*-algebra - *-algebra

v matematika a konkrétněji v abstraktní algebra, a *-algebra (nebo involutivní algebra) je matematická struktura skládající se ze dvou involutivní prsteny R a A, kde R je komutativní a A má strukturu asociativní algebra přes R. Intuutivní algebry zobecňují myšlenku číselného systému vybaveného konjugací, například komplexní čísla a komplexní konjugace, matice přes komplexní čísla a konjugovat transponovat, a lineární operátory přes Hilbertův prostor a Hermitian sousedé Může se však stát, že algebra nepřipouští vůbec žádnou involuci.

Terminologie

*-prsten

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${ displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence p-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo pn ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer p-prsten ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ • Základna -p kruhový prsten ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -p celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • p-adic racionální ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -p reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ • p-adická celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • p-adická čísla ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • p-adický solenoid ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

v matematika, a *-prsten je prsten s mapou * : A → A to je antiautomorfismus a involuce.

Přesněji, * je povinen splňovat následující vlastnosti:^[1]

• (X + y)* = X* + y*
• (x y)* = y* X*
• 1* = 1
• (X*)* = X

pro všechny X, y v A.

Toto se také nazývá involutivní prsten, involutory ring, a prsten s involucí. Všimněte si, že třetí axiom je ve skutečnosti nadbytečný, protože druhý a čtvrtý axiom znamená 1* je také multiplikativní identita a identity jsou jedinečné.

Prvky takové X* = X jsou nazývány samoadjung.^[2]

Archetypické příklady * -ringu jsou pole komplexní čísla a algebraická čísla s komplexní konjugace jako involuce. Lze definovat a sesquilineární forma přes jakékoli * -kroužek.

Lze také definovat * -verze algebraických objektů, například ideál a podřízený, s požadavkem být * -neměnný: X ∈ Já ⇒ X* ∈ Já a tak dále.

*-algebra

A *-algebra A je * -krok,^[A] s involucí * to je asociativní algebra přes komutativní *-prsten R s involucí ′, takový, že (r x)* = r ' X*  ∀r ∈ R, X ∈ A.^[3]

Základní * -kroužek R je často komplexní čísla (s * působí jako komplexní konjugace).

Z axiomů vyplývá, že * on A je konjugát-lineární v R, význam

(λ x + μ y)* = λ ′ X* + μ ′ y*

pro λ, μ ∈ R, X, y ∈ A.

A * -homomorfismus F : A → B je homomorfismus algebry který je kompatibilní s involucemi A a B, tj.,

• F(A*) = F(A)* pro všechny A v A.^[2]

Filozofie * -operace

Operace * na * -kruhu je analogická k komplexní konjugace na komplexních číslech. Operace * na * -algebře je analogická k převzetí sousední v komplexu maticové algebry.

Zápis

* Involuce je a unární provoz psáno s postfixovaným hvězdným glyfem uprostřed nad nebo v blízkosti střední čára:

X ↦ X*nebo

X ↦ X^∗ (TeX: x ^ *),

ale ne jako "X∗"; viz hvězdička článek pro podrobnosti.

Příklady

• Žádný komutativní prsten se stane * -krokem s triviálním (identické ) involuce.
• Nejznámější příklad * -ringu a * -algebry realita je pole komplexních čísel C kde * je jen komplexní konjugace.
• Obecněji, a rozšíření pole provedeno přídavkem a odmocnina (tak jako imaginární jednotka √−1) je * -algebra nad původním polem, považovaná za triviálně - * - kruh. * převrátí znaménko té druhé odmocniny.
• A kvadratické celé číslo prsten (pro některé D) je komutativní * -ring s * definovaným podobným způsobem; kvadratická pole jsou * -algebry nad příslušnými kvadratickými celočíselnými kroužky.
• Čtveřice, rozdělená komplexní čísla, duální čísla a případně další číslo hyperkomplexu systémy tvoří * -kruhy (s jejich integrovanou operací konjugace) a * -algebry nad reálnými (kde * je triviální). Všimněte si, že ani jedna ze tří není komplexní algebra.
• Hurwitzovy čtveřice vytvořte nekomutativní * -krok s konjugací čtveřice.
• The maticová algebra z n × nmatice přes R s * daným transpozice.
• Maticová algebra n × nmatice přes C s * daným konjugovat transponovat.
• Jeho zobecnění, Hermitian adjoint v algebře ohraničené lineární operátory na Hilbertův prostor také definuje * -algebru.
• The polynomiální kruh R[X] přes komutativní triviálně - * - zazvonit R je * -algebra přes R s P*(X) = P(−X).
• Li (A, +, ×, *) je současně * -ring, an algebra přes prsten R (komutativní) a (r x)* = r (X*)  ∀r ∈ R, X ∈ A, pak A je * -algebra přes R (kde * je triviální).
  • Jako částečný případ je libovolný * -ring přes * -algebra celá čísla.
• Libovolný komutativní * -ring je * -algebra nad sebou a obecněji nad jakýmkoli jeho * -předložení.
• Pro komutativní * -krok R, své kvocient jakýmkoli jeho *-ideál je * -algebra přes R.
  • Například libovolný komutativní triviálně - * - kruh je * -algebra nad svým duální čísla zazvoní, * -kroužek s netriviální *, protože kvocient podle ε = 0 vytvoří originální prsten.
  • Totéž o komutativním kruhu K. a jeho polynomiální kruh K.[X]: podíl podle X = 0 obnovuje K..
• v Hecke algebra, involuce je důležitá pro Kazhdan – Lusztigův polynom.
• The endomorfismus prsten z eliptická křivka se stane * -algebrou nad celými čísly, kde je involuce dána převzetím dvojí isogeny. Podobná stavba funguje pro abelianské odrůdy s polarizace, v takovém případě se nazývá Rosatiho involuce (viz Milneovy přednášky o abelianských odrůdách).

Intuutivní Hopfovy algebry jsou důležité příklady * -algebry (s další strukturou kompatibilní komplikace ); nejznámějším příkladem je:

• The skupina Hopfova algebra: a skupinové vyzvánění, s involucí danou G ↦ G⁻¹.

Nepříklad

Ne každá algebra připouští involuci:

S pozdravem 2x2 matice přes komplexní čísla.
Zvažte následující subalgebru:

${ displaystyle { mathcal {A}}: = left {{ begin {pmatrix} a & b 0 & 0 end {pmatrix}}: a, b in mathbb {C} right }}$

Jakýkoli netriviální antiautomorfismus má nutně formu:

${ displaystyle varphi _ {z} left [{ begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}} right] = { begin {pmatrix} 1 & z 0 & 0 end {pmatrix}} quad varphi _ {z} left [{ begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} right] = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {pmatrix}}}$

pro jakékoli komplexní číslo ${ displaystyle z in mathbb {C}}$.
Z toho vyplývá, že jakýkoli netriviální antiautomorfismus není idempotentní:

${ displaystyle varphi _ {z} ^ {2} left [{ begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} right] = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {pmatrix }} neq { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}}$

Závěrem je, že subalgebra nepřipouští žádnou involuci.

Další struktury

Mnoho vlastností přemístit podržet pro obecné * -algebry:

• Hermitovské prvky tvoří a Jordan algebra;
• Zkosené hermitovské prvky tvoří a Lež algebra;
• Pokud je 2 invertibilní v * -ring, pak 1/2(1 + *) a 1/2(1 − *) jsou ortogonální idempotents,^[2] volala symetrizující a anti-symetrizující, takže algebra se rozloží jako přímý součet moduly (vektorové prostory pokud je * -ring pole) symetrických a anti-symetrických (hermitovských a zkosených hermitovských) prvků. Tyto prostory obecně netvoří asociativní algebry, protože idempotenty jsou operátory, ne prvky algebry.

Šikmé struktury

Vzhledem k * -ringu je zde také mapa −* : X ↦ −X*Nedefinuje strukturu * -ring (pokud charakteristický je 2, v takovém případě - * je totožný s původním *), jako 1 ↦ −1, ani to není antimultiplikativní, ale splňuje ostatní axiomy (lineární, involuce), a proto je docela podobné * -algebře, kde X ↦ X*.

Prvky opravené touto mapou (tj. Takové, že A = −A*) jsou nazývány vychýlit Hermitiana.

U komplexních čísel se složitou konjugací jsou reálná čísla Hermitovými prvky a imaginární čísla jsou šikmým Hermitianem.

Viz také

• Poloskupina s involucí
• B * -algebra
• C * -algebra
• Kategorie dýky
• von Neumannova algebra
• Baerův prsten
• operátorová algebra
• konjugát (algebra)
• Cayley – Dicksonova konstrukce
• Složení algebra

Poznámky

Reference