Provozovatel téměř Mathieu - Almost Mathieu operator

v matematická fyzika, téměř operátor Mathieu vzniká při studiu kvantový Hallův jev. Je to dáno

${displaystyle [H_ {omega} ^ {lambda, alpha} u] (n) = u (n + 1) + u (n-1) + 2lambda cos (2pi (omega + nalpha)) u (n) ,,}$

jednající jako operátor s vlastním nastavením v Hilbertově prostoru ${displaystyle ell ^ {2} (mathbb {Z})}$. Tady ${displaystyle alpha, omega in mathbb {T}, lambda> 0}$ jsou parametry. v čistá matematika, jeho důležitost vychází ze skutečnosti, že je jedním z nejlépe pochopených příkladů ergodický Provozovatel Schrödinger. Například tři problémy (nyní všechny vyřešené) z Barry Simon Patnáct problémů Schrödingerových operátorů „pro jednadvacáté století“ obsahovalo téměř operátora Mathieu.^[1]

Pro ${displaystyle lambda = 1}$, někdy se nazývá téměř Mathieuův operátor Harperova rovnice.

Spektrální typ

Li ${displaystyle alpha}$ je racionální číslo, pak ${displaystyle H_ {omega} ^ {lambda, alpha}}$je periodický operátor a Teorie Floquet své spektrum je čistě absolutně kontinuální.

Nyní k případu, kdy ${displaystyle alpha}$ je iracionální Od transformace ${displaystyle omega mapsto omega + alpha}$ je minimální, z toho vyplývá, že spektrum ${displaystyle H_ {omega} ^ {lambda, alpha}}$ nezávisí na ${displaystyle omega}$. Na druhou stranu, díky ergodicitě jsou podpory absolutně spojitých, singulárních spojitých a čistých bodových částí spektra téměř jistě nezávislé na ${displaystyle omega}$Nyní je známo, že

• Pro ${displaystyle 0$, ${displaystyle H_ {omega} ^ {lambda, alpha}}$ má určitě čistě absolutně spojité spektrum.^[2] (To byl jeden ze Simonových problémů.)
• Pro ${displaystyle lambda = 1}$, ${displaystyle H_ {omega} ^ {lambda, alpha}}$ má jistě čistě singulární spojité spektrum pro každou iracionální ${displaystyle alpha}$.^[3]
• Pro ${displaystyle lambda> 1}$, ${displaystyle H_ {omega} ^ {lambda, alpha}}$ má téměř jistě čisté bodové spektrum a exponáty Andersonova lokalizace.^[4] (Je známo, že téměř jistě nelze jistě nahradit.)^[5][6]

Že spektrální míry jsou singulární, když ${displaystyle lambda geq 1}$ následuje (prostřednictvím práce Last a Simon)^[7]od spodní hranice na Lyapunovův exponent ${displaystyle gamma (E)}$ dána

${displaystyle gamma (E) geq max {0, log (lambda)}.,}$

Tuto dolní hranici nezávisle prokázali Avron, Simon a Michael Herman, po dřívější téměř přísné hádce Aubryho a Andrého. Vlastně kdy ${displaystyle E}$ patří do spektra, nerovnost se stává rovností (vzorec Aubry – André), což dokazuje Jean Bourgain a Svetlana Jitomirskaya.^[8]

Struktura spektra

Hofstadterův motýl

Další pozoruhodnou charakteristikou operátora téměř Mathieu je, že jeho spektrum je a Cantor set pro všechny iracionální ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle lambda> 0}$. To ukázalo Avila a Jitomirskaya řešení v té době slavného „problému deseti martini“^[9] (také jeden ze Simonových problémů) po několika dřívějších výsledcích (včetně obecných)^[10] a téměř jistě^[11] s ohledem na parametry).

Kromě toho Lebesgueovo opatření o spektru téměř operátora Mathieu je známo, že je

${displaystyle operatorname {Leb} (sigma (H_ {omega} ^ {lambda, alpha})) = | 4-4lambda |,}$

pro všechny ${displaystyle lambda> 0}$. Pro ${displaystyle lambda = 1}$ to znamená, že spektrum má nulovou míru (to bylo poprvé navrženo Douglas Hofstadter a později se stal jedním ze Simonových problémů).^[12] Pro ${displaystyle lambda eq 1}$, vzorec byl numericky objeven Aubrym a Andrém a prokázán Jitomirskou a Krasovským. Dříve poslední ^[13][14] prokázal tento vzorec pro většinu hodnot parametrů.

Studium spektra pro ${displaystyle lambda = 1}$ vede k Hofstadterův motýl, kde je spektrum zobrazeno jako množina.

Reference