Spektrální asymetrie - Spectral asymmetry
v matematika a fyzika, spektrální asymetrie je asymetrie v distribuci spektrum z vlastní čísla z operátor. V matematice vzniká spektrální asymetrie při studiu eliptické operátory na kompaktní rozdělovače, a dává mu hluboký význam Atiyah-Singerova věta o indexu. Ve fyzice má řadu aplikací, jejichž výsledkem je obvykle zlomek nabít kvůli asymetrii spektra a Dirac operátor. Například hodnota očekávaného vakua z baryonové číslo je dána spektrální asymetrií Hamiltonovský operátor. Spektrální asymetrie uzavřeného prostoru tvaroh pole je důležitou vlastností model chirální tašky. Pro fermiony, je znám jako Wittenův index a lze jej chápat jako popisující Kazimírův efekt pro fermiony.
Definice
Daný operátor s vlastní čísla , jejichž stejný počet je kladných i záporných, lze spektrální asymetrii definovat jako součet
kde je znaková funkce. jiný regulátory, tak jako regulátor funkce zeta, může být použit.
Potřeba pozitivního i negativního spektra v definici je důvodem, proč se spektrální asymetrie obvykle vyskytuje při studiu Dirac operátoři.
Příklad
Jako příklad zvažte operátora se spektrem
kde n je celé číslo v rozsahu všech kladných a záporných hodnot. Jeden může v tomto případě ukázat přímým způsobem poslouchá pro jakékoli číslo , a to pro my máme . Graf je tedy periodická pilovitá křivka.
Diskuse
Ve vztahu ke spektrální asymetrii je hodnota očekávaného vakua energie spojené s operátorem, Casimirova energie, který je dán
Tento součet je formálně odlišný a rozdíly je třeba zohlednit a odstranit pomocí standardních regularizačních technik.
Reference
- MF Atiyah, VK Patodi a IM Singer, Spektrální asymetrie a Riemannova geometrie I, Proc. Camb. Phil. Soc., 77 (1975), 43-69.
- Linas Vepstas, A.D. Jackson, A.S. Goldhaber, Dvoufázové modely baryonů a chirálního Kazimíra, Fyzikální dopisy B140 (1984) str. 280-284.
- Linas Vepstas, A.D. Jackson, Ospravedlnění chirální tašky, Fyzikální zprávy, 187 (1990) str. 109-143.