Normální vlastní číslo - Normal eigenvalue

V matematice, konkrétně v spektrální teorie, an vlastní číslo a uzavřený lineární operátor je nazýván normální jestliže prostor připouští rozklad na přímý součet konečně-dimenzionálního zobecněný vlastní prostor a invariantní podprostor kde ${ displaystyle A- lambda I}$ má omezenou inverzi. Sada normálních vlastních čísel se shoduje s diskrétní spektrum.

Kořenový lineární

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$ být Banachův prostor. The kořenový lineal ${ displaystyle { mathfrak {L}} _ { lambda} (A)}$ lineárního operátoru ${ displaystyle A: , { mathfrak {B}} do { mathfrak {B}}}$ s doménou ${ displaystyle { mathfrak {D}} (A)}$ odpovídající vlastnímu číslu ${ displaystyle lambda in sigma _ {p} (A)}$ je definován jako

${ displaystyle { mathfrak {L}} _ { lambda} (A) = bigcup _ {k in mathbb {N}} {x in { mathfrak {D}} (A): , (A- lambda I _ { mathfrak {B}}) ^ {j} x in { mathfrak {D}} (A) , forall j in mathbb {N}, , j leq k ; , (A- lambda I _ { mathfrak {B}}) ^ {k} x = 0 } podmnožina { mathfrak {B}},}$

kde ${ displaystyle I _ { mathfrak {B}}}$ je operátor identity v ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$.Tato sada je lineární potrubí ale ne nutně a vektorový prostor, protože to nemusí být nutně uzavřeno ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$. Pokud je tato množina uzavřena (například když je konečně-dimenzionální), nazývá se zobecněný vlastní prostor z ${ displaystyle A}$ odpovídající vlastnímu číslu ${ displaystyle lambda}$.

Definice

An vlastní číslo ${ displaystyle lambda in sigma _ {p} (A)}$ a uzavřený lineární operátor ${ displaystyle A: , { mathfrak {B}} do { mathfrak {B}}}$ v Banachův prostor ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$ s doména ${ displaystyle { mathfrak {D}} (A) podmnožina { mathfrak {B}}}$ je nazýván normální (v původní terminologii, ${ displaystyle lambda}$ odpovídá normálně se dělícímu konečnému dimenzionálnímu kořenovému podprostoru), jsou-li splněny následující dvě podmínky:

1. The algebraická multiplicita z ${ displaystyle lambda}$ je konečný: ${ displaystyle nu = dim { mathfrak {L}} _ { lambda} (A) < infty}$, kde ${ displaystyle { mathfrak {L}} _ { lambda} (A)}$ je kořenový lineal z ${ displaystyle A}$ odpovídající vlastnímu číslu ${ displaystyle lambda}$;
2. Prostor ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$ lze rozložit na přímou částku ${ displaystyle { mathfrak {B}} = { mathfrak {L}} _ { lambda} (A) oplus { mathfrak {N}} _ { lambda}}$, kde ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { lambda}}$ je invariantní podprostor z ${ displaystyle A}$ ve kterém ${ displaystyle A- lambda I _ { mathfrak {B}}}$ má omezenou inverzi.

To znamená omezení ${ displaystyle A_ {2}}$ z ${ displaystyle A}$ na ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { lambda}}$ je operátor s doménou ${ displaystyle { mathfrak {D}} (A_ {2}) = { mathfrak {N}} _ { lambda} cap { mathfrak {D}} (A)}$ as rozsahem ${ displaystyle { mathfrak {R}} (A_ {2} - lambda I) podmnožina { mathfrak {N}} _ { lambda}}$ který má omezenou inverzi.^[1][2][3]

Ekvivalentní definice normálních vlastních čísel

Nechat ${ displaystyle A: , { mathfrak {B}} do { mathfrak {B}}}$ být uzavřený lineární hustě definovaný operátor v Banachově prostoru ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$. Následující prohlášení jsou ekvivalentní^[4](Věta III.88):

1. ${ displaystyle lambda in sigma (A)}$ je normální vlastní číslo;
2. ${ displaystyle lambda in sigma (A)}$ je izolovaný bod v ${ displaystyle sigma (A)}$ a ${ displaystyle A- lambda I _ { mathfrak {B}}}$ je napůl Fredholm;
3. ${ displaystyle lambda in sigma (A)}$ je izolovaný bod v ${ displaystyle sigma (A)}$ a ${ displaystyle A- lambda I _ { mathfrak {B}}}$ je Fredholm;
4. ${ displaystyle lambda in sigma (A)}$ je izolovaný bod v ${ displaystyle sigma (A)}$ a ${ displaystyle A- lambda I _ { mathfrak {B}}}$ je Fredholm indexu nula;
5. ${ displaystyle lambda in sigma (A)}$ je izolovaný bod v ${ displaystyle sigma (A)}$ a hodnost odpovídající Projektor Riesz ${ displaystyle P _ { lambda}}$ je konečný;
6. ${ displaystyle lambda in sigma (A)}$ je izolovaný bod v ${ displaystyle sigma (A)}$, jeho algebraická multiplicita ${ displaystyle nu = dim { mathfrak {L}} _ { lambda}}$ je konečný a rozsah ${ displaystyle A- lambda I _ { mathfrak {B}}}$ je Zavřeno. (Gohberg – Kerin 1957, 1960, 1969).

Li ${ displaystyle lambda}$ je tedy normální vlastní číslo ${ displaystyle { mathfrak {L}} _ { lambda}}$ shoduje se s dosahem projektoru Riesz, ${ displaystyle { mathfrak {R}} (P _ { lambda})}$ (Gohberg – Kerin 1969).

Vztah k diskrétnímu spektru

Výše uvedená ekvivalence ukazuje, že množina normálních vlastních čísel se shoduje s diskrétní spektrum, definovaný jako soubor izolovaných bodů spektra s konečným pořadím odpovídajícího projektoru Riesz.^[5]

Dekompozice spektra nesousadených operátorů

Spektrum uzavřeného operátora ${ displaystyle A: , { mathfrak {B}} do { mathfrak {B}}}$ v Banachově prostoru ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$ lze rozložit na spojení dvou disjunktních množin, množiny normálních vlastních čísel a pátého typu základní spektrum:

${ displaystyle sigma (A) = {{ text {normální vlastní hodnoty}} A } pohár sigma _ { mathrm {ess}, 5} (A).}$

Viz také

• Spektrum (funkční analýza)
• Rozklad spektra (funkční analýza)
• Diskrétní spektrum (matematika)
• Základní spektrum
• Spektrum operátora
• Formální rezoluce
• Projektor Riesz
• Operátor Fredholm
• Teorie operátorů

Reference