Kvadratická Gaussova suma - Quadratic Gauss sum

v teorie čísel, kvadratické Gaussovy částky jsou určité konečné součty kořenů jednoty. Kvadratický Gaussův součet lze interpretovat jako lineární kombinaci hodnot komplexu exponenciální funkce s koeficienty danými kvadratickým znakem; pro obecný charakter získáme obecnější Gaussova suma. Tyto objekty jsou pojmenovány po Carl Friedrich Gauss, který je důkladně prostudoval a použil je kvadratický, krychlový, a dvojkvadratický zákony o vzájemnosti.

Definice

Nechat str být lichý prvočíslo a A celé číslo. Pak Gaussova suma modulo str, G(A; str), je následující součet strth kořeny jednoty:

${ displaystyle g (a; p) = součet _ {n = 0} ^ {p-1} e ^ { frac {2 pi ian ^ {2}} {p}} = součet _ {n = 0} ^ {p-1} zeta _ {p} ^ {an ^ {2}}, qquad zeta _ {p} = e ^ { frac {2 pi i} {p}}.}$

Li A není dělitelné str, alternativní výraz pro Gaussův součet (který lze najít vyhodnocením

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {p-1} left (1+ left ({ frac {n} {p}} right) right) zeta _ {p} ^ {n }}$

dvěma různými způsoby) je

${ displaystyle G (a, chi) = součet _ {n = 0} ^ {p-1} chi (n) e ^ { frac {2 pi ian} {p}}.}$

Tady χ = (n/str) je Legendární symbol, což je kvadratický znak modulo str. Analogický vzorec s obecným charakterem χ místo symbolu Legendre definuje Gaussova suma G(χ).

Vlastnosti

• Hodnota Gaussova součtu je algebraické celé číslo v strth cyklotomické pole ℚ(ζ_str).
• Vyhodnocení Gaussova součtu lze omezit na případ A = 1:

${ displaystyle g (a; p) = left ({ frac {a} {p}} right) g (1; p).}$

(Pozor, toto platí pro liché str.)

• Přesná hodnota Gaussova součtu vypočítaná Gaussem je dána vzorcem

${ displaystyle g (1; p) = součet _ {n = 0} ^ {p-1} e ^ { frac {2 pi in ^ {2}} {p}} = { begin {cases} { sqrt {p}} & { text {if}} p equiv 1 { pmod {4}}, i { sqrt {p}} & { text {if}} p equiv 3 { pmod {4}}. End {cases}}}$

Skutečnost, že

${ displaystyle g (1; p) ^ {2} = left ({ frac {-1} {p}} right) p}$

bylo snadné dokázat a vedlo k jednomu z Gaussových důkazy kvadratické vzájemnosti. Nicméně, stanovení podepsat Ukázalo se, že Gaussova suma je mnohem obtížnější: Gauss ji mohl ustanovit až po několika letech práce. Později, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Leopold Kronecker, Issai Schur a další matematici našli různé důkazy.

Zobecněné kvadratické Gaussovy částky

Nechat A, b, C být přirozená čísla. The zobecněná Gaussova suma G(A, b, C) je definováno

${ displaystyle G (a, b, c) = součet _ {n = 0} ^ {c-1} e ^ {2 pi i { frac {an ^ {2} + bn} {c}}} ,}$

Klasický Gaussův součet je součet G(A, C) = G(A, 0, C).

Vlastnosti

• Gaussova suma G(A,b,C) záleží jen na třída zbytků z A a b modulo C.
• Gaussovy částky jsou multiplikativní, tj. vzhledem k přirozeným číslům A, b, C, d s gcd (C, d) = 1 jeden má

${ displaystyle G (a, b, cd) = G (ac, b, d) G (reklama, b, c).}$

To je přímý důsledek Čínská věta o zbytku.

• Jeden má G(A, b, C) = 0 -li gcd (A, C) > 1 kromě případu gcd (A,C) rozděluje b v tom případě jeden má

${ displaystyle G (a, b, c) = gcd (a, c) cdot G left ({ frac {a} { gcd (a, c)}}, { frac {b} { gcd (a, c)}}, { frac {c} { gcd (a, c)}} vpravo)}$

Při hodnocení kvadratických Gaussových součtů tedy lze vždy předpokládat gcd (A, C) = 1.

• Nechat A, b, C být celá čísla s ac ≠ 0 a ac + b dokonce. Jeden má následující analogii kvadratická vzájemnost zákon pro (ještě obecnější) Gaussovy sumy

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {| c | -1} e ^ { pi i { frac {an ^ {2} + bn} {c}}} = left | { frac { c} {a}} doprava | ^ { frac {1} {2}} e ^ { pi i { frac {| ac | -b ^ {2}} {4ac}}} sum _ {n = 0} ^ {| a | -1} e ^ {- pi i { frac {cn ^ {2} + bn} {a}}}.}$

• Definovat

${ displaystyle varepsilon _ {m} = { begin {cases} 1 & { text {if}} m equiv 1 { pmod {4}}, i & { text {if}} m ekvivalent 3 { pmod {4}} end {cases}}}$

pro každé liché celé číslo m. Hodnoty Gaussových součtů s b = 0 a gcd (A, C) = 1 jsou výslovně dány

${ displaystyle G (a, c) = G (a, 0, c) = { begin {cases} 0 & { text {if}} c equiv 2 { pmod {4}}, varepsilon _ {c} { sqrt {c}} left ({ dfrac {a} {c}} right) & { text {if}} c { text {is odd}}, ( 1 + i) varepsilon _ {a} ^ {- 1} { sqrt {c}} left ({ dfrac {c} {a}} right) & { text {if}} a { text {je lichý}}, 4 střední c. end {případy}}}$

Tady (A/C) je Jacobi symbol. Toto je slavný vzorec Carl Friedrich Gauss.

• Pro b > 0 Gaussovy částky lze snadno vypočítat pomocí dokončení náměstí většinou. To však v některých případech selže (například C dokonce a b lichý), který lze relativně snadno vypočítat jinými prostředky. Například pokud C je liché a gcd (A, C) = 1 jeden má

${ displaystyle G (a, b, c) = varepsilon _ {c} { sqrt {c}} cdot left ({ frac {a} {c}} right) e ^ {- 2 pi i { frac { psi (a) b ^ {2}} {c}}},}$

kde ψ(A) je nějaké číslo s 4ψ(A)A ≡ 1 (mod C). Jako další příklad, pokud 4 rozděluje C a b je zvláštní a jako vždy gcd (A, C) = 1 pak G(A, b, C) = 0. Lze to například dokázat následovně: kvůli multiplikativní vlastnosti Gaussových součtů musíme pouze ukázat, že G(A, b, 2ⁿ) = 0 -li n > 1 a A, b jsou zvláštní gcd (A, C) = 1. Li b je potom zvláštní an² + bn je dokonce pro všechny 0 ≤ n < C − 1. Podle Henselův lemma, pro každého q, rovnice an² + bn + q = 0 má v systému maximálně dvě řešení ℤ/2ⁿℤ. Kvůli argumentu počítání an² + bn prochází všemi sudými třídami zbytků modulo C přesně dvakrát. The geometrický součet vzorec to pak ukazuje G(A, b, 2ⁿ) = 0.

• Li C je liché a bez čtverce a gcd (A, C) = 1 pak

${ displaystyle G (a, 0, c) = součet _ {n = 0} ^ {c-1} vlevo ({ frac {n} {c}} doprava) e ^ { frac {2 pi ian} {c}}.}$

Li C není čtvercový, pak pravá strana zmizí, zatímco levá nikoli. Správný součet se často nazývá také kvadratický Gaussův součet.

• Další užitečný vzorec je

${ displaystyle G left (n, p ^ {k} right) = p cdot G left (n, p ^ {k-2} right)}$

-li k ≥ 2 a str je liché prvočíslo nebo pokud k ≥ 4 a str = 2.

Viz také

• Gaussova suma
• Gaussovské období
• Kummerova suma
• Landsberg – Schaarův vztah

Reference

• Irsko; Rosen (1990). Klasický úvod do moderní teorie čísel. Springer-Verlag. ISBN  0-387-97329-X.
• Berndt, Bruce C .; Evans, Ronald J .; Williams, Kenneth S. (1998). Gauss a Jacobi Sums. Wiley and Sons. ISBN  0-471-12807-4.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Teorie analytických čísel. Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-3633-1.