Riemann – Siegelův vzorec - Riemann–Siegel formula

v matematika, Riemann – Siegelův vzorec je asymptotický vzorec za chybu přibližná funkční rovnice z Funkce Riemann zeta, aproximace funkce zeta součtem dvou konečných Dirichletova řada. Bylo zjištěno Siegel (1932) v nepublikovaných rukopisech Bernhard Riemann pochází z padesátých let 19. století. Siegel to odvodil z Riemann – Siegelův integrální vzorec, výraz pro funkci zeta zahrnující konturové integrály. Často se používá k výpočtu hodnot vzorce Riemann – Siegel, někdy v kombinaci s Algoritmus Odlyzko – Schönhage což to značně zrychluje. Při použití podél kritické linie je často užitečné jej použít ve formě, kde se stane vzorcem pro Funkce Z..

Li M a N jsou nezáporná celá čísla, pak se funkce zeta rovná

${ displaystyle zeta (s) = součet _ {n = 1} ^ {N} { frac {1} {n ^ {s}}} + gamma (1 s) součet _ {n = 1 } ^ {M} { frac {1} {n ^ {1-s}}} + R (s)}$

kde

${ displaystyle gamma (s) = pi ^ {{ tfrac {1} {2}} - s} { frac { gama vlevo ({ tfrac {s} {2}} vpravo)} { Gamma left ({ tfrac {1} {2}} (1 s) right)}}}$

je faktor objevující se ve funkční rovnici ζ(s) = y(1 − s) ζ(1 − s), a

${ displaystyle R (s) = { frac {- Gamma (1-s)} {2 pi i}} int { frac {(-x) ^ {s-1} e ^ {- Nx} } {e ^ {x} -1}} dx}$

je obrysový integrál, jehož obrys začíná a končí na + ∞ a maximálně zakroužkuje singularity absolutní hodnoty 2πM. Přibližná funkční rovnice poskytuje odhad velikosti chybového členu. Siegel (1932) a Edwards (1974) odvodíme z toho vzorec Riemann – Siegel použitím metoda nejstrmějšího klesání k tomuto integrálu dát asymptotickou expanzi pro chybový člen R(s) jako řada záporných sil Im (s). V aplikacích s je obvykle na kritické linii a kladných celých číslech M a N jsou vybrány tak, aby byly o (2πJsem (s))^1/2. Gabcke (1979) našel dobré hranice pro chybu Riemann – Siegelova vzorce.

Riemannův integrální vzorec

Riemann to ukázal

${ displaystyle int _ {0 searrow 1} { frac {e ^ {- i pi u ^ {2} +2 pi ipu}} {e ^ { pi iu} -e ^ {- pi iu}}} , du = { frac {e ^ {i pi p ^ {2}} - e ^ {i pi p}} {e ^ {i pi p} -e ^ {- i pi p}}}}$

kde obrys integrace je přímka sklonu −1 procházející mezi 0 a 1 (Edwards 1974, 7.9).

Použil to k zadání následujícího integrálního vzorce pro funkci zeta:

${ displaystyle pi ^ {- { tfrac {s} {2}}} Gamma left ({ tfrac {s} {2}} right) zeta (s) = pi ^ {- { tfrac {s} {2}}} Gamma left ({ tfrac {s} {2}} right) int _ {0 swarrow 1} { frac {x ^ {- s} e ^ { pi ix ^ {2}}} {e ^ { pi ix} -e ^ {- pi ix}}}} , dx + pi ^ {- { frac {1-s} {2}}} Gamma left ({ tfrac {1-s} {2}} right) int _ {0 searrow 1} { frac {x ^ {s-1} e ^ {- pi ix ^ {2}} } {e ^ { pi ix} -e ^ {- pi ix}}} , dx}$

Reference

• Berry, Michael V. (1995), „Riemann – Siegelova expanze pro funkci zeta: vysoké objednávky a zbytky“, Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A: Matematické, fyzikální a technické vědy, 450 (1939): 439–462, doi:10.1098 / rspa.1995.0093, ISSN  0962-8444, PAN  1349513, Zbl  0842.11030
• Edwards, H.M. (1974), Riemannova funkce zetaČistá a aplikovaná matematika, 58, New York-Londýn: Academic Press, ISBN  0-12-232750-0, Zbl  0315.10035
• Gabcke, Wolfgang (1979), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel (v němčině), Georg-August-Universität Göttingen, hdl:11858/00-1735-0000-0022-6013-8, Zbl  0499.10040
• Patterson, S.J. (1988), Úvod do teorie Riemannovy zeta-funkce, Cambridge studia pokročilé matematiky, 14, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-33535-3, Zbl  0641.10029
• Siegel, C. L. (1932), „Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie“, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80, JFM  58.1037.07, Zbl  0004.10501 Přetištěno v Gesammelte Abhandlungen, sv. 1. Berlín: Springer-Verlag, 1966.

externí odkazy

• Gourdon, X., Numerické vyhodnocení funkce Riemann Zeta
• Weisstein, Eric W. „Riemann – Siegel Formula“. MathWorld.