Montgomeryho domněnka bude pravdivá a rozdělení bude souhlasit s rozdělením mezer mezi GUE náhodná matice vlastní čísla pomocí Cray X-MP. V roce 1987 uvedl výpočty v novinách Andrew Odlyzko  (1987 ).

Pro netriviální nulu 1/2 + iγ_n, nechť jsou normalizované mezery

${ displaystyle delta _ {n} = { frac { gamma _ {n + 1} - gamma _ {n}} {2 pi}} { log { frac { gamma _ {n}} {2 pi}}}.}$

Pak bychom očekávali následující vzorec jako limit pro ${ displaystyle M, N do infty}$:

${ displaystyle { frac {1} {M}} {(n, k) | N leq n leq N + M, , k geq 0, ,}$${ displaystyle delta _ {n} + delta _ {n + 1} + cdots + delta _ {n + k} in [ alpha, beta] }}$${ displaystyle sim int _ { alpha} ^ { beta} vlevo (1 - { biggl (} { frac { sin { pi u}} { pi u}} { biggr)} ^ {2} vpravo) du}$

Na základě nového algoritmu vyvinutého Odlyzkem a Schönhageem, který jim umožnil vypočítat hodnotu ζ (1/2 + it) v průměrném čase t^ε kroky, Odlyzko vypočítal miliony nul ve výškách kolem 10²⁰ a poskytl nějaké důkazy pro domněnku o GUE.^[1][2]

Obrázek obsahuje prvních 10⁵ netriviální nuly Riemannovy zeta funkce. Jak se vzorkuje více nul, tím více se jejich rozdělení blíží tvaru náhodné matice GUE.

Viz také

• Lehmerův pár

Reference

• Ozluk, A.E. (1982), Korelace párů nul Dirichletových L-funkcí, Ph.D. disertační práce, Ann Arbor: Univ. Michiganu, PAN  2632180
• Katz, Nicholas M.; Sarnak, Peter (1999), „Nuly funkcí zeta a symetrie“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 36 (1): 1–26, doi:10.1090 / S0273-0979-99-00766-1, ISSN  0002-9904, PAN  1640151
• Montgomery, Hugh L. (1973), „Párová korelace nul funkce zeta“, Teorie analytických čísel, Proc. Symposy. Čistá matematika., XXIV„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, s. 181–193, PAN  0337821
• Odlyzko, A. M. (1987), „O rozdělení mezer mezi nulami funkce zeta“, Matematika výpočtu, 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890, ISSN  0025-5718, JSTOR  2007890, PAN  0866115
• Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1996), „Nuly hlavních L-funkcí a teorie náhodných matic“, Duke Mathematical Journal, 81 (2): 269–322, doi:10.1215 / S0012-7094-96-08115-6, ISSN  0012-7094, PAN  1395406