Diskrétní spektrum (matematika) - Discrete spectrum (mathematics) - Wikipedia

V matematice, konkrétně v spektrální teorie, a diskrétní spektrum a uzavřený lineární operátor je definována jako sada izolovaných bodů jejího spektra tak, že hodnost odpovídajících Projektor Riesz je konečný.

Definice

Bod ${ displaystyle lambda v mathbb {C}}$v spektrum ${ displaystyle sigma (A)}$ a uzavřený lineární operátor ${ displaystyle A: , { mathfrak {B}} do { mathfrak {B}}}$ v Banachův prostor ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$ s doména ${ displaystyle { mathfrak {D}} (A) podmnožina { mathfrak {B}}}$ prý patří diskrétní spektrum ${ displaystyle sigma _ { mathrm {disk}} (A)}$ z ${ displaystyle A}$ pokud jsou splněny následující dvě podmínky:^[1]

1. ${ displaystyle lambda}$ je izolovaný bod v ${ displaystyle sigma (A)}$;
2. The hodnost odpovídajících Projektor Riesz ${ displaystyle P _ { lambda} = { frac {-1} {2 pi mathrm {i}}} mast _ { Gamma} (A-zI _ { mathfrak {B}}) ^ {- 1 } , dz}$ je konečný.

Tady ${ displaystyle I _ { mathfrak {B}}}$ je operátor identity v Banachově prostoru ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$ a ${ displaystyle Gamma podmnožina mathbb {C}}$ je hladká jednoduchá uzavřená křivka orientovaná proti směru hodinových ručiček ohraničující otevřenou oblast ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {C}}$ takhle ${ displaystyle lambda}$ je jediným bodem spektra ${ displaystyle A}$ v závěru ${ displaystyle Omega}$; to je ${ displaystyle sigma (A) cap { overline { Omega}} = { lambda }.}$

Vztah k normálním vlastním číslům

Diskrétní spektrum ${ displaystyle sigma _ { mathrm {disk}} (A)}$ se shoduje s množinou normální vlastní čísla z ${ displaystyle A}$:

${ displaystyle sigma _ { mathrm {disk}} (A) = {{ mbox {normální vlastní čísla}} A }.}$^[2][3][4]

Vztah k izolovaným vlastním číslům konečné algebraické multiplicity

Pořadí projektoru Riesz může být obecně větší než dimenze projektoru kořenový lineal ${ displaystyle { mathfrak {L}} _ { lambda}}$ příslušného vlastního čísla, a zejména je možné mít ${ displaystyle mathrm {dim} , { mathfrak {L}} _ { lambda} < infty}$, ${ displaystyle mathrm {rank} , P _ { lambda} = infty}$. Existuje tedy následující zahrnutí:

${ displaystyle sigma _ { mathrm {disk}} (A) podmnožina {{ mbox {izolované body spektra}} A { mbox {s konečnou algebraickou multiplicitou}} }.}$

Zejména pro a operátor quasinilpotent

${ displaystyle Q: , l ^ {2} ( mathbb {N}) až l ^ {2} ( mathbb {N}), qquad Q: , (a_ {1}, a_ {2} , a_ {3}, dots) mapsto (0, a_ {1} / 2, a_ {2} / 2 ^ {2}, a_ {3} / 2 ^ {3}, dots),}$

jeden má${ displaystyle { mathfrak {L}} _ { lambda} (Q) = {0 }}$, ${ displaystyle mathrm {pozice} , P _ { lambda} = infty}$,${ displaystyle sigma (Q) = {0 }}$,${ displaystyle sigma _ { mathrm {disk}} (Q) = emptyset}$.

Vztah k bodovému spektru

Diskrétní spektrum ${ displaystyle sigma _ { mathrm {disk}} (A)}$ operátora ${ displaystyle A}$ nelze zaměňovat s bodové spektrum ${ displaystyle sigma _ { mathrm {p}} (A)}$, který je definován jako sada vlastní čísla z ${ displaystyle A}$Zatímco každý bod diskrétního spektra patří do bodového spektra,

${ displaystyle sigma _ { mathrm {disk}} (A) podmnožina sigma _ { mathrm {p}} (A),}$

konverzace nemusí být nutně pravdivá: bodové spektrum nemusí nutně sestávat z izolovaných bodů spektra, jak je patrné z příkladu operátor řazení vlevo,${ displaystyle L: , l ^ {2} ( mathbb {N}) až l ^ {2} ( mathbb {N}), quad L: , (a_ {1}, a_ {2} , a_ {3}, dots) mapsto (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, dots).}$Pro tohoto operátora je bodové spektrum jednotkovým diskem komplexní roviny, spektrum je uzavřením jednotkového disku, zatímco diskrétní spektrum je prázdné:

${ displaystyle sigma _ { mathrm {p}} (L) = mathbb {D} _ {1}, qquad sigma (L) = { overline { mathbb {D} _ {1}}} ; qquad sigma _ { mathrm {disk}} (L) = emptyset.}$

Viz také

• Spektrum (funkční analýza)
• Rozklad spektra (funkční analýza)
• Normální vlastní číslo
• Základní spektrum
• Spektrum operátora
• Formální rezoluce
• Projektor Riesz
• Operátor Fredholm
• Teorie operátorů

Reference