Princip argumentu - Argument principle

Jednoduchý obrys C (černá), nuly F (modrá) a póly F (Červené). Tady máme ${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} mast _ {C} {f '(z) nad f (z)} , dz = 4-5.}$

v komplexní analýza, princip argumentu (nebo Cauchyho princip argumentu) souvisí rozdíl mezi počtem nuly a póly a meromorfní funkce do a konturový integrál funkce logaritmická derivace.

Konkrétně pokud F(z) je meromorfní funkce uvnitř a na nějakém uzavřeném obrysu C, a F nemá žádné nuly ani póly C, pak

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} mast _ {C} {f '(z) nad f (z)} , dz = Z-P}$

kde Z a P označuje počet nul a pólů F(z) uvnitř obrysu C, přičemž každá nula a pól se počítají tolikrát, kolikrát multiplicita a objednat, v uvedeném pořadí. Toto tvrzení věty předpokládá, že obrys C je jednoduchý, to znamená bez samovolných křižovatek a je orientován proti směru hodinových ručiček.

Obecněji předpokládejme, že F(z) je meromorfní funkce na otevřená sada Ω v složité letadlo a to C je uzavřená křivka v Ω, která se vyhýbá všem nulám a pólům F a je smluvní do bodu uvnitř Ω. Za každý bod z ∈ Ω, nechť n(C,z) být číslo vinutí z C kolem z. Pak

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} mast _ {C} { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz = součet _ {a} n (C, a) - součet _ {b} n (C, b)}$

kde první součet je přes všechny nuly A z F počítají s jejich multiplicitami a druhý součet je přes póly b z F s jejich objednávkami.

Interpretace integrálního obrysu

The konturový integrál ${ displaystyle mast _ {C} { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz}$ lze interpretovat jako 2πi násobek klikatého čísla cesty F(C) kolem původu pomocí substituce w = F(z):

${ displaystyle mast _ {C} { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz = mast _ {f (C)} { frac {1} {w}} , dw}$

To znamená, že je i krát celková změna v argument z F(z) tak jako z cestuje kolem C, vysvětlující název věty; to vyplývá z

${ displaystyle { frac {d} {dz}} log (f (z)) = { frac {f '(z)} {f (z)}}}$

a vztah mezi argumenty a logaritmy.

Důkaz zásady argumentu

Nechat z_Z být nula F. Můžeme psát F(z) = (z − z_Z)^kG(z) kde k je multiplicita nuly, a tedy G(z_Z) ≠ 0. Dostáváme

${ displaystyle f '(z) = k (z-z_ {Z}) ^ {k-1} g (z) + (z-z_ {Z}) ^ {k} g' (z) , ! }$

a

${ displaystyle {f '(z) nad f (z)} = {k nad z-z_ {Z}} + {g' (z) nad g (z)}.}$

Od té doby G(z_Z) ≠ 0, z toho vyplývá G' (z)/G(z) nemá singularity na z_Z, a je tedy analytický z_Z, což znamená, že zbytek z F′(z)/F(z) na z_Z jek.

Nechat z_P být pólem F. Můžeme psát F(z) = (z − z_P)^−mh(z) kde m je pořadí pólu a h(z_P) ≠ 0. Potom,

${ displaystyle f '(z) = - m (z-z_ {P}) ^ {- m-1} h (z) + (z-z_ {P}) ^ {- m} h' (z) , !.}$

a

${ displaystyle {f '(z) nad f (z)} = {- m nad z-z_ {P}} + {h' (z) nad h (z)}}$

podobně jako výše. Z toho vyplývá, že h′(z)/h(z) nemá singularity na z_P od té doby h(z_P) ≠ 0, a proto je analytický z_P. Zjistili jsme, že zbytekF′(z)/F(z) na z_P je -m.

Když to dáme dohromady, každá nula z_Z multiplicity k z F vytváří jednoduchý pól proF′(z)/F(z) se zbytkem ka každý pól z_P řádu m zF vytváří jednoduchý pól pro F′(z)/F(z) se zbytkem je -m. (Tady, jednoduchým pólem wemean pól řádu jedna.) Kromě toho lze ukázat, že F′(z)/F(z) nemá žádné další póly, a tedy žádné další zbytky.

Podle věta o zbytku máme o tom integrál C je produktem 2πi a součet zbytků. Dohromady je součet k je za každou nulu z_Z je počet nul počítajících multiplicity nul a podobně pro póly, a tak máme náš výsledek.

Aplikace a důsledky

Princip argumentu lze použít k efektivnímu umístění nul nebo pólů meromorfních funkcí v počítači. I při zaokrouhlovacích chybách výraz ${ displaystyle {1 nad 2 pi i} mast _ {C} {f '(z) nad f (z)} , dz}$ přinese výsledky blízké celému číslu; určením těchto celých čísel pro různé obrysy C lze získat informace o umístění nul a pólů. Numerické testy Riemannova hypotéza použijte tuto techniku ​​k získání horní hranice počtu nul Riemannovo ${ displaystyle xi (s)}$ funkce uvnitř obdélníku protínajícího kritickou čáru.

Důkaz Rouchéova věta používá princip argumentu.

Moderní knihy o teorii zpětné vazby poměrně často používají princip argumentu jako teoretický základ Nyquistovo kritérium stability.

Důsledkem obecnější formulace principu argumentu je, že za stejné hypotézy, pokud G je tedy analytická funkce v Ω

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} mast _ {C} g (z) { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz = součet _ {a} n (C, a) g (a) - součet _ {b} n (C, b) g (b).}$

Například pokud F je polynomiální s nulami z₁, ..., z_p uvnitř jednoduchého obrysu C, a G(z) = z^k, pak

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} mast _ {C} z ^ {k} { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz = z_ { 1} ^ {k} + z_ {2} ^ {k} + cdots + z_ {p} ^ {k},}$

je výkonový součet symetrický polynom kořenů F.

Dalším důsledkem je, pokud vypočítáme komplexní integrál:

${ displaystyle mast _ {C} f (z) {g '(z) nad g (z)} , dz}$

pro vhodnou volbu G a F máme Abel – Plana vzorec:

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} f (n) - int _ {0} ^ { infty} f (x) , dx = f (0) / 2 + i int _ {0} ^ { infty} { frac {f (it) -f (-it)} {e ^ {2 pi t} -1}} , dt}$

který vyjadřuje vztah mezi diskrétním součtem a jeho integrálem.

Princip zobecněných argumentů

Existuje okamžité zobecnění principu argumentů. Předpokládejme, že g je v regionu analytické ${ displaystyle Omega}$. Pak

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} mast _ {C} {f '(z) nad f (z)} g (z) , dz = součet _ {a} g (a) n (C, a) - součet _ {b} g (b) n (C, b)}$

kde první součet je opět přes všechny nuly A z F počítají s jejich multiplicitami a druhý součet je opět přes póly b z F s jejich objednávkami.

Dějiny

Podle knihy od Frank Smithies (Cauchy a tvorba teorie složitých funkcí, Cambridge University Press, 1997, str. 177), Augustin-Louis Cauchy předložil teorém podobný výše uvedenému dne 27. listopadu 1831, během svého dobrovolného exilu v Turíně (tehdy hlavním městě království Piemont-Sardinie) mimo Francii. Podle této knihy však byly zmíněny pouze nuly, ne póly. Tato Cauchyova věta byla publikována až o mnoho let později v roce 1874 v ručně psané podobě, a proto je velmi obtížné ji přečíst. Cauchy publikoval článek s diskusí o obou nul a pólů v roce 1855, dva roky před svou smrtí.

Viz také

• Logaritmická derivace
• Nyquistovo kritérium stability

Reference

• Rudin, Walter (1986). Skutečná a komplexní analýza (mezinárodní řada v čisté a aplikované matematice). McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-054234-1.
• Ahlfors, Lars (1979). Komplexní analýza: úvod do teorie analytických funkcí jedné komplexní proměnné. McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-000657-7.
• Churchill, Ruel Vance; Brown, James Ward (1989). Složité proměnné a aplikace. McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-010905-6.
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta (s) de Riemann, C. R. Acad. Sci. Paříž 158, 1979–1982.

externí odkazy

• „Argument, princip„, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]