Wienerova algebra - Wiener algebra
V matematice je Wienerova algebra, pojmenoval podle Norbert Wiener a obvykle označeno A(T), je prostor absolutně konvergentní Fourierova řada.[1] Tady T označuje kruhová skupina.
Struktura Banachovy algebry
Norma funkce F ∈ A(T) darováno
kde
je nFourierův koeficient F. Wienerova algebra A(T) je uzavřeno při bodovém násobení funkcí. Vskutku,
proto
Wienerova algebra je tedy komutativní unitární Banachova algebra. Taky, A(T) je izomorfní s Banachovou algebrou l1(Z), s izomorfismem daným Fourierovou transformací.
Vlastnosti
Součet absolutně konvergentní Fourierovy řady je spojitý, takže
kde C(T) je kruh spojitých funkcí na jednotkovém kruhu.
Na druhou stranu integrace po částech společně s Cauchy – Schwarzova nerovnost a Parsevalova formule, ukázat to
Obecněji,
pro (vidět Katznelson (2004) ).
Wienerova 1 /F teorém
Wiener (1932, 1933 ) prokázal, že pokud F má absolutně konvergentní Fourierovu řadu a nikdy není nula, tedy její vzájemnost 1/F má také absolutně konvergentní Fourierovu řadu. Od té doby se objevilo mnoho dalších důkazů, včetně jednoho elementárního Nový muž (1975 ).
Gelfand (1941, 1941b ) použil teorii Banachových algeber, kterou vyvinul, aby ukázal, že maximální ideály A(T) jsou ve formě
což je ekvivalent Wienerovy věty.
Viz také
Poznámky
- ^ Weisstein, Eric W.; Moslehian, M.S. „Wienerova algebra“. MathWorld.
Reference
- Arveson, William (2001) [1994], „Krátký kurz o spektrální teorii“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Gelfand, I. (1941a), "Normierte Ringe", Rec. Matematika. (Mat. Sbornik) N.S., 9 (51): 3–24, PAN 0004726
- Gelfand, I. (1941b), "Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale", Rec. Matematika. (Mat. Sbornik) N.S., 9 (51): 51–66, PAN 0004727
- Katznelson, Yitzhak (2004), Úvod do harmonické analýzy (Třetí vydání), New York: Cambridge Mathematical Library, ISBN 978-0-521-54359-0
- Newman, D. J. (1975), „Jednoduchý důkaz Wienerova 1 /F teorém", Proceedings of the American Mathematical Society, 48: 264–265, doi:10.2307/2040730, ISSN 0002-9939, PAN 0365002
- Wiener, Norbert (1932), „Tauberianovy věty“, Annals of Mathematics, 33 (1): 1–100, doi:10.2307/1968102
- Wiener, Norbert (1933), Fourierův integrál a některé jeho aplikace, Matematická knihovna v Cambridge, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511662492, ISBN 978-0-521-35884-2, PAN 0983891