Dvojitá abelianská odrůda - Dual abelian variety
v matematika, a dvojitá abelianská odrůda lze definovat z abelianská odrůda A, definované nad a pole K..
Definice
K abelianské odrůdě A přes pole k, jeden přidruží a dvojitá abelianská odrůda Aproti (přes stejné pole), což je řešení následujícího problém moduli. Rodina svazků řádků stupně 0 parametrizovaných a k-odrůda T je definován jako svazek řádků L na A×T takhle
- pro všechny , omezení L na A×{t} je balíček řádků stupně 0,
- omezení L do {0} ×T je triviální svazek řádků (zde 0 je identita A).
Pak existuje řada Aproti a svazek řádků ,[je zapotřebí objasnění ], nazývaný Poincarého svazek, což je rodina svazků řádků stupně 0 parametrizovaných pomocí Aproti ve smyslu výše uvedené definice. Tato rodina je navíc univerzální, to znamená pro každou rodinu L parametrizováno pomocí T je spojen s jedinečným morfismem F: T → Aproti aby L je izomorfní s návratem z P podél morfismu 1A×F: A×T → A×Aproti. To platí pro případ, kdy T je bod, vidíme, že body Aproti odpovídají liniovým svazkům stupně 0 A, takže je tu operace přirozené skupiny Aproti daný tenzorovým součinem liniových svazků, který z něj dělá abelianskou odrůdu.
V jazyce reprezentativní funktory lze výše uvedený výsledek uvést následovně. Kontrovariantní funktor, který se každému přidružuje k-odrůda T sada rodin svazků řádků stupně 0 parametrizovaných pomocí T a každému k-morfismus F: T → T ' mapování vyvolané stahováním pomocí F, je reprezentativní. Univerzálním prvkem představujícím tento funktor je dvojice (Aproti, P).
Toto sdružení je dualita v tom smyslu, že existuje přirozený izomorfismus mezi dvojitým duálním Avv a A (definováno prostřednictvím balíčku Poincaré) a že je kontrariantní funkcionář, tj. přidružuje se ke všem morfismům F: A → B dvojí morfismy Fproti: Bproti → Aproti kompatibilním způsobem. The n-torze abelianské odrůdy a n-torze jeho duální jsou dvojí navzájem, když n je coprime k charakteristice základny. Obecně - pro všechny n - n-kroucení skupinová schémata dvojitých abelianských odrůd je Cartier duals navzájem. Tím se zobecňuje Weil párování pro eliptické křivky.
Dějiny
Teorie byla poprvé uvedena do dobré formy, když K. byl obor komplexní čísla. V takovém případě existuje obecná forma duality mezi Albánská odrůda a úplná rozmanitost PROTI, a jeho Odrůda Picard; toto bylo realizováno pro definice ve smyslu komplexní tori, Jakmile André Weil dal obecnou definici albánské odrůdy. Pro abelianskou odrůdu A, albánská odrůda je A sám o sobě, tak by to mělo být Obr0(A), připojená součást toho, co v současné terminologii je Picardovo schéma.
Pro případ Jacobian odrůda J a kompaktní povrch Riemann C, volba a hlavní polarizace z J vede k identifikaci J s vlastní odrůdou Picard. To je v jistém smyslu jen důsledek Ábelova věta. Pro obecné abelianské odrůdy, stále přes komplexní čísla, A je ve stejném isogeny třída jako jeho duální. Explicitní isogeny lze sestavit pomocí an invertibilní svazek L na A (tj. v tomto případě a svazek holomorfní linie ), když podskupina
- K.(L)
překladů dne L to zabere L do izomorfní kopie je sama o sobě konečná. V takovém případě kvocient
- A/K.(L)
je izomorfní s dvojitou abelianskou odrůdou A.
Tato konstrukce A se vztahuje na jakékoli pole K. z charakteristická nula.[1] Z hlediska této definice se Balíček Poincaré, lze definovat univerzální svazek linek
- A × A.
Stavba kdy K. má charakteristiku p používá teorie schémat. Definice K.(L) musí být ve smyslu a skupinové schéma to je schéma-teoretický stabilizátor a získaný kvocient je nyní kvocientem ve schématu podskupiny.[2]
Duální isogeny (případ eliptické křivky)
Vzhledem k isogeny
z eliptické křivky stupně , dvojí isogeny je isogeny
stejného stupně, že
Tady označuje násobení isogeny který má titul
Konstrukce dvojí isogeny
Často je potřeba pouze existence dvojí isogeny, ale lze ji výslovně uvést jako složení
kde je skupina dělitele stupně 0. K tomu potřebujeme mapy dána kde je neutrální bod a dána
To vidět Všimněte si, že původní isogeny lze psát jako složený
a to od té doby je konečný stupně , je násobení na
Alternativně můžeme použít menší Picardova skupina , a kvocient z Mapa sestupuje do izomorfismus, Duální isogeny je
Všimněte si, že vztah také implikuje konjugovaný vztah Opravdu, pojďme Pak Ale je surjektivní, takže musíme mít
Balíček Poincaré line
Produkt abelianské odrůdy a její duál má kanonický svazek linií, který se nazývá Balíček Poincaré line.[3] Odpovídající výška pro odrůdy definované nad číselnými poli se někdy nazývá Poincarého výška.
Poznámky
- ^ Mumford, Abelianské odrůdy, str. 74-80
- ^ Mumford, Abelianské odrůdy, str.123 a dále
- ^ Mukai, Shigeru (2003). Úvod do invarianty a moduly. Cambridge studia pokročilé matematiky. 81. Přeložil W. M. Oxbury. Cambridge University Press. 400, 412–413. ISBN 0-521-80906-1. Zbl 1033.14008.
Reference
- Mumford, David (1985). Abelianské odrůdy (2. vyd.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-560528-0.
Tento článek včlení materiál od Dual isogeny dále PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.