Skupinová Hopfova algebra - Group Hopf algebra

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Skupinová Hopfova algebra“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, skupina Hopfova algebra daného skupina je určitá konstrukce související se symetrií skupinové akce. Deformace skupiny Hopfových algeber jsou základem teorie kvantové skupiny.

Definice

Nechat G být skupina a k A pole. The skupina Hopfova algebra z G přes k, označeno kg (nebo k[G]), je jako soubor (a vektorový prostor ) volný vektorový prostor na G přes k. Jako algebra, jeho produkt je definován lineárním rozšířením skupinového složení v G, s multiplikativní jednotkou identita v G; tento produkt je také známý jako konvoluce.

Všimněte si, že zatímco skupinová algebra a konečný skupinu lze identifikovat s prostorem funkce ve skupině, pro nekonečnou skupinu se liší. Skupinová algebra, skládající se z konečný součty, odpovídá funkcím ve skupině, pro které mizí definitivně mnoho bodů; topologicky (pomocí diskrétní topologie ), odpovídají funkcím s kompaktní podpora.

Skupinová algebra ${displaystyle k [G]}$ a prostor funkcí ${displaystyle k ^ {G}: = operatorname {Hom} (G, k)}$ jsou dvojí: daný prvek algebry skupiny ${displaystyle x = součet _ {gin G} a_ {g} g}$ a funkce ve skupině ${displaystyle fcolon G o k,}$ tyto páry dát prvek k přes ${displaystyle (x, f) = součet _ {gin G} a_ {g} f (g),}$ což je dobře definovaný součet, protože je konečný.

Hopfova algebraická struktura

Dáme kg struktura společného podniku Hopfova algebra definováním koproduktu, počtu a antipodu jako lineárních rozšíření následujících map definovaných na G:^[1]

${displaystyle Delta (x) = xotimes x;}$

${displaystyle epsilon (x) = 1_ {k};}$

${displaystyle S (x) = x ^ {- 1}.}$

Požadované Hopfovy algebrické kompatibilní axiomy se snadno kontrolují. Všimněte si toho ${displaystyle {mathcal {G}} (kG)}$, skupina skupinových prvků kg (tj. prvky ${displaystyle ain kG}$ takhle ${displaystyle Delta (a) = aotimes a}$ a ${displaystyle epsilon (a) = 1}$), je přesně G.

Symetrie skupinových akcí

Nechat G být skupinou a X A topologický prostor. Žádný akce ${displaystyle alpha colon G imes X o X}$ z G na X dává homomorfismus ${displaystyle phi _ {alpha} dvojtečka G o mathrm {Aut} (F (X))}$, kde F(X) je vhodná algebra k-hodnotové funkce, jako je algebra Gelfand-Naimark ${displaystyle C_ {0} (X)}$ z kontinuální funkce mizející v nekonečnu. Homomorfismus ${displaystyle phi _ {alpha}}$ je definováno ${displaystyle phi _ {alpha} (g) = alpha _ {g} ^ {*}}$, s adjunktem ${displaystyle alpha _ {g} ^ {*}}$ definován

${displaystyle alpha _ {g} ^ {*} (f) x = f (alfa (g, x))}$

pro ${displaystyle gin G, fin F (X)}$, a ${displaystyle xin X}$.

To může popsat a lineární mapování

${displaystyle lambda colon kGotimes F (X) o F (X)}$

${displaystyle lambda ((c_ {1} g_ {1} + c_ {2} g_ {2} + cdots) často f) (x) = c_ {1} f (g_ {1} cdot x) + c_ {2} f (g_ {2} cdot x) + cdots}$

kde ${displaystyle c_ {1}, c_ {2}, ldots v k}$, ${displaystyle g_ {1}, g_ {2}, ldots}$ jsou prvky G, a ${displaystyle g_ {i} cdot x: = alpha (g_ {i}, x)}$, který má vlastnost, ve které jsou skupinové prvky ${displaystyle kG}$ vyvolávat automorfismy z F(X).

${displaystyle lambda}$ dotuje F(X) s důležitou zvláštní strukturou, popsanou níže.

Hopfovy modulové algebry a Hopfův smečový produkt

Nechat H být Hopfovou algebrou. A (vlevo) Hopfova H-modulová algebra A je algebra, která je (vlevo) modul přes algebru H takhle ${displaystyle hcdot 1_ {A} = epsilon (h) 1_ {A}}$ a

${displaystyle hcdot (ab) = (h _ {(1)} cdot a) (h _ {(2)} cdot b)}$

kdykoli ${displaystyle a, bin A}$, ${displaystyle hin H}$ a ${displaystyle Delta (h) = h _ {(1)} častěji h _ {(2)}}$ v součtu Sweedlerova notace. Když ${displaystyle lambda}$ byl definován jako v předchozí části, toto se otočí F(X) do levého Hopfa kg-modulární algebra, která umožňuje následující konstrukci.

Nechat H být Hopfovou algebrou a A levý Hopf H-modulární algebra. The rozbít produkt algebra ${displaystyle Amathop {#} H}$ je vektorový prostor ${displaystyle Aotimes H}$ s výrobkem

${displaystyle (aotimes h) (botimes k): = a (h _ {(1)} cdot b) otimes h _ {(2)} k}$,

a my píšeme ${displaystyle amathop {#} h}$ pro ${displaystyle aotimes h}$ v tomto kontextu.^[2]

V našem případě, ${displaystyle A = F (X)}$ a ${displaystyle H = kG}$a máme

${displaystyle (amathop {#} g_ {1}) (bmathop {#} g_ {2}) = a (g_ {1} cdot b) mathop {#} g_ {1} g_ {2}}$.

V tomto případě rozbijte algebru produktu ${displaystyle Amathop {#} kG}$ je také označen ${displaystyle Amathop {#} G}$.

Byla vypočtena cyklická homologie rozbitých produktů Hopf.^[3] Tam se však smečový produkt nazývá zkříženým produktem a označuje se ${displaystyle Atimes H}$- nesmí být zaměňována s zkřížený produkt odvozený od ${displaystyle C ^ {*}}$-dynamické systémy.^[4]

Reference