Cramérova domněnka - Cramérs conjecture - Wikipedia

v teorie čísel, Cramérova domněnka, formulovaný švédským matematikem Harald Cramér v roce 1936,^[1] je odhad velikosti mezery mezi po sobě jdoucími prvočísly: intuitivně jsou rozdíly mezi po sobě následujícími prvočísly vždy malé a dohad kvantifikuje asymptoticky jak malé musí být. Uvádí to

${ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = O (( log p_ {n}) ^ {2}), }$

kde p_n označuje nth prvočíslo, Ó je velká O notace a „log“ je přirozený logaritmus. I když se jedná o tvrzení výslovně předpokládané Cramérem, jeho heuristika ve skutečnosti podporuje silnější tvrzení

${ displaystyle limsup _ {n rightarrow infty} { frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} {( log p_ {n}) ^ {2}}} = 1,}$

a někdy se tato formulace nazývá Cramérova domněnka. Tato silnější verze však není podporována přesnějšími heuristickými modely, které nicméně podporují první verzi Cramérova domněnky. Ani forma dosud nebyla prokázána nebo vyvrácena.

Podmíněné prokázané výsledky v hlavních mezerách

Cramér dal podmíněný důkaz toho hodně slabší prohlášení, že

${ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = O ({ sqrt {p_ {n}}} , log p_ {n})}$

za předpokladu, že Riemannova hypotéza.^[1] Nejznámější bezpodmínečná vazba je

${ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = O (p_ {n} ^ {0,525})}$

kvůli Bakerovi, Harman, a Pintz.^[2]

V opačném směru E. Westzynthius v roce 1931 dokázal, že hlavní mezery rostou více než logaritmicky. To znamená^[3]

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} { log p_ {n}}} = infty.}$

Jeho výsledek byl vylepšen o R. A. Rankin,^[4] kdo to dokázal

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} { log p_ {n}}} cdot { frac { left ( log log log p_ {n} right) ^ {2}} { log log p_ {n} log log log log p_ {n}}}> 0.}$

Paul Erdős domníval se, že levá strana výše uvedeného vzorce je nekonečná, což v roce 2014 prokázal Kevin Ford, Ben Green, Sergej Konyagin, a Terence Tao.^[5]

Heuristické odůvodnění

Cramérova domněnka je založena na a pravděpodobnostní model - v podstatě a heuristický —Z toho pravděpodobnost, že počet velikostí X je prime je 1 / log X. Toto je známé jako Cramér náhodný model nebo Cramérův model prvočísel.^[6]

V náhodném modelu Cramér

${ displaystyle limsup _ {n rightarrow infty} { frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} { log ^ {2} p_ {n}}} = 1}$

s pravděpodobnost jedna.^[1] Jak však zdůraznil Andrew Granville,^[7] Maierova věta ukazuje, že náhodný model Cramér dostatečně nepopisuje distribuci prvočísel v krátkých intervalech a upřesnění Cramérova modelu s přihlédnutím k dělitelnosti malými prvočísly naznačuje, že ${ displaystyle c geq 2e ^ {- gamma} přibližně 1,1229 ldots}$ (OEIS: A125313), kde ${ displaystyle gamma}$ je Euler – Mascheroniho konstanta. János Pintz navrhl, aby limit sup může být nekonečný,^[8] a podobně Leonard Adleman a píšou Kevin McCurley

V důsledku práce H. Maiera o mezerách mezi po sobě následujícími prvočísly byla zpochybněna přesná formulace Cramérova domněnky [...] Stále pravděpodobně platí, že pro každou konstantu ${ displaystyle c> 2}$, existuje konstanta ${ displaystyle d> 0}$ taková, že mezi nimi je vrchol ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle x + d ( log x) ^ {c}}$. ^[9]

Související dohady a heuristika

Funkce Prime gap

Daniel Shanks předpokládal následující asymptotickou rovnost, silnější než Cramérova domněnka,^[10] pro mezery v záznamu:${ displaystyle G (x) sim log ^ {2} x.}$

J.H. Cadwell^[11] navrhl vzorec pro maximální mezery:${ Displaystyle G (x) sim log x ( log x- log log x),}$který je formálně totožný s Shanksovým dohadem, ale naznačuje termín nižšího řádu.

Marek Vlk^[12] navrhl vzorec pro maximální mezery ${ displaystyle G (x)}$vyjádřeno v funkce počítání prvočísel${ displaystyle pi (x)}$:

${ displaystyle G (x) sim { frac {x} { pi (x)}} (2 log pi (x) - log x + c_ {0}),}$

kde ${ displaystyle c_ {0} = log (C_ {2}) = 0,2777769 ...}$ a ${ displaystyle C_ {2} = 1,3203236 ...}$ je dvakrát dvojče konstanta; vidět OEIS: A005597, OEIS: A114907. Použitím Gaussova aproximace ${ displaystyle pi (x) sim x / log (x)}$ to dává

${ Displaystyle G (x) sim log (x) ( log x-2 log log x),}$

který pro velké ${ displaystyle x}$ je také asymptoticky ekvivalentní k domněnkám Craméra a Shankse: ${ displaystyle G (x) sim log ^ {2} (x)}$.

Thomas pěkně vypočítal mnoho velkých hlavních mezer.^[13] Měřil kvalitu přizpůsobení Cramérově domněnce měřením poměru

${ displaystyle R = { frac { log p_ {n}} { sqrt {p_ {n + 1} -p_ {n}}}}.}$

Píše: „Pro největší známé maximální mezery ${ displaystyle R}$ zůstal blízko 1.13. “ Nicméně, ${ displaystyle 1 / R ^ {2}}$ je stále méně než 1.

Viz také

• Věta o prvočísle
• Legendrova domněnka a Andricova domněnka, mnohem slabší, ale stále neprokázané horní hranice na hlavních mezerách
• Firoozbakhtova domněnka
• Maierova věta na počtech prvočísel v krátkých intervalech, pro která model předpovídá nesprávnou odpověď

Reference

• Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. A8. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
• Pintz, János (2007). „Cramér vs. Cramér. Na Cramérově pravděpodobnostním modelu pro prvočísla“. Funkce a Přibližné komentáře Mathematici. 37: 361–376. doi:10,7169 / facm / 1229619660. ISSN  0208-6573. PAN  2363833. Zbl  1226.11096.
• Soundararajan, K. (2007). "Rozdělení prvočísel". v Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (eds.). Equidistribuce v teorii čísel, úvod. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11-22, 2005. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. 237. Dordrecht: Springer-Verlag. str. 59–83. ISBN  978-1-4020-5403-7. Zbl  1141.11043.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Cramérova domněnka“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Domněnka Cramér-Granville“. MathWorld.