Základní spektrum - Essential spectrum
v matematika, základní spektrum a ohraničený operátor (nebo obecněji a hustě definované uzavřený lineární operátor ) je jeho určitá podmnožina spektrum, definovaný podmínkou typu, který zhruba říká „špatně selže, aby byl invertovatelný“.
Základní spektrum operátorů se samostatným přidružením
Formálně, pojďme X být Hilbertův prostor a nechte T být operátor s vlastním nastavením na X.
Definice
The základní spektrum z T, obvykle označované σess(T), je množina všech komplexní čísla λ takové, že
není Operátor Fredholm, kde označuje operátor identity na X, aby pro všechny X v X(Provozovatelem je Fredholm, pokud jádro a koksovna jsou konečně-dimenzionální.)
Vlastnosti
Základní spektrum je vždy Zavřeno a je to podmnožina souboru spektrum. Od té doby T je self-adjoint, spektrum je obsaženo na skutečné ose.
Základní spektrum je neměnné při kompaktních poruchách. To je, pokud K. je kompaktní operátor s vlastním nastavením na X, pak základní spektra T a to z shodovat se. To vysvětluje, proč se tomu říká nezbytný spektrum: Weyl (1910) původně definovali základní spektrum určitého diferenciálního operátora jako spektrum nezávislé na okrajových podmínkách.
Weylovo kritérium pro základní spektrum je následující. Nejprve je v λ číslo λ spektrum z T jen tehdy, pokud existuje a sekvence {ψk} v prostoru X takhle a
Dále je λ v základní spektrum pokud existuje posloupnost splňující tuto podmínku, ale taková, že neobsahuje žádné konvergentní subsekvence (to je případ, když např je ortonormální sekvence); taková posloupnost se nazývá a singulární sekvence.
Diskrétní spektrum
Základní spektrum je podmnožinou spektra σ a jeho doplněk se nazývá diskrétní spektrum, tak
Li T je self-adjoint, pak je podle definice číslo λ v diskrétní spektrum z T pokud se jedná o izolované vlastní číslo konečné množnosti, což znamená dimenzi prostoru
má konečnou, ale nenulovou dimenzi a že existuje ε> 0 takové, že μ ∈ σ (T) a | μ − λ | <ε znamená, že μ a λ jsou si rovny. (Pro obecné neselektivní operátory v Banachovy prostory, podle definice, číslo je v diskrétní spektrum pokud je to normální vlastní číslo; nebo ekvivalentně, pokud se jedná o izolovaný bod spektra a hodnost odpovídajícího Projektor Riesz je konečný.)
Základní spektrum uzavřených operátorů v Banachových prostorech
Nechat X být Banachův prostor a nechte být uzavřený lineární operátor na X s hustá doména . Existuje několik definic základního spektra, které nejsou ekvivalentní.
- Základní spektrum je množina všech λ taková, že is not semi-Fredholm (an operator is semi-Fredholm if its range is closed and its kernel or its cokernel is finite-dimensional).
- Základní spektrum je množina všech λ, takže rozsah není uzavřen nebo jádro je nekonečně dimenzionální.
- Základní spektrum je množina všech λ taková, že is not Fredholm (an operator is Fredholm if its range is closed and both its kernel and its cokernel are finite-dimensional).
- Základní spektrum je množina všech λ taková, že není Fredholm s indexem nula (index Fredholmova operátoru je rozdíl mezi dimenzí jádra a dimenzí kokseru).
- Základní spektrum je spojení σes, 1(T) se všemi složkami které se neprotínají se sadou resolventů .
Každé z výše definovaných základních spekter , , je uzavřen. Dále
a kterákoli z těchto inkluzí může být přísná. U operátorů s vlastním adjointem se všechny výše uvedené definice základního spektra shodují.
Definujte poloměr základního spektra do
I když se spektra mohou lišit, poloměr je pro všechny stejný k.
Definice množiny odpovídá kritériu Weyla: je množina všech λ, pro které existuje singulární sekvence.
Základní spektrum je neměnný za kompaktních poruch pro k = 1,2,3,4, ale ne pro k = 5. Sada dává část spektra, která je nezávislá na kompaktních poruchách, tj.
kde označuje množinu kompaktní operátory na X (D.E. Edmunds a W.D. Evans, 1987).
Spektrum uzavřeného hustě definovaného operátoru T lze rozložit na disjunktní unii
- ,
kde je diskrétní spektrum z T.
Viz také
- Spektrum (funkční analýza)
- Formální rezoluce
- Rozklad spektra (funkční analýza)
- Diskrétní spektrum (matematika)
- Spektrum operátora
- Teorie operátorů
- Fredholmova teorie
Reference
Self-adjoint případ je popsán v
- Reed, Michael C.; Simon, Barry (1980), Metody moderní matematické fyziky: Funkční analýza, 1, San Diego: Academic Press, ISBN 0-12-585050-6
- Teschl, Gerald (2009). Matematické metody v kvantové mechanice; S aplikacemi pro provozovatele Schrödinger. Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-4660-5.
Diskuse o spektru pro obecné operátory lze nalézt v
- D.E. Edmunds a W.D. Evans (1987), Spektrální teorie a diferenciální operátory, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
Původní definice základního spektra sahá až k
- H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68, 220–269.