Selbergův stopový vzorec - Selberg trace formula

v matematika, Selbergův stopový vzorec, představil Selberg (1956), je výraz pro charakter znaku jednotkové zastoupení z $G$ v prostoru $L 2 (G / Γ)$ z čtvercově integrovatelné funkce, kde $G$ je Lež skupina a $Γ$ kofinit diskrétní skupina. Znak je dán sledováním určitých funkcí na $G$ .

Nejjednodušší případ je kdy $Γ$ je cocompact, když se reprezentace rozpadne na diskrétní součty. Zde je vzorec trasování rozšířením Frobeniův vzorec pro charakter indukovaná reprezentace konečných skupin. Když $Γ$ je podskupina pro kompromis $Z$ reálných čísel $G = R$ , Selbergův stopový vzorec je v podstatě Poissonův součtový vzorec.

Případ, kdy $G / Γ$ není kompaktní je těžší, protože existuje spojité spektrum, popsáno pomocí Eisensteinova řada. Selberg vypracoval nekompaktní případ, když $G$ je skupina $SL (2, R)$ ; rozšíření do skupin s vyšší hodností je Arthur – Selbergův stopový vzorec.

Když $Γ$ je základní skupina a Riemannův povrch Selbergův stopový vzorec popisuje spektrum diferenciálních operátorů, jako je Laplacian pokud jde o geometrická data zahrnující délky geodetik na Riemannově povrchu. V tomto případě je Selbergův stopový vzorec formálně podobný explicitní vzorce týkající se nul Funkce Riemann zeta na prvočísla, přičemž nulové nuly odpovídají vlastním číslům Laplacian a prvočísla odpovídají geodetice. Analogicky motivovaný Selberg představil Selbergova funkce zeta Riemannova povrchu, jehož analytické vlastnosti jsou zakódovány Selbergovým stopovým vzorcem.

Raná historie

Případy zvláštního zájmu zahrnují ty, pro které je prostor a kompaktní povrch Riemann $S$ . První vydání v roce 1956 ze dne Atle Selberg zabýval tímto případem, jeho Laplacian diferenciální operátor a jeho pravomoci. Stopy sil Laplaciana lze použít k definování Selbergova funkce zeta. Zájem tohoto případu byla analogie mezi získaným vzorcem a explicitní vzorce z prvočíslo teorie. Tady uzavřená geodetika na $S$ hrát roli prvočísel.

Zároveň zájem o stopy Operátoři Hecke byl spojen s Eichler – Selbergův stopový vzorec, Selberg a Martin Eichler, pro Heckeho operátora působícího ve vektorovém prostoru o hrotové formy dané hmotnosti, pro danou podskupina kongruence z modulární skupina. Zde je stopou operátora identity dimenze vektorového prostoru, tj. Dimenze prostoru modulárních forem daného typu: veličina tradičně vypočítaná pomocí Riemann – Rochova věta.

Aplikace

Vzorec trasování má aplikace aritmetická geometrie^{[Citace je zapotřebí ]} a teorie čísel. Například pomocí věty o trasování Eichler a Shimura vypočítal Funkce Hasse – Weil L. spojené s modulární křivky; Goro Shimura Metody obešly analýzu obsaženou ve stopovém vzorci. Vývoj parabolická kohomologie (z Eichlerova kohomologie ) poskytl čistě algebraické nastavení založené na skupinová kohomologie, s přihlédnutím k vrcholy charakteristika nekompaktních povrchů Riemann a modulárních křivek.

Trasovací vzorec má také čistě diferenciálně-geometrický aplikace. Například v důsledku Buser, délkové spektrum a Riemannův povrch je izospektrální invariant, v podstatě stopovým vzorcem.

Později práce

Obecná teorie Eisensteinova řada byl do značné míry motivován požadavkem oddělit spojité spektrum^{[Citace je zapotřebí ]}, což je charakteristické pro nekompaktní pouzdro.

Trasovací vzorec je často uveden pro algebraické skupiny nad adelesy, spíše než pro Lieovy skupiny, protože to vytváří odpovídající samostatnou podskupinu $Γ$ do algebraické skupiny nad polem, se kterým je technicky snadnější pracovat.

Současnými nástupci teorie jsou Arthur – Selbergův stopový vzorec vztahující se na případ obecného polojediného Ga mnoho studií stopového vzorce v Filozofie Langlands (řešení technických problémů, jako je endoskopie ). Selbergův vzorec pro stopu lze s určitým úsilím odvodit ze systému Arthur – Selberg.

Selbergův vzorec pro kompaktní hyperbolické povrchy

Kompaktní hyperbolický povrch $X$ lze zapsat jako prostor oběžných drah

{ displaystyle Gamma zpětné lomítko mathbf {H},}

kde $Γ$ je podskupina $PSL (2, R)$ , a $H$ je horní polovina roviny, a $Γ$ jedná $H$ podle lineární frakční transformace.

Selbergův vzorec pro stopu je pro tento případ jednodušší než obecný případ, protože povrch je kompaktní, takže zde není spojité spektrum a skupina $Γ$ nemá žádné parabolické nebo eliptické prvky (jiné než totožnost).

Pak spektrum pro Operátor Laplace – Beltrami na $X$ je diskrétní a reálné, protože Laplaceův operátor je samočinný s kompaktním rozpouštědlo; to je

{ displaystyle 0 = mu _ {0} < mu _ {1} leq mu _ {2} leq cdots}

kde vlastní čísla $μ n$ odpovídají $Γ$ -invariantní vlastní funkce $u$ v $C \infty (H)$ Laplacian; jinými slovy

{ displaystyle { begin {cases} u ( gamma z) = u (z), qquad forall gamma in gamma y ^ {2} left (u_ {xx} + u_ {yy} right) + mu _ {n} u = 0. end {cases}}}

Použití proměnné substituce

{ displaystyle mu = s (1 s), qquad s = { tfrac {1} {2}} + ir}

vlastní čísla jsou označena

{ displaystyle r_ {n}, n geq 0.}

Pak Selbergův stopový vzorec je dána

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} h (r_ {n}) = { frac { mu (X)} {4 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} r , h (r) tanh ( pi r) , dr + sum _ { {T }} { frac { log N (T_ {0})} {N (T) ^ { frac {1} {2}} - N (T) ^ {- { frac {1} {2}}}}} g ( log N (T)).}

Pravá strana je součtem tříd konjugace skupiny $Γ$ , přičemž první člen odpovídá prvku identity a zbývající členy tvoří součet oproti ostatním třídám konjugace ${T}$ (které jsou v tomto případě všechny hyperbolické). Funkce $h$ musí splňovat následující:

být analytický na $| Im (r)| \leq 1 / 2 + δ$ ;
$h (- r) = h (r)$ ;
existují kladné konstanty $δ$ a $M$ takové, že:

{ displaystyle vert h (r) vert leq M left (1+ vert { text {Re}} (r) vert right) ^ {- 2- delta}.}

Funkce $G$ je Fourierova transformace $h$ , to znamená,

{ displaystyle h (r) = int _ {- infty} ^ { infty} g (u) e ^ {iru} , du.}

Reference

Fischer, Jürgen (1987), Přístup k Selbergově stopovému vzorci pomocí Selbergovy zeta funkcePřednášky z matematiky, 1253, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0077696, ISBN 978-3-540-15208-8, PAN 0892317
Gel'fand, I. M.; Graev, M. I .; Pyatetskii-Shapiro, I. I. (1990), Teorie reprezentace a automorfní funkceZobecněné funkce, 6, Boston, MA: Akademický tisk, ISBN 978-0-12-279506-0, PAN 1071179
Hejhal, Dennis A. (1976), "Trasovací vzorec Selberg a funkce Riemann zeta", Duke Mathematical Journal, 43 (3): 441–482, doi:10.1215 / S0012-7094-76-04338-6, ISSN 0012-7094, PAN 0414490
Hejhal, Dennis A. (1976), Selbergův vzorec pro sledování PSL (2, R). Sv. Já, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 548, 548, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0079608, ISBN 978-3-540-07988-0, PAN 0439755
Hejhal, Dennis A. (1983), Selbergův vzorec pro sledování PSL (2, R). Sv. 2Přednášky z matematiky, 1001, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0061302, ISBN 978-3-540-12323-1, PAN 0711197
McKean, H. P. (1972), „Selbergův stopový vzorec aplikovaný na kompaktní Riemannovu plochu“, Sdělení o čisté a aplikované matematice, 25 (3): 225–246, doi:10,1002 / cpa. 3160250302, ISSN 0010-3640, PAN 0473166
Selberg, Atle (1956), „Harmonická analýza a diskontinuální skupiny ve slabě symetrických Riemannovských prostorech s aplikacemi na Dirichletovu řadu“, J. Indian Math. Soc. (N.S.), 20: 47–87, PAN 0088511
Sunada, Toshikazu (1991), Stopové vzorce ve spektrální geometrii, Proc. ICM-90 Kyoto, Springer-Verlag, str. 577–585

externí odkazy

Stránka zdroje Selbergova trasovacího vzorce