Funkce Mertens - Mertens function

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Relevantní diskuse je k dispozici na internetu diskusní stránka. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Funkce Mertens"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Funkce Mertens na n = 10 000

Funkce Mertens na n = 10 000 000

v teorie čísel, Funkce Mertens je definován pro všechny pozitivní celá čísla n tak jako

${ displaystyle M (n) = součet _ {k = 1} ^ {n} mu (k)}$

kde μ (k) je Möbiova funkce. Funkce je pojmenována na počest Franz Mertens. Tuto definici lze rozšířit na pozitivní reálná čísla jak následuje:

${ displaystyle M (x) = M ( lfloor x rfloor).}$

Méně formálně, ${ displaystyle M (x)}$ je počet celá čísla bez čtverců až do X které mají sudý počet prvočísel, minus počet těch, které mají liché číslo.

První 143 M(n) je: (sekvence A002321 v OEIS )

Funkce Mertens pomalu roste v pozitivním i negativním směru jak v průměru, tak ve špičkové hodnotě a osciluje zjevně chaotickým způsobem procházejícím nulou, když n má hodnoty

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... (sekvence A028442 v OEIS ).

Protože funkce Möbius přijímá pouze hodnoty −1, 0 a +1, pohybuje se funkce Mertens pomalu a není X takové, že |M(X)| > X. The Mertensova domněnka šel dále s tím, že žádné nebudou X kde absolutní hodnota funkce Mertens přesahuje druhou odmocninu z X. Mertensova domněnka byla v roce 1985 prokázána jako nepravdivá Andrew Odlyzko a Herman te Riele. Nicméně Riemannova hypotéza je ekvivalentní slabší domněnce o růstu M(X), jmenovitě M(X) = Ó(X^{1/2 + ε}). Protože vysoké hodnoty pro M(X) rostou alespoň tak rychle jako ${ displaystyle { sqrt {x}}}$, to klade poměrně silnou vazbu na jeho tempo růstu. Tady, Ó odkazuje na Velká O notace.

Skutečná rychlost růstu M(X) není znám. Tvrdí to nepublikovaná domněnka Steva Gonka

${ displaystyle 0 < limsup _ {x to infty} { frac {| M (x) |} {{ sqrt {x}} ( log log log x) ^ {5/4}} } < infty.}$

Pravděpodobnostní důkazy o této domněnce poskytuje Nathan Ng.^[1] Zejména Ng poskytuje podmíněný důkaz, že funkce ${ displaystyle e ^ {- y / 2} M (e ^ {y})}$ má omezující distribuci ${ displaystyle nu}$ na ${ displaystyle mathbb {R}}$. To znamená pro všechny omezené Lipschitz kontinuální funkce ${ displaystyle f}$ ve skutečnosti to máme

${ displaystyle lim _ {Y rightarrow infty} { frac {1} {Y}} int _ {0} ^ {Y} f left (e ^ {- y / 2} M (e ^ { y}) right) dy = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) d nu (x).}$

Zastoupení

Jako integrál

Tato část může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Ne důvod vyčištění bylo upřesněno. Prosím pomozte vylepšit tuto sekci jestli můžeš. (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Za použití Produkt Euler jeden to najde

${ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = prod _ {p} (1-p ^ {- s}) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {s}}}}$

kde ${ displaystyle zeta (s)}$ je Funkce Riemann zeta a produkt je převzat prvočísla. Potom pomocí tohoto Dirichletova řada s Perronův vzorec, jeden získá:

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} int _ {ci infty} ^ {c + i infty} { frac {x ^ {s}} {s zeta (s)} } , ds = M (x)}$

kde C > 1.

Naopak, jeden má Mellinova transformace

${ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = s int _ {1} ^ { infty} { frac {M (x)} {x ^ {s + 1}}} , dx}$

který platí pro ${ displaystyle mathrm {Re}> 1}$.

Kuriózní vztah daný samotným Mertensem zahrnující druhý Čebyševova funkce je

${ displaystyle psi (x) = M levý ({ frac {x} {2}} pravý) log (2) + M levý ({ frac {x} {3}} pravý) log (3) + M left ({ frac {x} {4}} right) log (4) + cdots.}$

Za předpokladu, že funkce Riemannova zeta nemá žádné více než triviální nuly, má jeden „přesný vzorec“ věta o zbytku:

${ displaystyle M (x) = součet _ { rho} { frac {x ^ { rho}} { rho zeta '( rho)}} - 2+ součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1} (2 pi) ^ {2n}} {(2n)! n zeta (2n + 1) x ^ {2n}}}.}$

Weyl domníval se, že Mertensova funkce splňuje přibližnou funkčně-diferenciální rovnici

${ displaystyle { frac {y (x)} {2}} - součet _ {r = 1} ^ {N} { frac {B_ {2r}} {(2r)!}} D_ {t} ^ {2r-1} y left ({ frac {x} {t + 1}} right) + x int _ {0} ^ {x} { frac {y (u)} {u ^ {2 }}} , du = x ^ {- 1} H ( log x)}$

kde H(X) je Funkce Heaviside step, B jsou Bernoulliho čísla a všechny deriváty s ohledem na t jsou hodnoceny na t = 0.

K dispozici je také stopový vzorec zahrnující součet přes Möbiovu funkci a nuly Riemannovy zeta funkce ve tvaru

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} { sqrt {n}}} g ( log n) = sum _ { gamma} { frac {h ( gamma)} { zeta '(1/2 + i gamma)}} + 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (2 pi) ^ {2n}} {(2n)! Zeta (2n + 1)}} int _ {- infty} ^ { infty} g (x) e ^ {- x (2n + 1 / 2)} , dx,}$

kde první součet na pravé straně je převzat netriviální nuly funkce Riemann zeta a (G,h) jsou spojeny Fourierovou transformací, takže

${ displaystyle 2 pi g (x) = int _ {- infty} ^ { infty} h (u) e ^ {iux} , du.}$

Jako součet za sekvence Farey

Další vzorec pro funkci Mertens je

${ displaystyle M (n) = - 1+ součet _ {a in { mathcal {F}} _ {n}} e ^ {2 pi ia}}$ kde ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ je Farey sekvence řádu n.

Tento vzorec se používá v dokladu o Věta Franel – Landau.^[2]

Jako determinant

M(n) je určující z n × n Redhefferova matice, a (0,1) matice ve kterémA_ij je 1, pokud j je 1 nebo i rozděluje j.

Jako součet počtu bodů pod n-dimenzionálními hyperboloidy^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle M (x) = 1- součet _ {2 leq a leq x} 1 + { podmnožina {ab leq x} { sum _ {a geq 2} sum _ {b geq 2}}} 1 - { underset {abc leq x} { sum _ {a geq 2} sum _ {b geq 2} sum _ {c geq 2}}} 1 + { underset {abcd leq x} { sum _ {a geq 2} sum _ {b geq 2} sum _ {c geq 2} sum _ {d geq 2}}} 1- cdots}$

Tato formulace rozšiřující Mertensovu funkci naznačuje asymptotické hranice získané zvážením Problém dělitele Piltz který zobecňuje Dirichletův dělitel problém výpočetní techniky asymptotické odhady pro souhrnnou funkci funkce dělitele.

Výpočet

Žádná z výše zmíněných metod nevede k praktickým algoritmům pro výpočet funkce Mertens. Použitím metod síta podobných těm, které se používají při počítání prvočísel, byla funkce Mertens vypočítána pro všechna celá čísla až do rostoucího rozsahu X.^[3][4]

Funkce Mertens pro všechny celočíselné hodnoty až X lze vypočítat v O (x log log x) čas. Kombinatorické algoritmy mohou vypočítat izolované hodnoty M (x) v Vůl^2/3(log log x)^1/3) čas a jsou také známy rychlejší nekombinatorní metody.^[5]

Vidět OEIS: A084237 pro hodnoty M(X) při síle 10.

Známé horní hranice

Ng konstatuje, že Riemannova hypotéza (RH) je ekvivalentní s

${ displaystyle M (x) = O left ({ sqrt {x}} exp left ({ frac {C cdot log x} { log log x}} right) right), }$

pro nějakou pozitivní konstantu ${ displaystyle C> 0}$. Další horní hranice získal Maier, Montgomery a Soundarajan za předpokladu RH včetně

${ displaystyle { begin {aligned} | M (x) | & ll { sqrt {x}} exp left (C_ {2} cdot ( log x) ^ { frac {39} {61 }} right) | M (x) | & ll { sqrt {x}} exp left ({ sqrt { log x}} ( log log x) ^ {14} right ). end {zarovnáno}}}$

Další explicitní horní hranice uvádí Kotnik as

${ displaystyle { begin {aligned} | M (x) | & <{ frac {x} {4345}}, { text {for}} x> 2160535 | M (x) | & <{ frac {0,58782 cdot x} { log ^ {11/9} (x)}}, { text {pro}} x> 685. end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Perronův vzorec
• Funkce Liouville

Poznámky

Reference

• Edwards, Harold (1974). Riemannova funkce Zeta. Mineola, New York: Dover. ISBN  0-486-41740-9.
• Mertens, F. (1897). „“Über eine zahlentheoretische Funktion ", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich ". Kleine Sitzungsber, IIa. 106: 761–830.
• Odlyzko, A. M.; te Riele, Herman (1985). „Disproof of the Mertens Conjecture“ (PDF). Journal für die reine und angewandte Mathematik. 357: 138–160.
• Weisstein, Eric W. "Funkce Mertens". MathWorld.
• Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A002321 (Mertens's function)“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
• Deléglise, M. a Rivat, J. „Výpočet součtu Möbiovy funkce.“ Experiment. Matematika. 5, 291-295, 1996. https://projecteuclid.org/euclid.em/1047565447
• Hurst, Greg (2016). "Výpočty funkce Mertens a vylepšené hranice v Mertensově domněnce". arXiv:1610.08551 [math.NT ].
• Nathan Ng, „Rozdělení součtové funkce Möbiovy funkce“, Proc. London Math. Soc. (3) 89 (2004) 361-389. http://www.cs.uleth.ca/~nathanng/RESEARCH/mobius2b.pdf