Mertensova domněnka - Mertens conjecture

Graf ukazuje Funkce Mertens ${ displaystyle M (n)}$ a odmocniny ${ displaystyle pm { sqrt {n}}}$ pro ${ Displaystyle n leq 10 000}$. Po výpočtu těchto hodnot Mertens předpokládal, že absolutní hodnota ${ displaystyle M (n)}$ je vždy ohraničen ${ displaystyle { sqrt {n}}}$. Tato hypotéza, známá jako Mertensova domněnka, byla vyvrácena v roce 1985 autorem Andrew Odlyzko a Herman te Riele.

v matematika, Mertensova domněnka je prohlášení, že Funkce Mertens ${ displaystyle M (n)}$ je ohraničen ${ displaystyle pm { sqrt {n}}}$. Ačkoli je to nyní vyvráceno, ukázalo se, že to znamená Riemannova hypotéza. Bylo to domněnkou Thomas Joannes Stieltjes, v dopise z roku 1885 Charles Hermite (dotisk dovnitř Stieltjes  (1905 )) a znovu v tisku Franz Mertens  (1897 ), a vyvrácen Andrew Odlyzko a Herman te Riele  (1985 Jde o pozoruhodný příklad matematické domněnky, která se ukázala jako nepravdivá, a to navzdory velkému množství výpočetních důkazů v její prospěch.

Definice

v teorie čísel, definujeme Funkce Mertens tak jako

${ displaystyle M (n) = součet _ {1 leq k leq n} mu (k)}$

kde μ (k) je Möbiova funkce; the Mertensova domněnka je to pro všechny n > 1,

${ displaystyle left | M (n) right | <{ sqrt {n}}. ,}$

Vyvrácení domněnky

Stieltjes tvrdil v roce 1885, že prokázal slabší výsledek, konkrétně to ${ displaystyle m (n) equiv M (n) / { sqrt {n}}}$ byl ohraničený, ale nezveřejnil důkaz.^[1] (Ve smyslu ${ displaystyle m (n)}$, to je Mertensova domněnka ${ displaystyle -1$.)

V roce 1985 Andrew Odlyzko a Herman te Riele dokázala Mertensovu domněnku jako nepravdivou pomocí Lenstra – Lenstra – Lovász algoritmus redukce báze mřížky:^[2][3]

${ displaystyle liminf ~ m (n) <- 1,009 quad}$ a ${ Displaystyle quad limsup ~ m (n)> 1,06 ~}$.

Později se ukázalo, že první protiklad zobrazí se níže ${ displaystyle ~ e ^ {3,21 krát 10 ^ {64}} přibližně 10 ^ {1,39 krát 10 ^ {64}} ~}$^[4] ale nad 10¹⁶.^[5] Horní mez byla od té doby snížena na ${ displaystyle ~ e ^ {1,59 krát 10 ^ {40}} ~}$^[6] nebo přibližně ${ displaystyle ~ 10 ^ {6,91 krát 10 ^ {39}} ~,}$ ale ne explicitní protiklad je znám.

The zákon iterovaného logaritmu uvádí, že pokud μ je nahrazeno náhodnou posloupností + 1s a −1s, potom pořadí růstu částečného součtu prvního n pojmy jsou (s pravděpodobností 1) asi √ n log log n, což naznačuje, že pořadí růstu m(n) může být někde v okolí √log log n. Skutečné pořadí růstu může být poněkud menší; na počátku 90. let Gonek předpokládal^[7] že pořadí růstu m(n) byl ${ displaystyle ( log { log { log {n}}}) ^ {5/4}}$, který na základě heuristického argumentu potvrdil Ng (2004), který předpokládal Riemannovu hypotézu a určité domněnky o průměrném chování nul Riemannovy zeta funkce.^[8]

V roce 1979 našli Cohen and Dress největší známou hodnotu ${ displaystyle ~ m (n) přibližně 0,570591 ~}$ pro M(7766842813) = 50286,^{[Citace je zapotřebí ]} a v roce 2011 našel Kuzněcov největší známou zápornou hodnotu ${ displaystyle m (n) přibližně -0,585768}$ pro M(11609864264058592345) = −1995900927.^[9] V roce 2016 vypočítal Hurst M(n) pro každého n ≤ 10¹⁶ ale nenašel větší hodnoty m(n).^[10]

V roce 2006 Kotnik a te Riele zlepšili horní hranici a ukázali, že existuje nekonečně mnoho hodnot n pro který m(n) > 1.2184, ale bez udání konkrétní hodnoty pro takový n.^[11] V roce 2016 Hurst provedl další vylepšení tím, že ukázal

${ displaystyle liminf ~ m (n) <- 1,837625 quad}$ a ${ displaystyle quad limsup ~ m (n)> 1,826054 ~}$.

Spojení s Riemannovou hypotézou

Spojení s Riemannovou hypotézou je založeno na Dirichletova řada za převrácenou částku Funkce Riemann zeta,

${ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {s}}}, }$

platné v regionu ${ displaystyle { mathcal {Re}}> 1}$. Můžeme to přepsat jako Stieltjesův integrál

${ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = int _ {0} ^ { infty} x ^ {- s} operatorname {d} M (x)}$

a po integraci po částech získáte převrácenou hodnotu funkce zeta jako a Mellinova transformace

${ displaystyle { frac {1} {s zeta (s)}} = vlevo {{ mathcal {M}} M vpravo } (- s) = int _ {0} ^ { infty } x ^ {- s} M (x) , { frac { operatorname {d} x} {x}}.}$

Za použití Mellinova věta o inverzi nyní můžeme vyjádřit M z hlediska¹⁄_ζ tak jako

${ displaystyle M (x) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { sigma -i infty} ^ { sigma + i infty} { frac {x ^ {s} } {s zeta (s)}} operatorname {d} s}$

který platí pro 1 <σ <2a platí pro ​¹⁄₂ <σ <2 na Riemannovu hypotézu. Z toho musí být integrál Mellinovy ​​transformace konvergentní, a tudížM(X) musí být Ó(X^E) pro každého exponenta E větší než 1/2. Z toho vyplývá, že

${ displaystyle M (x) = O (x ^ {{ tfrac {1} {2}} + epsilon})}$

pro všechny pozitivní ε je ekvivalentní Riemannově hypotéze, která by tedy vyplynula ze silnější Mertensovy hypotézy, a vyplývá z hypotézy Stieltjese, že

${ displaystyle M (x) = O (x ^ { tfrac {1} {2}}) ~}$.

Reference

Další čtení

• Kotnik, Tadej; te Riele, Herman (2006). „Mertensova domněnka se vrátila“. In Hess, Florian (ed.). Algoritmická teorie čísel. 7. mezinárodní sympozium, ANTS-VII, Berlín, Německo, 23. – 28. Července 2006. Sborník příspěvků. Přednášky z informatiky. 4076. Berlín: Springer-Verlag. str. 156–167. doi:10.1007/11792086_12. ISBN  3-540-36075-1. Zbl  1143.11345.
• Kotnik, T .; van de Lune, J. (2004). „Na objednávku funkce Mertens“ (PDF). Experimentální matematika. 13: 473–481. Archivovány od originál (PDF) dne 03.04.2007.
• Mertens, F. (1897). „Über eine zahlentheoretische Funktion“. Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a. 106: 761–830.
• Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), „Deaktivace Mertensova domněnky“ (PDF), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 357: 138–160, doi:10,1515 / crll.1985.357.138, ISSN  0075-4102, PAN  0783538, Zbl  0544.10047
• Pintz, J. (1987). „Účinné vyvrácení Mertensova domněnky“ (PDF). Astérisque. 147–148: 325–333. Zbl  0623.10031.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, vyd. (2006), Příručka teorie čísel I, Dordrecht: Springer-Verlag, s. 187–189, ISBN  1-4020-4215-9, Zbl  1151.11300
• Stieltjes, T. J. (1905), "Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre # 79", Baillaud, B .; Bourget, H. (eds.), Korespondence d'Hermite et Stieltjes, Paříž: Gauthier — Villars, s. 160–164

• Weisstein, Eric W. „Mertensova domněnka“. MathWorld.