Schur – Hornova věta - Schur–Horn theorem

v matematika, zejména lineární algebra, Schur – Hornova věta, pojmenoval podle Issai Schur a Alfred Horn, charakterizuje úhlopříčku a Hermitova matice s daným vlastní čísla. Inspirovala vyšetřování a zásadní zevšeobecňování situace symplektická geometrie. Několik důležitých zobecnění je Kostantova věta o konvexitě, Atiyah – Guillemin – Sternbergova věta o konvexitě, Kirwanova věta o konvexitě.

Tvrzení

Teorém. Nechat ${ displaystyle mathbf {d} = {d_ {i} } _ {i = 1} ^ {N}}$ a ${ displaystyle mathbf { lambda} = { lambda _ {i} } _ {i = 1} ^ {N}}$ být vektory v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {N}}$ tak, aby jejich položky nebyly v rostoucím pořadí. Tady je Hermitova matice s úhlopříčnými hodnotami ${ displaystyle {d_ {i} } _ {i = 1} ^ {N}}$ a vlastní čísla ${ displaystyle { lambda _ {i} } _ {i = 1} ^ {N}}$ kdyby a jen kdyby

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} leq sum _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} qquad n = 1,2, ldots, N}$

a

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} d_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {N} lambda _ {i}.}$

Polyhedrální geometrie perspektiva

Permutační polytop generovaný vektorem

The permutační polytop generováno uživatelem ${ displaystyle { tilde {x}} = (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) in mathbb {R} ^ {n}}$ označeno ${ displaystyle { mathcal {K}} _ { tilde {x}}}$ je definován jako konvexní trup množiny ${ displaystyle {(x _ { pi (1)}, x _ { pi (2)}, ldots, x _ { pi (n)}) v mathbb {R} ^ {n}: pi v S_ {n} }}$. Tady ${ displaystyle S_ {n}}$ označuje symetrická skupina na ${ displaystyle {1,2, ldots, n }}$. Následující lemma charakterizuje permutační polytop vektoru v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$.

Lemma.^[1][2] Li ${ displaystyle x_ {1} geq x_ {2} geq cdots geq x_ {n}, y_ {1} geq y_ {2} geq cdots geq y_ {n}}$, a ${ displaystyle x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {n} = y_ {1} + y_ {2} + cdots + y_ {n},}$ pak následující jsou ekvivalentní:

(i) ${ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, cdots, y_ {n}) (= { tilde {y}}) in { mathcal {K}} _ { tilde {x}}}$.

ii) ${ displaystyle y_ {1} leq x_ {1}, y_ {1} + y_ {2} leq x_ {1} + x_ {2}, ldots, y_ {1} + y_ {2} + cdots + y_ {n-1} leq x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {n-1}}$

(iii) Existují body ${ displaystyle (x_ {1} ^ {(1)}, x_ {2} ^ {(1)}, cdots, x_ {n} ^ {(1)}) (= { tilde {x}} _ {1}), ldots, (x_ {1} ^ {(n)}, x_ {2} ^ {(n)}, ldots, x_ {n} ^ {(n)}) (= { tilde {x}} _ {n})}$ v ${ displaystyle { mathcal {K}} _ { tilde {x}}}$ takhle ${ displaystyle { tilde {x}} _ {1} = { tilde {x}}, { tilde {x}} _ {n} = { tilde {y}},}$ a ${ displaystyle { tilde {x}} _ {k + 1} = t { tilde {x}} _ {k} + (1-t) tau ({ tilde {x_ {k}}})}$ pro každého ${ displaystyle k}$ v ${ displaystyle {1,2, ldots, n-1 }}$, nějaká transpozice ${ displaystyle tau}$ v ${ displaystyle S_ {n}}$, a nějaký ${ displaystyle t}$ v ${ displaystyle [0,1]}$, záleží na ${ displaystyle k}$.

Reformulace Schur-Hornovy věty

S ohledem na ekvivalenci bodů (i) a (ii) ve výše uvedeném lemmatu lze větu přeformulovat následujícím způsobem.

Teorém. Nechat ${ displaystyle mathbf {d} = {d_ {i} } _ {i = 1} ^ {N}}$ a ${ displaystyle mathbf { lambda} = { lambda _ {i} } _ {i = 1} ^ {N}}$ být skutečnými vektory. Tady je Hermitova matice s diagonálními vstupy ${ displaystyle {d_ {i} } _ {i = 1} ^ {N}}$ a vlastní čísla ${ displaystyle { lambda _ {i} } _ {i = 1} ^ {N}}$ právě když vektor ${ displaystyle (d_ {1}, d_ {2}, ldots, d_ {n})}$ je v permutačním polytopu generovaném ${ displaystyle ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {n})}$.

Všimněte si, že v této formulaci není třeba vnucovat žádné uspořádání vstupů vektorů ${ displaystyle mathbf {d}}$ a ${ displaystyle mathbf { lambda}}$.

Důkaz Schur-Hornovy věty

Nechat ${ displaystyle A (= a_ {jk})}$ být ${ displaystyle n krát n}$ Hermitovská matice s vlastními hodnotami ${ displaystyle { lambda _ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$, počítáno s multiplicitou. Označte úhlopříčku ${ displaystyle A}$ podle ${ displaystyle { tilde {a}}}$, myšlenka jako vektor v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$a vektor ${ displaystyle ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {n})}$ podle ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$. Nechat ${ displaystyle Lambda}$ být diagonální matice mající ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {n}}$ na jeho úhlopříčce.

(${ displaystyle Rightarrow}$) ${ displaystyle A}$ mohou být napsány ve formě ${ displaystyle U Lambda U ^ {- 1}}$, kde ${ displaystyle U}$ je unitární matice. Pak

${ displaystyle a_ {ii} = součet _ {j = 1} ^ {n} lambda _ {j} | u_ {ij} | ^ {2}, ; i = 1,2, ldots, n}$

Nechat ${ displaystyle S = (s_ {ij})}$ být matice definovaná ${ displaystyle s_ {ij} = | u_ {ij} | ^ {2}}$. Od té doby ${ displaystyle U}$ je unitární matice, ${ displaystyle S}$ je dvojnásobně stochastická matice a máme ${ displaystyle { tilde {a}} = S { tilde { lambda}}}$. Podle Birkhoff – von Neumannova věta, ${ displaystyle S}$ lze napsat jako konvexní kombinaci permutačních matic. Tím pádem ${ displaystyle { tilde {a}}}$ je v permutačním polytopu generovaném ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$. To dokazuje Schurovu větu.

(${ displaystyle Leftarrow}$) Pokud ${ displaystyle { tilde {a}}}$ se vyskytuje jako úhlopříčka hermitovské matice s vlastními hodnotami ${ displaystyle { lambda _ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$, pak ${ displaystyle t { tilde {a}} + (1-t) tau ({ tilde {a}})}$ také se vyskytuje jako úhlopříčka nějaké hermitovské matice se stejnou sadou vlastních čísel pro jakoukoli transpozici ${ displaystyle tau}$ v ${ displaystyle S_ {n}}$. Dá se to dokázat následujícím způsobem.

Nechat ${ displaystyle xi}$ být komplexní počet modulů ${ displaystyle 1}$ takhle ${ displaystyle { overline { xi a_ {jk}}} = - xi a_ {jk}}$ a ${ displaystyle U}$ být jednotná matice s ${ displaystyle xi { sqrt {t}}, { sqrt {t}}}$ v ${ displaystyle j, j}$ a ${ displaystyle k, k}$ záznamy ${ displaystyle - { sqrt {1-t}}, xi { sqrt {1-t}}}$ na ${ displaystyle j, k}$ a ${ displaystyle k, j}$ záznamy ${ displaystyle 1}$ u všech diagonálních položek jiných než ${ displaystyle j, j}$ a ${ displaystyle k, k}$, a ${ displaystyle 0}$ u všech ostatních záznamů. Pak ${ displaystyle UAU ^ {- 1}}$má ${ displaystyle ta_ {jj} + (1-t) a_ {kk}}$ na ${ displaystyle j, j}$ vstup, ${ displaystyle (1-t) a_ {jj} + ta_ {kk}}$ na ${ displaystyle k, k}$ vstup a ${ displaystyle a_ {ll}}$ na ${ displaystyle l, l}$ vstup kde ${ displaystyle l neq j, k}$. Nechat ${ displaystyle tau}$ být provedení ${ displaystyle {1,2, ldots, n }}$ že zaměňují ${ displaystyle j}$ a ${ displaystyle k}$.

Pak úhlopříčka ${ displaystyle UAU ^ {- 1}}$ je ${ displaystyle t { tilde {a}} + (1-t) tau ({ tilde {a}})}$.

${ displaystyle Lambda}$ je hermitovská matice s vlastními hodnotami ${ displaystyle { lambda _ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$. Použitím ekvivalence (i) a (iii) ve výše uvedeném lemmatu vidíme, že jakýkoli vektor v permutačním polytopu generovaný ${ displaystyle ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {n})}$, se vyskytuje jako úhlopříčka hermitovské matice s předepsanými vlastními hodnotami. To dokazuje Hornovu větu.

Symplektická geometrická perspektiva

Schur-Hornova věta může být považována za důsledek Atiyah – Guillemin – Sternbergova věta o konvexitě následujícím způsobem. Nechat ${ displaystyle { mathcal {U}} (n)}$ označte skupinu ${ displaystyle n krát n}$ unitární matice. Jeho Lieova algebra, označená ${ displaystyle { mathfrak {u}} (n)}$, je sada šikmo-poustevník matice. Jeden může identifikovat dvojí prostor ${ displaystyle { mathfrak {u}} (n) ^ {*}}$ se sadou hermitovských matic ${ displaystyle { mathcal {H}} (n)}$ prostřednictvím lineárního izomorfismu ${ displaystyle Psi: { mathcal {H}} (n) rightarrow { mathfrak {u}} (n) ^ {*}}$ definován ${ displaystyle Psi (A) (B) = mathrm {tr} (iAB)}$ pro ${ displaystyle A in { mathcal {H}} (n), B in { mathfrak {u}} (n)}$. Unitární skupina ${ displaystyle { mathcal {U}} (n)}$ jedná ${ displaystyle { mathcal {H}} (n)}$ konjugací a působí na ${ displaystyle { mathfrak {u}} (n) ^ {*}}$ podle společná akce. V rámci těchto akcí ${ displaystyle Psi}$ je ${ displaystyle { mathcal {U}} (n)}$- ekvivariantní mapa, tj. pro všechny ${ displaystyle U in { mathcal {U}} (n)}$ následující diagram dojíždí,

Nechat ${ displaystyle { tilde { lambda}} = ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {n}) in mathbb {R} ^ {n}}$ a ${ displaystyle Lambda v { mathcal {H}} (n)}$ označte diagonální matici položkami danými ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$. Nechat ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { tilde { lambda}}}$ označit oběžnou dráhu ${ displaystyle Lambda}$ pod ${ displaystyle { mathcal {U}} (n)}$-akce, tj. konjugace. Pod ${ displaystyle { mathcal {U}} (n)}$ekvivariantní izomorfismus ${ displaystyle Psi}$, může být přenesena symplektická struktura na odpovídající oběžné dráze ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { tilde { lambda}}}$. Tím pádem ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { tilde { lambda}}}$ je Hamiltonián ${ displaystyle { mathcal {U}} (n)}$- potrubí.

Nechat ${ displaystyle mathbb {T}}$ označit Cartan podskupina z ${ displaystyle { mathcal {U}} (n)}$ který se skládá z diagonálních komplexních matic s diagonálními vstupy modulu ${ displaystyle 1}$. Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {t}}}$ z ${ displaystyle mathbb {T}}$ sestává z diagonálních šikmo-hermitovských matic a duálního prostoru ${ displaystyle { mathfrak {t}} ^ {*}}$ sestává z diagonálních hermitovských matic pod izomorfismem ${ displaystyle Psi}$. Jinými slovy, ${ displaystyle { mathfrak {t}}}$ se skládá z diagonálních matic s čistě imaginárními vstupy a ${ displaystyle { mathfrak {t}} ^ {*}}$ sestává z diagonálních matic se skutečnými vstupy. Mapa zařazení ${ displaystyle { mathfrak {t}} hookrightarrow { mathfrak {u}} (n)}$ vyvolá mapu ${ displaystyle Phi: { mathcal {H}} (n) cong { mathfrak {u}} (n) ^ {*} rightarrow { mathfrak {t}} ^ {*}}$, který promítá matici ${ displaystyle A}$ na diagonální matici se stejnými diagonálními položkami jako ${ displaystyle A}$. Sada ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { tilde { lambda}}}$ je Hamiltonián ${ displaystyle mathbb {T}}$-manifold a omezení ${ displaystyle Phi}$ k této sadě je a momentová mapa pro tuto akci.

Podle věty Atiyah – Guillemin – Sternberg, ${ displaystyle Phi ({ mathcal {O}} _ { tilde { lambda}})}$ je konvexní polytop. Matice ${ displaystyle A in { mathcal {H}} (n)}$ je fixován konjugací každým prvkem ${ displaystyle mathbb {T}}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle A}$ je úhlopříčka. Jediné úhlopříčné matice v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { tilde { lambda}}}$ jsou ty s diagonálními vstupy ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {n}}$ v nějakém pořadí. Tyto matice tedy generují konvexní polytop ${ displaystyle Phi ({ mathcal {O}} _ { tilde { lambda}})}$. Toto je přesně tvrzení Schur-Hornovy věty.

Poznámky

Reference

• Schur, Issai, Über eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die Determinantentheorie, Sitzungsber. Berl. Matematika. Ges. 22 (1923), 9–20.
• Horn, Alfred, Dvojnásobně stochastické matice a úhlopříčka rotační matice, American Journal of Mathematics 76 (1954), 620–630.
• Kadison, R. V.; Pedersen, G. K., Prostředky a konvexní kombinace jednotných operátorů, Math. Scand. 57 (1985), 249–266.
• Kadison, R. V., Pytagorova věta: I. Konečný případ, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, roč. 99 č. 7 (2002): 4178–4184 (elektronická verze)

externí odkazy

• MathWorld
• Terry Tao: 254A, poznámky 3a: Vlastní čísla a součty hermitovských matic
• Sheela Devadas, Peter J. Haine, Keaton Stubis: Schur-Hornova věta