Pólya domněnka - Pólya conjecture
v teorie čísel, Pólya domněnka uvedl, že „většina“ (tj. 50% nebo více) z přirozená čísla méně než jakékoli dané číslo má zvláštní počet hlavní faktory. The dohad navrhl maďarský matematik George Pólya v roce 1919,[1] a v roce 1958 se ukázalo jako nepravdivé C. Brian Haselgrove.
Velikost nejmenšího protiklad se často používá k ukázání toho, jak může být domněnka v mnoha případech pravdivá a stále nepravdivá,[2] poskytující ilustraci pro silný zákon malého počtu.
Prohlášení
Pólya dohad říká, že pro všechny n (> 1), pokud rozdělíme přirozená čísla menší nebo rovno n (kromě 0) do těch s zvláštní počet hlavních faktorů a ti s dokonce počet hlavních faktorů, pak první sada má alespoň tolik členů jako druhá sada. (Opakované primární faktory se počítají požadovaný počet opakování - tedy 18 = 21 × 32 má 1 + 2 = 3 primární faktory, tj. liché číslo, zatímco 60 = 22 × 3 × 5 má 4 hlavní faktory, tj. Sudé číslo.)
Ekvivalentně to lze říci z hlediska shrnutí Funkce Liouville, domněnka je to
pro všechny n > 1. Zde λ (k) = (−1)Ω (k) je kladné, pokud je počet hlavních faktorů celého čísla k je sudé a je-li liché, je záporné. Velká funkce Omega počítá celkový počet hlavních faktorů celého čísla.
Vyvrácení
Domněnka Pólya byla vyvrácena C. Brian Haselgrove v roce 1958. Ukázal, že domněnka má protiklad, který odhadoval na přibližně 1 845 × 10361.[3]
Explicitní protiklad, z n = 906 180 359 bylo dáno R. Sherman Lehman v roce 1960;[4] nejmenší protiklad je n = 906 150 257, nalezeno Minoru Tanaka v roce 1980.[5]
Dohad se nepodařilo udržet pro většinu hodnot n v oblasti 906 150 257 ≤ n ≤ 906 488 079. V tomto regionu je souhrn Funkce Liouville dosahuje maximální hodnoty 829 při n = 906,316,571.
Reference
- ^ Pólya, G. (1919). „Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie“. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (v němčině). 28: 31–40. JFM 47.0882.06.
- ^ Stein, Sherman K. (2010). Mathematics: The Man-Made Universe. Publikace Courier Dover. p. 483. ISBN 9780486404509..
- ^ Haselgrove, C. B. (1958). „Vyvrácení domněnky o Pólyi“. Mathematika. 5 (02): 141–145. doi:10.1112 / S0025579300001480. ISSN 0025-5793. PAN 0104638. Zbl 0085.27102.
- ^ Lehman, R. S. (1960). "Na funkci Liouville". Matematika výpočtu. Matematika výpočtu. 14 (72): 311–320. doi:10.2307/2003890. JSTOR 2003890. PAN 0120198.
- ^ Tanaka, M. (1980). „Numerické šetření kumulativního součtu funkce Liouville“. Tokijský žurnál matematiky. 3 (1): 187–189. doi:10,3836 / tjm / 1270216093. PAN 0584557.