Nekomutativní topologie - Noncommutative topology

v matematika, nekomutativní topologie je termín používaný pro vztah mezi topologické a C * - algebraické koncepty. Termín má svůj původ v Věta Gelfand – Naimark, což znamená dualita z kategorie z místně kompaktní Hausdorffovy prostory a kategorie komutativní C * -algebry. Nekomutativní topologie souvisí s analytickou nekomutativní geometrie.

Příklady

Předpokladem nekomunativní topologie je, že s nekomutativní C * -algebrou lze zacházet jako s algebrou komplexně oceněné spojité funkce na „nekomutativním prostoru“, který neexistuje klasicky. Několik topologických vlastností lze formulovat jako vlastnosti pro C * -algebry bez odkazu na komutativitu nebo podkladový prostor, a tak mít okamžité zobecnění. Mezi ně patří:

Jednotlivé prvky komutativní C * -algebry odpovídají spojitým funkcím. A tak určité typy funkcí mohou odpovídat určitým vlastnostem C * -algebry. Například, samoadjung prvky komutativní C * -algebry odpovídají spojitým funkcím se skutečnou hodnotou. Taky, projekce (tj. sebe-adjunkt idempotents ) odpovídají funkce indikátorů z clopen soupravy.

K některým příkladům vedou kategorické konstrukce. Například koprodukt mezer je disjunktní unie a odpovídá tedy přímý součet algeber, který je produkt C * -algeber. Podobně, topologie produktu odpovídá koproduktu C * -algeber, tenzorový produkt algeber. Ve specializovanějším nastavení odpovídají kompaktifikace topologií jednotkám algeber. Takže jednobodové zhutnění odpovídá minimální jednotce C * -algeber, Zhutnění Stone – Čech odpovídá multiplikátorová algebra, a koronové sady odpovídá koronové algebry.

Existují určité příklady vlastností, kde je možné více generalizací, a není jasné, která je vhodnější. Například, pravděpodobnostní opatření může odpovídat buď státy nebo traumatické stavy. Vzhledem k tomu, že všechny státy jsou v komutativním případě vakuově tracialními stavy, není jasné, zda je tracial podmínka nezbytná pro užitečné zobecnění.

K-teorie

Jedním z hlavních příkladů této myšlenky je zobecnění topologická K-teorie na nekomutativní C * -algebry ve formě operátor K-teorie.

Dalším vývojem v této oblasti je a bivariant verze K-teorie s názvem Teorie KK, který má složení produktu

jehož prstencová struktura v běžné teorii K je zvláštním případem. Produkt dává strukturu a kategorie do KK. Souvisí to s korespondence algebraických odrůd.[1]

Reference

  1. ^ Connes, Alain; Consani, Caterina; Marcolli, Matilde (2007), „Nekomutativní geometrie a motivy: termodynamika endomotiv“, Pokroky v matematice, 214 (2): 761–831, arXiv:math.QA/0512138, doi:10.1016 / j.aim.2007.03.006, PAN  2349719