Hecke charakter - Hecke character

v teorie čísel, a Hecke charakter je zobecněním a Dirichletova postava, představil Erich Hecke postavit tříduL-funkce větší než Dirichlet L-funkce a přirozené prostředí pro Dedekind zeta-funkce a některé další, které mají funkční rovnice analogicky k tomu Riemannova funkce zeta.

Název, který se někdy používá pro Hecke charakter je německý výraz Größencharakter (často psané Grössencharakter, Grossencharacter atd.).

Definice pomocí idel

A Hecke charakter je charakter z ideální třídní skupina a pole s číslem nebo globální funkční pole. Jedinečně odpovídá charakteru znaku ideální skupina na kterém je triviální hlavní ideles pomocí kompozice s projekční mapou.

Tato definice závisí na definici znaku, která se mezi autory mírně liší: Může být definována jako homomorfismus s nenulovými komplexními čísly (také nazývaný „kvazicharakter“), nebo jako homomorfismus s jednotkový kruh v C („unitární“). Jakýkoli kvazicharakter (ze skupiny ideálních tříd) lze jednoznačně napsat jako jednotný znak krát skutečnou sílu normy, takže mezi těmito dvěma definicemi není velký rozdíl.

The dirigent postavy Hecke χ je největší ideál m takhle χ je Hecke charakter mod m. Tady to říkáme χ je Hecke charakter mod m -li χ (považovaný za postavu ve skupině ideálů) je triviální ve skupině konečných idel, jejichž každá v-adická složka leží v 1 + mÓproti.


Definice pomocí ideálů

Původní definice postavy Hecke, sahající až k Hecke, byla z hlediska postavy dále částečné ideály. Pro pole s číslem K., nechťm = mFm∞ býtK.-modul, s mF„konečná část“, která je integrálním ideálem K. a m∞„nekonečná část“, která je (formálním) produktem skutečného místa z K.. Nechat Jámoznačit skupinu zlomkových ideálů K. relativně prime to mF andlet Pm označte podskupinu hlavních zlomkových ideálů (A)kde A je blízko 1 na každém místě m v souladu s multiplicitou jeho faktorů: pro každé konečné místo proti v mF, ordproti(A - 1) je alespoň tak velký jako exponent pro proti v mF, a A je pozitivní při každém skutečném vložení do m∞. Heckův znak s modulem mje skupinový homomorfismus z Jám do nenulových komplexních čísel, například na ideálech (A) v Pm jeho hodnota se rovná hodnotě v A spojitého homomorfismu k nenulovým komplexním číslům z produktu multiplikativních skupin všech archimédských dokončení K. kde každá lokální složka homomorfismu má stejnou skutečnou část (v exponentu). (Tady jsme vložili A do produktu Archimédových dokončení K. pomocí vložení odpovídajících různým místům Archimédů K..) Hecke charakter tak může být definován na skupina tříd paprsků modulo m, což je podíl Jám/Pm.

Přísně vzato Hecke učinil ujednání o chování na hlavních ideálech pro ty, kteří připouštějí zcela pozitivní generátor. Z hlediska výše uvedené definice tedy pracoval pouze s moduly, kde se objevila všechna skutečná místa. Role nekonečné části m∞ je nyní zahrnut pod pojem typu nekonečna.

Vztah mezi definicemi

Ideální definice je mnohem komplikovanější než ta idelická a Heckova motivace pro jeho definici byla konstruovat L-funkce (někdy označované jako Hecke L-funkce)[1] které rozšiřují pojem Dirichlet L-funkce z racionálních do dalších číselných polí. Pro znak Hecke χ je to L-funkce je definována jako Dirichletova řada

prováděno přes integrální ideály relativně prime k modulu m znaku Hecke. Zápis N (I) znamená ideální norma. Společná podmínka reálné části, která řídí chování znaků Hecke v podskupinách Pm znamená, že tyto řady Dirichlet jsou absolutně konvergentní v nějaké pravé polorovině. Hecke to dokázal L-funkce mají meromorfní pokračování do celé komplexní roviny, jsou analytické kromě jednoduchého pólu řádu 1 na s = 1, když je postava triviální. U primitivních znaků Hecke (definovaných vzhledem k modulu podobným způsobem jako primitivní znaky Dirichlet) ukázal Hecke tyto L-funkce splňují funkční rovnici vztahující se k hodnotám L-funkce postavy a L-funkce jeho komplexního konjugovaného charakteru.

Vezměme si znak ψ skupiny tříd ideálů, který je považován za mapu do kruhu jednotek, který je 1 na hlavních polích a na výjimečné konečné sadě S obsahující všechna nekonečná místa. Potom ψ vygeneruje znak χ ideální skupiny JáS, svobodná abelianská skupina na hlavních ideálech není v S.[2] Vezměte uniformizační prvek π pro každé prvočíslo p ne v S a definovat mapu Π z JáS do ideálních tříd mapováním každé z nich p do třídy ideálu, která je π v p koordinovat a 1 všude jinde. Nechť χ je složené z Π a ψ. Pak χ je dobře definován jako znak v ideální skupině.[3]

V opačném směru, vzhledem k přípustný znak χ z JáS odpovídá jedinečný znak třídy idele ψ.[4] Zde je přípustný odkaz na existenci modulu m na základě sady S tak, že znak χ je 1 na ideálech, které jsou 1 mod m.[5]

Znaky jsou „velké“ v tom smyslu, že typ nekonečna, pokud je přítomen netriviálně, znamená, že tyto znaky nejsou konečného pořadí. Za Heckeho znaky konečného řádu jsou v jistém smyslu zahrnuty teorie pole: jejich L-funkce jsou Artin L-funkce, tak jako Artin vzájemnost ukazuje. Ale i pole tak jednoduché jako Gaussovo pole má Hecke postavy, které vážně překračují konečné pořadí (viz příklad níže). Pozdější vývoj v roce 2006 komplexní násobení Teorie naznačila, že správným místem „velkých“ postav bylo poskytnout Hasse – Weil L-funkce pro důležitou třídu algebraické odrůdy (nebo dokonce motivy ).

Speciální případy

  • A Dirichletova postava je Hecke charakter konečného řádu. Je určena hodnotami na množině zcela pozitivních hlavních ideálů, které jsou 1 vzhledem k nějakému modulu m.[5]
  • A Hilbertova postava je Dirichletova postava vodiče 1.[5] Počet Hilbertových znaků je pořadí třídní skupiny pole. Teorie pole třídy identifikuje znaky Hilberta se znaky skupiny Galois skupiny pole Hilbert.

Příklady

  • Pro pole racionálních čísel je skupina ideálních tříd izomorfní s produktem pozitivní reality ℝ+ se všemi skupinami jednotek p-adická celá čísla. Kvazicharakter lze tedy psát jako produkt síly normy s Dirichletovým znakem.
  • Heckův znak χ gaussovských celých čísel vodiče 1 má tvar
χ ((A)) = |A|s(A/|A|)4n
pro s imaginární a n celé číslo, kde A je generátor ideálu (A). Jediné jednotky jsou pravomoci i, takže faktor 4 v exponentu zajišťuje, že postava je v ideálech dobře definována.

Tateova práce

Hlavní článek: Tateova práce

Heckeho původní důkaz funkční rovnice pro L(s, χ) použil explicitní theta-funkce. John Tate Doktorská disertační práce z Princetonu z roku 1950, napsaná pod vedením Emil Artin, aplikováno Pontryaginova dualita systematicky odstraňovat potřebu jakýchkoli speciálních funkcí. Podobnou teorii nezávisle vyvinul Kenkichi Iwasawa který byl předmětem jeho rozhovoru ICM z roku 1950. Pozdější přeformulování v a Bourbakiho seminář podle Weil 1966 ukázal, že části Tateho důkazu lze vyjádřit pomocí teorie distribuce: distribuční prostor (pro Zkušební funkce Schwartz – Bruhat ) na skupina adele z K. transformace působením idel pomocí daného χ má dimenzi 1.

Algebraické Hecke postavy

An algebraická Hecke postava je postava Hecke algebraický hodnoty: byly zavedeny Weilem v roce 1947 pod názvem typ A0. Takové znaky se vyskytují v teorie pole a teorie komplexní násobení.[6]

Opravdu E být eliptická křivka definováno přes číselné pole F se složitým násobením imaginárním kvadratickým polem K.a předpokládejme to K. je obsažen v F. Pak existuje algebraický Heckův znak χ pro F, s výjimečnou sadou S sada prvočísel špatná redukce z E spolu s nekonečnými místy. Tato postava má tu vlastnost, že pro nejlepší ideál p z dobrá redukce, hodnota χ (p) je kořenem charakteristický polynom z Frobeniova endomorfismus. V důsledku toho Funkce Hasse – Weil zeta pro E je produktem dvou Dirichletových řad pro χ a jeho komplexní konjugát.[7]

Poznámky

  1. ^ Jako v Husemöller 2002, kapitola 16
  2. ^ Heilbronn (1967), s. 204
  3. ^ Heilbronn (1967), str. 205
  4. ^ Tate (1967), str.169
  5. ^ A b C Heilbronn (1967), s. 207
  6. ^ Husemoller (1987), str. 299–300; (2002) str. 320
  7. ^ Husemoller (1987), str. 302–303; (2002), str. 321–322

Reference

  • Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, eds. (1967). Algebraická teorie čísel. Akademický tisk. Zbl  0153.07403.
  • Heilbronn, H. (1967). „VIII. Zeta-funkce a L-funkce“. v Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht (eds.). Algebraická teorie čísel. Akademický tisk. 204–230.
  • Husemöller, Dale H. (1987). Eliptické křivky. Postgraduální texty z matematiky. 111. S dodatkem od Ruth Lawrenceové. Springer-Verlag. ISBN  0-387-96371-5. Zbl  0605.14032.
  • Husemöller, Dale (2002). Eliptické křivky. Postgraduální texty z matematiky. 111 (druhé vydání). Springer-Verlag. doi:10.1007 / b97292. ISBN  0-387-95490-2. Zbl  1040.11043.
  • W. Narkiewicz (1990). Základní a analytická teorie algebraických čísel (2. vyd.). Springer-Verlag /Polští vědečtí vydavatelé PWN. str.334–343. ISBN  3-540-51250-0. Zbl  0717.11045.
  • Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. PAN  1697859. Zbl  0956.11021.
  • J. Tate, Fourierova analýza v číselných polích a Heckeovy zeta funkce (Tateova teze z roku 1950), přetištěno dovnitř Algebraická teorie čísel edd J. W. S. Cassels, A. Fröhlich (1967), str. 305–347. Zbl  1179.11041
  • Tate, J.T. (1967). „VII. Globální teorie třídního pole“. v Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht (eds.). Algebraická teorie čísel. Akademický tisk. 162–203. Zbl  1179.11041.
  • Weil, André (1966), Funkce Zetas et Distribuce (PDF), 312, Séminaire Bourbaki