Komplexní matice A * získaná z matice A její transpozicí a konjugací každé položky
v matematika, konjugovat transponovat (nebo Hermitian transponovat) z m-podle-n matice
s komplex záznamů, je n-podle-m matice získaná z
tím, že přemístit a pak se komplexní konjugát z každého vstupu (komplexní konjugát
bytost
, pro reálná čísla
a
). Často se označuje jako
nebo
.[1][2][3]
Pro skutečné matice je konjugovaná transpozice jen transpozice,
.
Definice
Konjugovaná transpozice an
matice
je formálně definován
 | | (Rovnice 1) |
kde dolní indexy označují
-tý vstup, pro
a
a overbar označuje konjugát skalárního komplexu.
Tuto definici lze také zapsat jako[3]

kde
označuje transpozici a
označuje matici se složitými konjugovanými položkami.
Jiná jména pro transpozici konjugátu matice jsou Hermitianský konjugát, bedaggered matrix, adjointová matice nebo transjugát. Konjugovaná transpozice matice
lze označit kterýmkoli z těchto symbolů:
, běžně používaný v lineární algebra[3]
, běžně používaný v lineární algebře[1]
(někdy vyslovováno jako A dýka ), běžně používaný v kvantová mechanika
, i když se tento symbol běžněji používá pro Moore – Penroseova pseudoinverze
V některých kontextech
označuje matici pouze s komplexními konjugovanými položkami a bez transpozice.
Příklad
Předpokládejme, že chceme vypočítat transpozici konjugátu následující matice
.

Nejprve transponujeme matici:

Potom spojíme každý vstup matice:

Čtvercová matice
se záznamy
je nazýván
- Hermitian nebo samoadjung -li
; tj.,
. - Šikmý Hermitian nebo antihermitian, pokud
; tj.,
. - Normální -li
. - Unitary -li
ekvivalentně
ekvivalentně
.
I kdyby
není čtverec, dvě matice
a
jsou oba poustevníci a ve skutečnosti pozitivní semi-definitivní matice.
Konjugát transponuje "adjoint" matici
by neměla být zaměňována s doplnit,
, kterému se také někdy říká adjoint.
Konjugovaná transpozice matice
s nemovitý položky se redukují na přemístit z
, protože konjugát reálného čísla je číslo samotné.
Motivace
Konjugovaná transpozice může být motivována konstatováním, že komplexní čísla mohou být užitečně reprezentována 2 × 2 reálnými maticemi, dodržováním sčítání a násobení matic:

To znamená, označovat každý komplex číslo z podle nemovitý 2 × 2 matice lineární transformace na Argandův diagram (zobrazeno jako nemovitý vektorový prostor
), ovlivněn komplexem z- multiplikace zapnuta
.
Tak, an m-podle-n matice komplexních čísel by mohla být dobře reprezentována číslem 2m-by-2n matice reálných čísel. Transpozice konjugátu proto vzniká velmi přirozeně jako výsledek jednoduše transponování takové matice - při zpětném pohledu jako n-podle-m matice složená ze složitých čísel.
Vlastnosti transpozice konjugátu
pro libovolné dvě matice
a
stejných rozměrů.
pro jakékoli komplexní číslo
a jakékoli m-podle-n matice
.
pro všechny m-podle-n matice
a jakékoli n-podle-p matice
. Všimněte si, že pořadí faktorů je obrácené.[2]
pro všechny m-podle-n matice
, tj. Hermitova transpozice je involuce.- Li
je tedy čtvercová matice
kde
označuje určující z
. - Li
je tedy čtvercová matice
kde
označuje stopa z
.
je invertibilní kdyby a jen kdyby
je invertibilní, a v tom případě
.- The vlastní čísla z
jsou komplexní konjugáty vlastní čísla z
.
pro všechny m-podle-n matice
, jakýkoli vektor v
a jakýkoli vektor
. Tady,
označuje standardní komplex vnitřní produkt na
, a podobně pro
.
Zobecnění
Poslední vlastnost uvedená výše ukazuje, že pokud se jedna zobrazí
jako lineární transformace z Hilbertův prostor
na
pak matice
odpovídá operátor adjoint z
. Koncept adjunkčních operátorů mezi Hilbertovými prostory lze tedy chápat jako zevšeobecnění konjugované transpozice matic s ohledem na ortonormální bázi.
K dispozici je další zobecnění: předpokládejme
je lineární mapa z komplexu vektorový prostor
jinému,
, pak komplexní konjugovaná lineární mapa stejně jako transponovaná lineární mapa jsou definovány, a můžeme tedy vzít konjugovanou transpozici
být komplexním konjugátem transpozice
. Mapuje konjugát dvojí z
na konjugovaný dvojník z
.
Viz také
Reference
externí odkazy