Funkce Ihara zeta - Ihara zeta function
v matematika, Funkce Ihara zeta je funkce zeta spojené s konečnou graf. Velmi se podobá Selbergova funkce zeta, a používá se k propojení uzavřených procházek s spektrum z matice sousedství. Funkce Ihara zeta byla poprvé definována pomocí Yasutaka Ihara v 60. letech v kontextu diskrétní podskupiny ze dvou na dva p-adic speciální lineární skupina. Jean-Pierre Serre navrhl ve své knize Stromy že Iharinu původní definici lze reinterpretovat graficky. to bylo Toshikazu Sunada kteří tento návrh uvedli do praxe v roce 1985. Jak poznamenal Sunada, a běžný graf je Ramanujan graf právě když jeho funkce Ihara zeta vyhovuje analogii Riemannova hypotéza.[1]
Definice
Funkce Ihara zeta je definována jako analytické pokračování nekonečného produktu
Produkt v definici je převzat všemi prvočísly uzavřená geodetika grafu , kde geodetika, která se liší o a cyklická rotace jsou považovány za rovnocenné. A uzavřená geodetická na (v teorii grafů známý jako „uzavřená procházka ") je konečná posloupnost vrcholů takhle
Celé číslo je délka z . Uzavřená geodetika je primární pokud jej nelze získat opakováním uzavřené geodézie krát, pro celé číslo .
Tato graficko-teoretická formulace je způsobena Sunadou.
Iharův vzorec
Ihara (a Sunada v graficko-teoretickém nastavení) ukázala, že pro běžné grafy je funkce zeta racionální funkcí. je -pravidelný graf s matice sousedství pak[2]
kde je hodnost obvodu z . Li je připojen a má vrcholy, .
Funkce Ihara zeta je ve skutečnosti vždy vzájemná a polynom grafu:
kde je operátor hraničního sousedství Ki-ichiro Hashimota. Hyman Bass dal určující vzorec zahrnující operátor sousednosti.
Aplikace
Funkce Ihara zeta hraje důležitou roli při studiu skupiny zdarma, teorie spektrálních grafů, a dynamické systémy, zvláště symbolická dynamika, kde funkce Ihara zeta je příkladem a Funkce Ruelle zeta.[3]
Reference
- Ihara, Yasutaka (1966). „Na diskrétních podskupinách těchto dvou o dvě projektivní lineární skupiny -adická pole ". Journal of the Mathematical Society of Japan. 18: 219–235. doi:10.2969 / jmsj / 01830219. PAN 0223463. Zbl 0158.27702.
- Sunada, Toshikazu (1986). "L-funkce v geometrii a některých aplikacích". Zakřivení a topologie Riemannovských potrubí. Přednášky z matematiky. 1201. 266–284. doi:10.1007 / BFb0075662. ISBN 978-3-540-16770-9. Zbl 0605.58046.
- Bass, Hyman (1992). "Ihara-Selbergova zeta funkce mřížky stromu". International Journal of Mathematics. 3 (6): 717–797. doi:10.1142 / S0129167X92000357. PAN 1194071. Zbl 0767.11025.
- Stark, Harold M. (1999). Msgstr "Vícecestné zeta funkce grafů". v Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C.; et al. (eds.). Nové aplikace teorie čísel. IMA sv. Matematika. Appl. 109. Springer. str. 601–615. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0988.11040.
- Terras, Audrey (1999). "Průzkum diskrétních stopových vzorců". v Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C.; et al. (eds.). Nové aplikace teorie čísel. IMA sv. Matematika. Appl. 109. Springer. 643–681. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0982.11031.
- Terras, Audrey (2010). Zeta funkce grafů: Procházka zahradou. Cambridge studia pokročilé matematiky. 128. Cambridge University Press. ISBN 0-521-11367-9. Zbl 1206.05003.