Konjugujte transpozici - Conjugate transpose - Wikipedia

v matematika, konjugovat transponovat (nebo Hermitian transponovat) z m-podle-n matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ s komplex záznamů, je n-podle-m matice získaná z ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ tím, že přemístit a pak se komplexní konjugát z každého vstupu (komplexní konjugát ${ displaystyle a + ib}$ bytost ${ displaystyle a-ib}$, pro reálná čísla ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$). Často se označuje jako ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ nebo ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ {*}}$.^[1][2][3]

Pro skutečné matice je konjugovaná transpozice jen transpozice, ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {A}} ^ { mathsf {T}}}$.

Definice

Konjugovaná transpozice an ${ displaystyle m krát n}$ matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ je formálně definován

${ displaystyle left ({ boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} right) _ {ij} = { overline {{ boldsymbol {A}} _ {ji}}}}$

(Rovnice 1)

kde dolní indexy označují ${ displaystyle (i, j)}$-tý vstup, pro ${ Displaystyle 1 leq i leq n}$ a ${ displaystyle 1 leq j leq m}$a overbar označuje konjugát skalárního komplexu.

Tuto definici lze také zapsat jako^[3]

${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} = left ({ overline { boldsymbol {A}}} right) ^ { mathsf {T}} = { overline {{ boldsymbol {A}} ^ { mathsf {T}}}}}$

kde ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathsf {T}}}$ označuje transpozici a ${ displaystyle { overline { boldsymbol {A}}}}$ označuje matici se složitými konjugovanými položkami.

Jiná jména pro transpozici konjugátu matice jsou Hermitianský konjugát, bedaggered matrix, adjointová matice nebo transjugát. Konjugovaná transpozice matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ lze označit kterýmkoli z těchto symbolů:

• ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ {*}}$, běžně používaný v lineární algebra^[3]
• ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$, běžně používaný v lineární algebře^[1]
• ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { dagger}}$ (někdy vyslovováno jako A dýka ), běžně používaný v kvantová mechanika
• ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ {+}}$, i když se tento symbol běžněji používá pro Moore – Penroseova pseudoinverze

V některých kontextech ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ {*}}$ označuje matici pouze s komplexními konjugovanými položkami a bez transpozice.

Příklad

Předpokládejme, že chceme vypočítat transpozici konjugátu následující matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$.

${ displaystyle { boldsymbol {A}} = { begin {bmatrix} 1 & -2-i & 5 1 + i & i & 4-2i end {bmatrix}}}$

Nejprve transponujeme matici:

${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathsf {T}} = { begin {bmatrix} 1 & 1 + i - 2-i & i 5 & 4-2i end {bmatrix}}}$

Potom spojíme každý vstup matice:

${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} = { begin {bmatrix} 1 & 1-i - 2 + i & -i 5 & 4 + 2i end {bmatrix}}}$

Základní poznámky

Čtvercová matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ se záznamy ${ displaystyle a_ {ij}}$ je nazýván

• Hermitian nebo samoadjung -li ${ displaystyle { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$; tj., ${ displaystyle a_ {ij} = { overline {a_ {ji}}}}$ .
• Šikmý Hermitian nebo antihermitian, pokud ${ displaystyle { boldsymbol {A}} = - { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$; tj., ${ displaystyle a_ {ij} = - { overline {a_ {ji}}}}$ .
• Normální -li ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {A}} { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$.
• Unitary -li ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {A}} ^ {- 1}}$ekvivalentně ${ displaystyle { boldsymbol {A}} { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {I}}}$ekvivalentně ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {I}}}$.

I kdyby ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ není čtverec, dvě matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} { boldsymbol {A}}}$ a ${ displaystyle { boldsymbol {A}} { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ jsou oba poustevníci a ve skutečnosti pozitivní semi-definitivní matice.

Konjugát transponuje "adjoint" matici ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ by neměla být zaměňována s doplnit, ${ displaystyle operatorname {adj} ({ boldsymbol {A}})}$, kterému se také někdy říká adjoint.

Konjugovaná transpozice matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ s nemovitý položky se redukují na přemístit z ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$, protože konjugát reálného čísla je číslo samotné.

Motivace

Konjugovaná transpozice může být motivována konstatováním, že komplexní čísla mohou být užitečně reprezentována 2 × 2 reálnými maticemi, dodržováním sčítání a násobení matic:

${ displaystyle a + ib equiv { begin {pmatrix} a & -b b & a end {pmatrix}}.}$

To znamená, označovat každý komplex číslo z podle nemovitý 2 × 2 matice lineární transformace na Argandův diagram (zobrazeno jako nemovitý vektorový prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$), ovlivněn komplexem z- multiplikace zapnuta ${ displaystyle mathbb {C}}$.

Tak, an m-podle-n matice komplexních čísel by mohla být dobře reprezentována číslem 2m-by-2n matice reálných čísel. Transpozice konjugátu proto vzniká velmi přirozeně jako výsledek jednoduše transponování takové matice - při zpětném pohledu jako n-podle-m matice složená ze složitých čísel.

Vlastnosti transpozice konjugátu

• ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}} + { boldsymbol {B}}) ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} + { boldsymbol {B }} ^ { mathrm {H}}}$ pro libovolné dvě matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ a ${ displaystyle { boldsymbol {B}}}$ stejných rozměrů.
• ${ displaystyle (z { boldsymbol {A}}) ^ { mathrm {H}} = { overline {z}} { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ pro jakékoli komplexní číslo ${ displaystyle z}$ a jakékoli m-podle-n matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$.
• ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}} { boldsymbol {B}}) ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {B}} ^ { mathrm {H}} { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ pro všechny m-podle-n matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ a jakékoli n-podle-p matice ${ displaystyle { boldsymbol {B}}}$. Všimněte si, že pořadí faktorů je obrácené.^[2]
• ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}) ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {A}}}$ pro všechny m-podle-n matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$, tj. Hermitova transpozice je involuce.
• Li ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ je tedy čtvercová matice ${ displaystyle operatorname {det} ({ boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}) = { overline { operatorname {det} ({ boldsymbol {A}})}}}$ kde ${ displaystyle operatorname {det} (A)}$ označuje určující z ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ .
• Li ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ je tedy čtvercová matice ${ displaystyle operatorname {tr} ({ boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}) = { overline { operatorname {tr} ({ boldsymbol {A}})}}}$ kde ${ displaystyle operatorname {tr} (A)}$ označuje stopa z ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$.
• ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ je invertibilní kdyby a jen kdyby ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ je invertibilní, a v tom případě ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}) ^ {- 1} = ({ boldsymbol {A}} ^ {- 1}) ^ { mathrm {H}}}$.
• The vlastní čísla z ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ jsou komplexní konjugáty vlastní čísla z ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$.
• ${ displaystyle langle { boldsymbol {A}} x, y rangle _ {m} = langle x, { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} y rangle _ {n}}$ pro všechny m-podle-n matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$, jakýkoli vektor v ${ displaystyle x in mathbb {C} ^ {n}}$ a jakýkoli vektor ${ displaystyle y in mathbb {C} ^ {m}}$. Tady, ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {m}}$ označuje standardní komplex vnitřní produkt na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$, a podobně pro ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {n}}$.

Zobecnění

Poslední vlastnost uvedená výše ukazuje, že pokud se jedna zobrazí ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ jako lineární transformace z Hilbertův prostor ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {m},}$ pak matice ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ odpovídá operátor adjoint z ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$. Koncept adjunkčních operátorů mezi Hilbertovými prostory lze tedy chápat jako zevšeobecnění konjugované transpozice matic s ohledem na ortonormální bázi.

K dispozici je další zobecnění: předpokládejme ${ displaystyle A}$ je lineární mapa z komplexu vektorový prostor ${ displaystyle V}$ jinému, ${ displaystyle W}$, pak komplexní konjugovaná lineární mapa stejně jako transponovaná lineární mapa jsou definovány, a můžeme tedy vzít konjugovanou transpozici ${ displaystyle A}$ být komplexním konjugátem transpozice ${ displaystyle A}$. Mapuje konjugát dvojí z ${ displaystyle W}$ na konjugovaný dvojník z ${ displaystyle V}$.

Viz také

• Komplexní tečkovaný produkt
• Hermitian adjoint
• Adjugovaná matice

Reference

externí odkazy

• "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]