Rosatiho involuce - Rosati involution

v matematika, a Rosatiho involuce, pojmenoval podle Carlo Rosati, je involuce racionálního endomorfismus prsten z abelianská odrůda indukované polarizací.

Nechat ${ displaystyle A}$ být abelianská odrůda, nechť ${ displaystyle { hat {A}} = mathrm {Pic} ^ {0} (A)}$ být dvojitá abelianská odrůda, a pro ${ displaystyle a v A}$, nechť ${ displaystyle T_ {a}: od A do A}$ být překladem podle${ displaystyle a}$ mapa, ${ displaystyle T_ {a} (x) = x + a}$. Pak každý dělitel ${ displaystyle D}$ na ${ displaystyle A}$ definuje mapu ${ displaystyle phi _ {D}: A to { hat {A}}}$ přes ${ displaystyle phi _ {D} (a) = [T_ {a} ^ {*} D-D]}$. Mapa ${ displaystyle phi _ {D}}$ je polarizace, tj. má konečné jádro, právě když ${ displaystyle D}$ je dostatek. Rosatiho involuce ${ displaystyle mathrm {End} (A) otimes mathbb {Q}}$ vzhledem k polarizaci ${ displaystyle phi _ {D}}$ pošle mapu ${ displaystyle psi in mathrm {End} (A) otimes mathbb {Q}}$ na mapu ${ displaystyle psi '= phi _ {D} ^ {- 1} circ { hat { psi}} circ phi _ {D}}$, kde ${ displaystyle { hat { psi}}: { hat {A}} do { hat {A}}}$ je duální mapa vyvolaná akcí ${ displaystyle psi ^ {*}}$ na ${ displaystyle mathrm {obrázek} (A)}$.

Nechat ${ displaystyle mathrm {NS} (A)}$ označit Skupina Néron – Severi z ${ displaystyle A}$. Polarizace ${ displaystyle phi _ {D}}$ také vyvolává zařazení ${ displaystyle Phi: mathrm {NS} (A) otimes mathbb {Q} to mathrm {End} (A) otimes mathbb {Q}}$ přes ${ displaystyle Phi _ {E} = phi _ {D} ^ {- 1} circ phi _ {E}}$. Obrázek uživatele ${ displaystyle Phi}$ je rovný ${ displaystyle { psi in mathrm {End} (A) otimes mathbb {Q}: psi '= psi }}$, tj. soubor endomorfismů fixovaných Rosatiho involucí. Operace ${ displaystyle E star F = { frac {1} {2}} Phi ^ {- 1} ( Phi _ {E} circ Phi _ {F} + Phi _ {F} circ Phi _ {E})}$ pak dává ${ displaystyle mathrm {NS} (A) otimes mathbb {Q}}$ struktura formálně reálného Jordan algebra.

Reference

• Mumford, David (2008) [1970], Abelianské odrůdy, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-81-85931-86-9, PAN  0282985, OCLC  138290
• Rosati, Carlo (1918), „Sulle corrispondenze algebriche fra i punti di due curve algebriche.“, Annali di Matematica Pura ed Applicata (v italštině), 3 (28): 35–60, doi:10.1007 / BF02419717