Ramanujans ternární kvadratická forma - Ramanujans ternary quadratic form - Wikipedia

v matematika, v teorie čísel, Ramanujanova ternární kvadratická forma je algebraický výraz X2 + y2 + 10z2 s integrálními hodnotami pro X, y az.[1][2] Srinivasa Ramanujan zvažoval tento výraz v poznámce pod čarou v příspěvku[3] publikováno v roce 1916 a stručně pojednáno o zastupitelnosti celých čísel v této podobě. Po zadání nezbytných a dostatečných podmínek nemůže být celé číslo ve formuláři zastoupeno sekera2 + podle2 + cz2 pro určité konkrétní hodnoty A, b a CRamanujan v poznámce pod čarou poznamenal: „(Tyto) výsledky nás mohou svádět k předpokladu, že pro formulář existují podobné jednoduché výsledky sekera2 + podle2 + cz2 bez ohledu na hodnoty A, b a C. Zdá se však, že ve většině případů takové jednoduché výsledky neexistují. “[3] Aby toto pozorování odůvodnil, diskutoval Ramanujan o formě, která se nyní označuje jako Ramanujanova ternární kvadratická forma.

Vlastnosti objevené Ramanujanem

Ve svém příspěvku z roku 1916[3] Ramanujan o formuláři učinil následující pozorování X2 + y2 + 10z2.

  • Sudá čísla, která nemají tvar X2 + y2 + 10z2 jsou 4λ(16μ + 6).
  • Lichá čísla, která nemají tvar X2 + y2 + 10z2, viz. 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, ... nezdá se, že by dodržovali nějaký jednoduchý zákon.

Zvláštní čísla nad 391

Vložením elipsy na konec seznamu lichých čísel, která nelze reprezentovat jako X2 + y2 + 10z2Ramanujan naznačil, že jeho seznam není úplný. Nebylo jasné, zda to Ramanujan zamýšlel jako konečný seznam nebo nekonečný seznam. To přimělo ostatní, aby hledali taková lichá čísla. V roce 1927 Burton W. Jones a Gordon Pall[2] zjistil, že číslo 679 nelze ve formě vyjádřit X2 + y2 + 10z2 a také ověřili, že pod 2000 neexistují žádná další taková čísla. To vedlo k rané domněnce, že sedmnáct čísel - šestnáct čísel v Ramanujanově seznamu a jimi objevené číslo - byla jediná lichá čísla, která nelze reprezentovat jako X2 + y2 + 10z2. V roce 1941 však H Gupta[4] ukázal, že číslo 2719 nelze reprezentovat jako X2 + y2 + 10z2. Ověřil také, že pod čísly 20 000 už žádná další taková čísla neexistují. Další pokrok v tomto směru nastal až po vývoji moderních počítačů. W. Galway napsal počítačový program k určení lichých celých čísel, která nejsou vyjádřitelná jako X2 + y2 + 10z2. Galway ověřil, že jich je jen osmnáct čísel méně než 2 × 1010 nelze reprezentovat ve formě X2 + y2 + 10z2.[1] Na základě Galwayových výpočtů Ken Ono a K. Soundararajan formulovali následující dohad:[1]

Lichá kladná celá čísla, která nemají formu X2 + y2 + 10z2 jsou: 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719.

Některé známé výsledky

Domněnka Kena Ona a Soundararajana nebyla zcela vyřešena. Kromě výsledků vyhlášených Ramanujanem však bylo stanoveno několik obecnějších výsledků ohledně formy. Důkazy některých z nich jsou poměrně jednoduché, zatímco důkazy ostatních zahrnují poměrně komplikované pojmy a argumenty.[1]

  • Každé celé číslo formuláře 10n + 5 je reprezentováno ternární kvadratickou formou Ramanujana.
  • Li n je liché celé číslo, které není čtvercové, pak jej lze vyjádřit ve formě X2 + y2 + 10z2.
  • Existuje pouze konečný počet lichých celých čísel, které nelze ve formě reprezentovat X2 + y2 + 10z2.
  • Pokud je zobecněná Riemannova hypotéza pravdivá, pak platí také domněnka Ono a Soundararajan.
  • Ramanujanova ternární kvadratická forma není ve smyslu pravidelná L.E. Dicksone.[5]

Reference

  1. ^ A b C d Ono, Ken; Soundararajan, Kannan (1997). „Ramanujanova ternární kvadratická forma“ (PDF). Inventiones Mathematicae. 130 (3): 415–454. CiteSeerX  10.1.1.585.8840. doi:10.1007 / s002220050191. PAN  1483991.
  2. ^ A b Jones, Burton W .; Pall, Gordon (1939). "Pravidelné a polopravidelné kladné ternární kvadratické tvary". Acta Mathematica. 70 (1): 165–191. doi:10.1007 / bf02547347. PAN  1555447.
  3. ^ A b C S. Ramanujan (1916). "Na výraz čísla ve formuláři sekera2 + podle2 + cz2 + du2". Proc. Camb. Phil. Soc. 19: 11–21.
  4. ^ Gupta, Hansraj (1941). „Nějaká idiosynkratická čísla Ramanujanu“ (PDF). Sborník indické akademie věd, oddíl A. 13 (6): 519–520. doi:10.1007 / BF03049015. PAN  0004816.
  5. ^ L. E. Dickson (1926–1927). "Ternární kvadratické formy a kongruence". Annals of Mathematics. Druhá série. 28 (1/4): 333–341. doi:10.2307/1968378. JSTOR  1968378. PAN  1502786.