Teorie Iwasawa - Iwasawa theory

v teorie čísel, Teorie Iwasawa je studium předmětů aritmetického zájmu přes nekonečno věže z počet polí. Začalo to jako Galoisův modul teorie ideální třídní skupiny, iniciován Kenkichi Iwasawa  (1959 ) (岩 澤 健 吉), jako součást teorie cyklotomická pole. Na začátku 70. let Barry Mazur považoval za zobecnění teorie Iwasawy abelianské odrůdy. Více nedávno (začátek 90. ​​let), Ralph Greenberg navrhl teorii Iwasawa pro motivy.

Formulace

Iwasawa pracoval s tzv ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$-extensions: nekonečná rozšíření a pole s číslem ${ displaystyle F}$ s Galoisova skupina ${ displaystyle Gamma}$ isomorfní se skupinou aditiv celá čísla p-adic pro některé prime str. Každá uzavřená podskupina ${ displaystyle Gamma}$ je ve formě ${ displaystyle Gamma ^ {p ^ {n}},}$ podle Galoisovy teorie, a ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$-rozšíření ${ displaystyle F _ { infty} / F}$ je to samé jako věž s poli

${ displaystyle F = F_ {0} podmnožina F_ {1} podmnožina F_ {2} podmnožina cdots podmnožina F _ { infty}}$

takhle ${ displaystyle operatorname {Gal} (F_ {n} / F) cong mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}.}$ Iwasawa studoval klasické moduly Galois ${ displaystyle F_ {n}}$ kladením otázek o struktuře modulů ${ displaystyle F _ { infty}.}$

Obecněji řečeno, teorie Iwasawa klade otázky týkající se struktury modulů Galois nad rozšířením se skupinou Galois a p-adic Lieova skupina.

Příklad

Nechat ${ displaystyle p}$ být prvočíslo a nechat ${ displaystyle K = mathbb {Q} ( mu _ {p})}$ být generované pole ${ displaystyle mathbb {Q}}$ podle ${ displaystyle p}$th kořeny jednoty. Iwasawa považoval následující věž s číselnými poli:

${ displaystyle K = K_ {0} podmnožina K_ {1} podmnožina cdots podmnožina K _ { infty},}$

kde ${ displaystyle K_ {n}}$ je pole generované sousedením s ${ displaystyle K}$ the strⁿ⁺¹-st kořeny jednoty a

${ displaystyle K _ { infty} = bigcup K_ {n}.}$

Skutečnost, že ${ displaystyle operatorname {Gal} (K_ {n} / K) simeq mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ z nekonečné Galoisovy teorie vyplývá, že ${ displaystyle operatorname {Gal} (K _ { infty} / K) simeq mathbb {Z} _ {p}.}$ Aby získal zajímavý modul Galois, vzal si Iwasawa ideální třídu ${ displaystyle K_ {n}}$a nechte ${ displaystyle I_ {n}}$ být jeho str- torzní část. Existují norma mapy ${ displaystyle I_ {m} do I_ {n}}$ kdykoli ${ displaystyle m> n}$, a to nám dává data z inverzní systém. Pokud jsme nastavili

${ displaystyle I = varprojlim I_ {n},}$

pak není těžké to z inverzní limitní konstrukce vidět ${ displaystyle I}$ je modul u konce ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}.}$ Ve skutečnosti, ${ displaystyle I}$ je modul přes Iwasawa algebra ${ displaystyle Lambda = mathbb {Z} _ {p} [[ Gamma]]}$. Tohle je 2-dimenzionální, pravidelný místní kroužek, a to umožňuje popsat nad ním moduly. Z tohoto popisu je možné obnovit informace o str- část třídní skupiny ${ displaystyle K.}$

Motivací zde je, že str-torze ve skupině ideální třídy ${ displaystyle K}$ již byl identifikován uživatelem Kummer jako hlavní překážka přímému důkazu o Fermatova poslední věta.

Spojení s analýzou p-adic

Od tohoto začátku v padesátých letech 20. století byla vybudována podstatná teorie. Bylo zaznamenáno zásadní spojení mezi teorií modulů a p-adické L-funkce které byly definovány v 60. letech 20. století Kubota a Leopoldt. Ty začínají od Bernoulliho čísla a použít interpolace definovat p-adické analogy Dirichletovy funkce L.. Ukázalo se, že teorie má vyhlídky na konečný posun od Kummerových stoletých výsledků dál pravidelné prvočísla.

Iwasawa formuloval hlavní domněnka Iwasawa teorie jako tvrzení, že dvě metody definování p-adických L-funkcí (podle teorie modulu, interpolací) by se měly shodovat, pokud to bylo dobře definované. To prokázal Mazur a Wiles (1984) pro ${ displaystyle mathbb {Q}}$ a pro všechny pole zcela reálných čísel podle Wiles (1990). Tyto důkazy byly po vzoru Ken Ribet důkaz o obrácení k Herbrandově teorému (tzv Věta Herbrand – Ribet ).

Karl Rubin našel elementárnější důkaz věty o Mazur-Wilesovi pomocí Kolyvagina Eulerovy systémy, popsáno v Lang (1990) a Washington (1997), a později prokázal další zobecnění hlavní domněnky pro imaginární kvadratická pole.

Zobecnění

Galoisova skupina nekonečné věže, startovní pole a druh studovaného aritmetického modulu lze měnit. V každém případě existuje hlavní domněnka spojující věž s a str-adická funkce L.

V roce 2002 Christopher Skinner a Eric Urban požadoval doklad o hlavní domněnka pro GL (2). V roce 2010 zveřejnili předtisk (Skinner & Urban 2010 ).

Viz také

• Věta Ferrero – Washington
• Tate modul číselného pole

Reference

• Coates, J.; Sujatha, R. (2006), Cyklomtomická pole a hodnoty ZetaSpringer Monografie z matematiky, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-33068-4, Zbl  1100.11002
• Greenberg, Ralph (2001), „Teorie Iwasawa --- minulost a současnost“, v Miyake, Katsuya (ed.), Teorie třídního pole - jeho sté výročí a vyhlídky (Tokio, 1998)Adv. Stud. Čistá matematika., 30, Tokio: Matematika. Soc. Japonsko, str. 335–385, ISBN  978-4-931469-11-2, PAN  1846466, Zbl  0998.11054
• Iwasawa, Kenkichi (1959), "On Γ-rozšíření algebraických číselných polí", Bulletin of the American Mathematical Society, 65 (4): 183–226, doi:10.1090 / S0002-9904-1959-10317-7, ISSN  0002-9904, PAN  0124316, Zbl  0089.02402
• Kato, Kazuya (2007), „Teorie a zobecnění Iwasawa“ (PDF), v Sanz-Solé, Marta; Soria, Javier; Varona, Juan Luis; et al. (eds.), Mezinárodní kongres matematiků. Sv. Já, Eur. Matematika. Soc., Zürich, s. 335–357, doi:10.4171/022-1/14, ISBN  978-3-03719-022-7, PAN  2334196
• Lang, Serge (1990), Cyklomtomická pole I a II, Postgraduální texty z matematiky, 121, S dodatkem od Karl Rubin (Combined 2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96671-7, Zbl  0704.11038
• Mazur, Barry; Wiles, Andrew (1984), "Třída pole abelian rozšíření Q", Inventiones Mathematicae, 76 (2): 179–330, doi:10.1007 / BF01388599, ISSN  0020-9910, PAN  0742853, Zbl  0545.12005
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Kohomologie číselných políGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Second ed.), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN  978-3-540-37888-4, PAN  2392026, Zbl  1136.11001
• Rubin, Karl (1991), „Hlavní dohady Iwasawovy teorie pro imaginární kvadratická pole“, Inventiones Mathematicae, 103 (1): 25–68, doi:10.1007 / BF01239508, ISSN  0020-9910, Zbl  0737.11030
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), Hlavní dohady Iwasawy pro GL₂ (PDF), str. 219
• Washington, Lawrence C. (1997), Úvod do cyklotomických polí, Postgraduální texty z matematiky, 83 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94762-4
• Wiles, Andrew (1990), „Iwasawaská domněnka pro naprosto reálná pole“, Annals of Mathematics, 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468, JSTOR  1971468, Zbl  0719.11071.

Další čtení

• de Shalit, Ehud (1987), Iwasawa teorie eliptických křivek se složitým násobením. str-adic L funkcePerspektivy v matematice, 3, Boston atd .: Academic Press, ISBN  978-0-12-210255-4, Zbl  0674.12004

externí odkazy

• „Teorie Iwasawa“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]