Lee – Yangova věta - Lee–Yang theorem

v statistická mechanika, Lee – Yangova věta uvádí, že pokud funkce oddílů některých modelů v statistická teorie pole s feromagnetickými interakcemi jsou považovány za funkce vnějšího pole, pak jsou všechny nuly čistě imaginární (nebo na jednotkové kružnici po změně proměnné). První verze byla prokázána pro Isingův model podle T. D. Lee a C. N. Yang  (1952 ) (Lee & Yang 1952 ). Jejich výsledek byl později rozšířen na obecnější modely několika lidmi. Asano v roce 1970 rozšířil teorém Lee – Yang na Heisenbergův model a poskytl jednodušší důkaz použití Asano kontrakce. Simon & Griffiths (1973) rozšířil teorém Lee – Yang na určitá spojitá rozdělení pravděpodobnosti jejich aproximací superpozicí Isingových modelů. Newman (1974) dal obecnou větu, která zhruba tvrdila, že věta Lee – Yang platí pro feromagnetickou interakci za předpokladu, že platí pro nulovou interakci. Lieb & Sokal (1981) zobecněný Nový muž je výsledkem opatření na R k opatřením na euklidovský prostor ve vyšších dimenzích.

Spekulovalo se o vztahu mezi teorémem Lee – Yang a Riemannova hypotéza o Funkce Riemann zeta; viz (Knauf 1999 ).

Prohlášení

Předkola

Podél formalizace v Newman (1974) Hamiltonián je dán

${displaystyle H = -sum J_ {jk} S_ {j} S_ {k} -sum z_ {j} S_ {j}}$

kde S_j jsou točící se proměnné, z_j vnější pole. Systém se říká, že je feromagnetický pokud jsou všechny koeficienty v termínu interakce J_jk jsou nezáporné reality.

The funkce oddílu darováno

${displaystyle Z = int e ^ {- H} dmu _ {1} (S_ {1}) cdots dmu _ {N} (S_ {N})}$

kde každý dμ_j je sudý opatření ve skutečnosti R klesající v nekonečnu tak rychle, že vše Gaussovské funkce jsou integrovatelné, tj.

${displaystyle int e ^ {bS ^ {2}} d | mu _ {j} (S) |$

Říká se, že rychle klesající míra na realitách má Vlastnost Lee-Yang pokud jsou všechny nuly jeho Fourierovy transformace skutečné jako následující.

${displaystyle int e ^ {hS} dmu _ {j} (S) eq 0,, forall hin mathbb {H} _ {+}: = {zin mathbb {C} | Re {z}> 0}}$

Teorém

The Stavy Lee-Yangovy věty že pokud je Hamiltonián feromagnetický a všechna opatření dμ_j mít vlastnost Lee-Yang a všechna čísla z_j mít kladnou skutečnou část, pak je funkce oddílu nenulová.

${displaystyle Z ({z_ {j}}) eq 0,, forall z_ {j} in mathbb {H} _ {+}}$

Zejména pokud všechna čísla z_j jsou rovna nějakému číslu z, pak všechny nuly funkce oddílu (považováno za funkci z) jsou imaginární.

V původním Isingově modelu uvažovaném Leeem a Yangem mají všechna opatření podporu pro 2bodovou množinu −1, 1, takže funkci oddílu lze považovat za funkci proměnné ρ = E^πz. S touto změnou proměnné říká věta Lee – Yang, že všechny nuly ρ leží na jednotkovém kruhu.

Příklady

Některé příklady míry s vlastností Lee – Yang jsou:

• Míra Isingova modelu, který má podporu skládající se ze dvou bodů (obvykle 1 a -1), každý s váhou 1/2. Toto je původní případ, který zvažovali Lee a Yang.
• Distribuce rotace n/ 2, jehož podpora má n+1 stejně rozmístěné body, každý o hmotnosti 1 / (n + 1). Toto je zobecnění případu modelu Ising.
• Hustota míry rovnoměrně rozložená mezi −1 a 1.
• Hustota ${displaystyle exp (-lambda cosh (S)), dS}$
• Hustota ${displaystyle exp (-lambda S ^ {4} -bS ^ {2}), dS}$ pro kladné λ a skutečné b. To odpovídá (φ⁴)₂ Euklidovská kvantová teorie pole.
• Hustota ${displaystyle exp (-lambda S ^ {6} -aS ^ {4} -bS ^ {2}), dS}$ pro kladné λ ne vždy má vlastnost Lee-Yang.
• Pokud dμ má vlastnost Lee-Yang, tak exp (bS²) dμ pro všechny pozitivní b.
• Li dμ má vlastnost Lee-Yang, stejně tak má Q(S) dμ pro libovolný sudý polynom Q všechny jejichž nuly jsou imaginární.
• Konvoluce dvou měr s vlastností Lee-Yang má také vlastnost Lee-Yang.

Reference

• Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Statistická teorie pole. Sv. 1Cambridge monografie o matematické fyzice, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-34058-8, PAN  1175176
• Knauf, Andreas (1999), „Teorie čísel, dynamické systémy a statistická mechanika“, Recenze v matematické fyzice, 11 (8): 1027–1060, CiteSeerX  10.1.1.184.8685, doi:10.1142 / S0129055X99000325, ISSN  0129-055X, PAN  1714352
• Lee, T. D .; Yang, C. N. (1952), „Statistická teorie stavových rovnic a fázových přechodů. II. Mřížkový plyn a Isingův model“, Fyzický přehled, 87 (3): 410–419, doi:10.1103 / PhysRev.87.410, ISSN  0031-9007
• Lieb, Elliott H .; Sokal, Alan D. (1981), „Obecná Lee-Yangova věta pro jednosložkové a vícesložkové feromagnety“, Komunikace v matematické fyzice, 80 (2): 153–179, doi:10.1007 / BF01213009, ISSN  0010-3616, PAN  0623156
• Newman, Charles M. (1974), „Nuly funkce rozdělení pro zobecněné Isingovy systémy“, Sdělení o čisté a aplikované matematice, 27 (2): 143–159, doi:10,1002 / cpa.3160270203, ISSN  0010-3640, PAN  0484184
• Simon, Barry; Griffiths, Robert B. (1973), „(Φ⁴)₂ teorie pole jako klasický Isingův model “, Komunikace v matematické fyzice, 33 (2): 145–164, CiteSeerX  10.1.1.210.9639, doi:10.1007 / BF01645626, ISSN  0010-3616, PAN  0428998
• Yang, C.N .; Lee, T. D. (1952), "Statistická teorie stavových rovnic a fázových přechodů. I. Teorie kondenzace", Fyzický přehled, 87 (3): 404–409, doi:10.1103 / PhysRev.87.404, ISSN  0031-9007

Viz také

• Teorie Lee – Yang