Kazhdan – Lusztigův polynom - Kazhdan–Lusztig polynomial

V matematické oblasti teorie reprezentace, a Kazhdan – Lusztigův polynom ${displaystyle P_ {y, w} (q)}$ je členem rodiny integrální polynomy představil David Kazhdan a George Lusztig  (1979 ). Jsou indexovány dvojicemi prvků y, w a Skupina coxeterů Ž, kterým může být zejména Weylova skupina a Lež skupina.

Motivace a historie

Na jaře 1978 Kazhdan a Lusztig studovali Springer reprezentace Weylovy skupiny algebraické skupiny ${displaystyle ell}$-adické kohomologické skupiny související s třídami unipotentní konjugace. Našli novou konstrukci těchto reprezentací nad komplexními čísly (Kazhdan & Lusztig 1980a ). Reprezentace měla dvě přirozené báze a matice přechodu mezi těmito dvěma bázemi je v podstatě dána Kazhdan – Lusztigovými polynomy. Skutečná kazhdansko-lusztigská konstrukce jejich polynomů je elementárnější. Kazhdan a Lusztig to použili ke konstrukci a kanonický základ v Hecke algebra skupiny Coxeter a jejích zastoupení.

Kazhdan a Lusztig ve svém prvním příspěvku zmínili, že jejich polynomy souvisejí se selháním místních Poincaré dualita pro Odrůdy Schubert. v Kazhdan & Lusztig (1980b) reinterpretovali to z hlediska křižovatková kohomologie z Mark Goresky a Robert MacPherson, a dal další definici takového základu, pokud jde o rozměry určitých skupin křižovatky cohomology.

Dvě základny pro reprezentaci Springer připomínaly Kazhdanovi a Lusztigovi dvě základny pro Grothendieckova skupina určitých nekonečných dimenzionálních reprezentací polojednodušých Lieových algeber, daných Verma moduly a jednoduché moduly. Tato analogie a práce Jens Carsten Jantzen a Anthony Joseph týkající primitivní ideály z obklopující algebry k reprezentacím Weylových skupin, vedlo k domněnkám Kazhdan – Lusztig.

Definice

Opravte skupinu Coxeter Ž s generátorovou sadou S, a piš ${displaystyle ell (w)}$ pro délku prvku w (nejmenší délka výrazu pro w jako produkt prvků S). The Hecke algebra z Ž má základ prvků ${displaystyle T_ {w}}$ pro ${displaystyle win W}$ přes prsten ${displaystyle mathbb {Z} [q ^ {1/2}, q ^ {- 1/2}]}$, s násobením definovaným

${displaystyle {egin {aligned} T_ {y} T_ {w} & = T_ {yw}, && {mbox {if}} ell (yw) = ell (y) + ell (w) (T_ {s} + 1) (T_ {s} -q) & = 0, && {mbox {if}} sin S.end {zarovnáno}}}$

Kvadratický druhý vztah znamená, že každý generátor T_s je v Heckeově algebře invertibilní, s inverzní funkcí T_s⁻¹ = q⁻¹T_s + q⁻¹ − 1. Tyto inverze uspokojují vztah (T_s⁻¹ + 1)(T_s⁻¹ − q⁻¹) = 0 (získá se vynásobením kvadratického vztahu pro T_s podle - T._s⁻²q⁻¹) a také opletení vztahy. Z toho vyplývá, že Heckeova algebra má automorfismus D který posílá q^1/2 na q^−1/2 a každý T_s na T_s⁻¹. Obecněji jeden má ${displaystyle D (T_ {w}) = T_ {w ^ {- 1}} ^ {- 1}}$; taky D lze vidět jako involuci.

Polynomy Kazhdan – Lusztig P_yw(q) jsou indexovány dvojicí prvků y, w z Ža jednoznačně určeno následujícími vlastnostmi.

• Jsou 0, pokud y ≤ w (v Bruhatův řád z Ž), 1 pokud y = w, a pro y < w jejich stupeň je nejvýše (ℓ(w) − ℓ(y) − 1)/2.
• Elementy

${displaystyle C '_ {w} = q ^ {- {frac {ell (w)} {2}}} součet _ {yleq w} P_ {y, w} T_ {y}}$

jsou involuční pod involucí D Heckeovy algebry. Elementy ${displaystyle C '_ {w}}$ tvoří základ Hecke algebry jako a Z[q^1/2, q^−1/2]-modul, nazývaný základem Kazhdan – Lusztig.

K prokázání existence polynomů Kazhdan – Lusztig poskytli Kazhdan a Lusztig jednoduchý rekurzivní postup pro výpočet polynomů P_yw(q) ve smyslu označených více elementárních polynomů R_yw(q). definován

${displaystyle T_ {y ^ {- 1}} ^ {- 1} = součet _ {x} D (R_ {x, y}) q ^ {- ell (x)} T_ {x}.}$

Mohou být vypočítány pomocí relací rekurze

${displaystyle R_ {x, y} = {egin {cases} 0, & {mbox {if}} xot leq y 1, & {mbox {if}} x = y R_ {sx, sy}, & {mbox {if}} sx x {mbox {and}} sy$

Polynomy Kazhdan – Lusztig lze poté vypočítat rekurzivně pomocí relace

${displaystyle q ^ {{frac {1} {2}} (ell (w) -ell (x))} D (P_ {x, w}) - q ^ {{frac {1} {2}} (ell (x) -ell (w))} P_ {x, w} = součet _ {x$

s využitím skutečnosti, že dva členy vlevo jsou polynomy v q^1/2 a q^−1/2 bez konstantní termíny. Tyto vzorce jsou obtížné používat ručně pro pořadí větší než asi 3, ale jsou dobře přizpůsobené pro počítače, a jediný limit pro výpočet Kazhdan – Lusztig polynomů s nimi je ten, že pro velké pořadí počet takových polynomů překračuje úložnou kapacitu počítačů .

Příklady

• Li y ≤ w pak P_y,w má konstantní člen 1.
• Li y ≤ w a ℓ(w) − ℓ(y) ∈ {0, 1, 2} pak P_y,w = 1.
• Li w = w₀ je nejdelší prvek konečné skupiny Coxeter pak P_y,w = 1 pro všechny y.
• Li Ž je skupina Coxeter A₁ nebo A₂ (nebo obecněji libovolná skupina Coxeterů v pořadí nejvýše 2) P_y,w je 1 pokud y≤w a 0 jinak.
• Li Ž je skupina Coxeter A₃ s generátorovou sadou S = {A, b, C} s A a C dojíždění tedy P_b,bacb = 1 + q a P_ac,acbca = 1 + qs uvedením příkladů nekonstantních polynomů.
• Jednoduché hodnoty Kazhdan – Lusztigových polynomů pro skupiny s nízkým hodnocením nejsou typické pro skupiny s vyšším hodnocením. Například pro dělenou formu E.₈ the nejkomplikovanější polynom Lusztig – Vogan (variace Kazhdan – Lusztigových polynomů: viz níže) je

${displaystyle {egin {aligned} 152q ^ {22} & + 3,472q ^ {21} + 38,791q ^ {20} + 293,021q ^ {19} + 1,370,892q ^ {18} + 4,067,059q ^ {17} +7,964,012 q ^ {16} & + 11 159 003q ^ {15} + 11 808 808q ^ {14} + 9 859 915q ^ {13} + 6 778 956q ^ {12} + 3 964 369q ^ {11} + 2 015 441 q ^ {10} & + 906 567q ^ {9} + 363 611q ^ {8} + 129 820q ^ {7} + 41 239q ^ {6} + 11 426q ^ {5} + 2 677q ^ {4} + 492q ^ {3} + 61q ^ {2} + 3qend {zarovnáno}}}$

• Polo (1999) ukázal, že jakýkoli polynom s konstantním členem 1 a nezápornými celočíselnými koeficienty je polynomem Kazhdan – Lusztig pro pár dvojic prvků nějaké symetrické skupiny.

Kazhdan – Lusztig dohady

Kazhdan – Lusztigovy polynomy vznikají jako přechodové koeficienty mezi jejich kanonickým základem a přirozeným základem Heckeovy algebry. The Vynálezy příspěvek také navrhl dvě ekvivalentní domněnky, nyní známé jako Kazhdan – Lusztigovy domněnky, které spojovaly hodnoty jejich polynomů v 1 s reprezentacemi komplexu napůl jednoduché Lie skupiny a Lež algebry, řešení dlouhodobého problému v teorii reprezentace.

Nechat Ž být konečný Weylova skupina. Za každé w ∈ Ž označit M_w být Modul Verma nejvyšší hmotnosti −w(ρ) − ρ kde ρ je poloviční součet kladných kořenů (nebo Weyl vektor ) a nechte L_w být jeho neredukovatelným kvocientem, jednoduchý modul s nejvyšší hmotností nejvyšší hmotnosti −w(ρ) − ρ. Oba M_w a L_w jsou lokálně konečné moduly hmotnosti nad složitou polojednodušou Lie algebrou G se skupinou Weyl Ž, a proto připustit algebraický znak. Napišme ch (X) pro znak a G-modul X. Podle domněnek Kazhdan – Lusztig:

${displaystyle operatorname {ch} (L_ {w}) = součet _ {yleq w} (- 1) ^ {ell (w) -ell (y)} P_ {y, w} (1) operatorname {ch} (M_ {y})}$

${displaystyle operatorname {ch} (M_ {w}) = součet _ {yleq w} P_ {w_ {0} w, w_ {0} y} (1) operatorname {ch} (L_ {y})}$

kde w₀ je prvek maximální délky Weylovy skupiny.

Tyto domněnky dokázalo nezávisle na charakteristických 0 algebraicky uzavřených polích Alexander Beilinson a Joseph Bernstein  (1981 ) a Jean-Luc Brylinski a Masaki Kashiwara  (1981 ). Metody zavedené v průběhu dokazování vedly vývoj teorie reprezentace v 80. a 90. letech pod tímto názvem teorie geometrické reprezentace.

Poznámky

1. Je známo, že tyto dvě domněnky jsou rovnocenné. Navíc, Borho – Jantzenův překladový princip to naznačuje w(ρ) − ρ lze nahradit w(λ + ρ) − ρ pro jakoukoli dominantní integrální váhu λ. Tedy, domněnky Kazhdan – Lusztig popisují multiplicitu Verma modulů Jordan – Hölder v každém pravidelném integrálním bloku Bernstein – Gelfand – Gelfand kategorie O.

2. Podobný výklad Všechno koeficienty Kazhdan – Lusztigových polynomů vyplývá z Jantzen domněnka, což zhruba říká, že jednotlivé koeficienty o P_{y, w} jsou multiplicity L_y v určitém subkvótu modulu Verma určeného kanonickou filtrací, Jantzenova filtrace. Jantzenova domněnka v běžném integrálním případě byla prokázána v pozdějším článku z Beilinson a Bernstein  (1993 ).

3. David Vogan se ukázalo jako důsledek dohadů, které

${displaystyle P_ {y, w} (q) = součet _ {i} q ^ {i} dim (operatorname {Ext} ^ {ell (w) -ell (y) -2i} (M_ {y}, L_ { w}))}$

a to Ext^j(M_y, L_w) zmizí, pokud j + ℓ(w) + ℓ(y) je liché, takže rozměry všech takových Ext skupiny v kategorii Ó jsou určeny z hlediska koeficientů Kazhdan – Lusztigových polynomů. Tento výsledek ukazuje, že všechny koeficienty Kazhdan – Lusztigových polynomů konečné Weylovy skupiny jsou nezáporná celá čísla. Pozitivnost pro případ konečné Weylové skupiny Ž již bylo známo z interpretace koeficientů kazhdansko-lusztigských polynomů jako dimenzí průsečíkových kohomologických skupin bez ohledu na domněnky. Naopak, vztah mezi Kazhdan – Lusztigovými polynomy a Extovými skupinami lze teoreticky použít k prokázání domněnek, i když se ukázalo, že tento přístup k jejich prokázání je obtížnější.

4. Některé speciální případy domněnek Kazhdan – Lusztig lze snadno ověřit. Například, M₁ je protikladný modul Verma, o kterém je známo, že je jednoduchý. Tohle znamená tamto M₁ = L₁, kterým se stanoví druhá domněnka pro w = 1, protože součet se sníží na jediný termín. Na druhou stranu první domněnka o w = w₀ vyplývá z Weylův vzorec znaků a vzorec pro charakter modulu Verma, spolu se skutečností, že všechny Kazhdan – Lusztigovy polynomy ${displaystyle P_ {y, w_ {0}}}$ jsou rovny 1.

5. Kashiwara (1990) prokázal zevšeobecnění dohadů Kazhdan – Lusztig na symetrizovatelné Kac – Moodyho algebry.

Vztah k průnikové kohomologii Schubertových odrůd

Podle Bruhatův rozklad prostor G/B algebraické skupiny G s Weylovou skupinou Ž je disjunktní spojení afinních prostorů X_w parametrizováno prvky w z Ž. Uzávěry těchto prostor X_w se nazývají Odrůdy Schubert, a Kazhdan a Lusztig, na návrh Deligna, ukázali, jak vyjádřit kazhdansko-lusztigské polynomy z hlediska průsečíkových kohomologických skupin Schubertových odrůd.

Přesněji řečeno, polynomial Kazhdan – Lusztig P_y,w(q) je rovný

${displaystyle P_ {y, w} (q) = suma _ {i} q ^ {i} dim IH_ {X_ {y}} ^ {2i} ({overline {X_ {w}}})}$

kde každý člen vpravo znamená: vezměte komplexní IC snopů, jejichž hyperhomologie je křižovatková homologie z Odrůda Schubert z w (uzavření buňky X_w), vezměte si jeho cohomologii titulu 2i, a poté vezměte rozměr stonku tohoto svazu v kterémkoli bodě buňky X_y jehož uzavření je odrůda Schubert y. Liché dimenzionální kohomologické skupiny se v součtu neobjevují, protože jsou všechny nulové.

To poskytlo první důkaz, že všechny koeficienty Kazhdan – Lusztigových polynomů pro konečné Weylovy skupiny jsou nezáporná celá čísla.

Zobecnění na skutečné skupiny

Lusztig – Voganovy polynomy (nazývané také Kazhdan – Lusztigovy polynomy nebo Kazhdan – Lusztig – Voganovy polynomy) byly představeny v Lusztig a Vogan (1983). Jsou analogické s Kazhdan – Lusztigovými polynomy, ale jsou přizpůsobeny reprezentacím nemovitý napůl jednoduché Lieovy skupiny a hrají hlavní roli v jejich domnělém popisu unitární duals. Jejich definice je složitější, což odráží relativní složitost reprezentací skutečných skupin ve srovnání se složitými skupinami.

Rozdíl je v případech přímé souvislosti s teorií reprezentace vysvětlen na úrovni dvojité kosety; nebo jinými slovy působení na analogy komplexu příznaky potrubí G/B kde G je komplexní Lieova skupina a B A Podskupina Borel. Původní (K-L) případ je pak o podrobnostech rozkladu

${displaystyle B ackslash G / B}$,

klasické téma Bruhatův rozklad a před tím Schubertovy buňky v Grassmannian. Případ L-V trvá a skutečná podoba G_R z G, a maximální kompaktní podskupina K._R v tomto polojediná skupina G_R, a dělá komplexifikace K. z K._R. Pak je relevantní předmět studia

${displaystyle K ackslash G / B}$.

V březnu 2007 bylo oznámeno^{[kým? ]} že Byly vypočteny polynomy L – V pro dělenou formu E₈.

Zobecnění na jiné objekty v teorii reprezentace

Druhá práce Kazhdana a Lusztiga stanovila geometrické nastavení pro definici kazhdansko-lusztigských polynomů, konkrétně geometrie zvláštností odrůd Schubert v odrůda vlajky. Hodně z pozdější Lusztigovy práce zkoumal analogy kazhdansko-lusztigských polynomů v kontextu jiných přírodních singulárních algebraických variet vznikajících v teorii reprezentace, zejména uzávěry nilpotentní oběžné dráhy a toulec odrůdy. Ukázalo se, že teorie reprezentace kvantové skupiny, modulární Lieovy algebry a afinní Heckeovy algebry všechny jsou přísně kontrolovány příslušnými analogy Kazhdan – Lusztigových polynomů. Připouštějí elementární popis, ale hlubší vlastnosti těchto polynomů potřebné pro teorii reprezentace vyplývají ze sofistikovaných technik moderní algebraické geometrie a homologická algebra, jako je použití křižovatková kohomologie, perverzní snopy a Beilinson – Bernstein – Deligneův rozklad.

Koeficienty Kazhdan – Lusztigových polynomů se domnívají, že jsou dimenzí některých homomorfních prostorů v Soergelově bimodulové kategorii. Toto je jediná známá pozitivní interpretace těchto koeficientů pro libovolné Coxeterovy skupiny.

Kombinatorická teorie

Kombinatorické vlastnosti Kazhdan – Lusztigových polynomů a jejich zobecnění jsou tématem aktivního současného výzkumu. Vzhledem k jejich významu v teorii reprezentace a algebraické geometrii byly podniknuty pokusy vyvinout teorii kazhdansko-lusztigských polynomů čistě kombinačním způsobem, přičemž do jisté míry spoléhaly na geometrii, ale bez odkazu na průnikovou kohomologii a další pokročilé techniky. To vedlo k vzrušujícímu vývoji v algebraická kombinatorika, jako fenomén vyhýbání se vzorům. Některé odkazy jsou uvedeny v učebnici Björner & Brenti (2005). Výzkumná monografie na toto téma je Billey & Lakshmibai (2000).

Od roku 2005^{[Aktualizace]}, není známa kombinatorická interpretace všech koeficientů kazhdansko-lusztigských polynomů (jako významnosti některých přirozených množin) ani pro symetrické skupiny, ačkoli v mnoha zvláštních případech existují explicitní vzorce.

Reference

• Beilinson, Alexandre; Bernstein, Joseph (1981), Lokalizační de g-moduly, Sér. Já matematika., 292, Paříž: C. R. Acad. Sci., S. 15–18.
• Beilinson, Alexandre; Bernstein, Joseph (1993), Důkaz o Jantzenových domněnkáchPokroky v sovětské matematice, 16, s. 1–50.
• Billey, Sara; Lakshmibai, V. (2000), Singulární lokusy odrůd SchubertPokrok v matematice, 182, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN  0-8176-4092-4.
• Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), "Ch. 5: Kazhdan – Lusztig and R-polynomials ", Kombinatorika coxeterových skupin, Postgraduální texty z matematiky, 231, Springer, ISBN  978-3-540-44238-7.
• Brenti, Francesco (2003), „Kazhdan – Lusztig Polynomials: History, Problems, and Combinatorial Invariance“, Seminář Lotharingien de Combinatoire, Ellwangen: Haus Schönenberg, 49: Výzkumný článek B49b.
• Brylinski, Jean-Luc; Kashiwara, Masaki (Říjen 1981), „domněnka Kazhdan – Lusztig a holonomické systémy“, Inventiones Mathematicae, Springer-Verlag, 64 (3): 387–410, doi:10.1007 / BF01389272, ISSN  0020-9910.
• Kashiwara, Masaki (1990), „Domněnka Kazhdan – Lusztig pro symetrizovatelné algebry KacMoody“, Grothendieck Festschrift, IIPokrok v matematice, 87, Boston: Birkhauser, str. 407–433, PAN  1106905.
• Kazhdan, David; Lusztig, George (Červen 1979), „Zastoupení skupin Coxeter a Hecke algebry“, Inventiones Mathematicae, Springer-Verlag, 53 (2): 165–184, doi:10.1007 / BF01390031, ISSN  0020-9910.
• Kazhdan, David; Lusztig, George (1980a), „Topologický přístup k Springerovým reprezentacím“, Pokroky v matematice, 38 (2): 222–228, doi:10.1016/0001-8708(80)90005-5.
• Kazhdan, David; Lusztig, George (1980b), „Schubertské odrůdy a dualita Poincaré“, Proc. Symposy. Čistá matematika., Americká matematická společnost, XXXVI: 185–203.
• Lusztig, George; Vogan, David (1983), „Singularita uzávěrů K-oběžných drah na vlajkových potrubích.“, Inventiones Mathematicae, Springer-Verlag, 71 (2): 365–379, doi:10.1007 / BF01389103, ISSN  0020-9910.
• Polo, Patrick (1999), „Konstrukce libovolných Kazhdan – Lusztigových polynomů v symetrických skupinách“, Teorie reprezentace. Elektronický deník Americké matematické společnosti, 3 (4): 90–104, doi:10.1090 / S1088-4165-99-00074-6, ISSN  1088-4165, PAN  1698201.
• Soergel, Wolfgang (2006), „Kazhdan – Lusztigovy polynomy a nerozložitelné bimoduly nad polynomickými kruhy“, Journal of the Inst. matematiky. Jussieu, 6 (3): 501–525.

externí odkazy

• Čtení od jara 2005 v kurzu Kazhdan – Lusztigova teorie v VIDÍŠ. Davise Monica Vazirani
• Goresky, Marku. „Tabulky Kazhdan – Lusztigových polynomů“.
• Mezera programy pro výpočet polynomů Kazhdan – Lusztig.
• Fokko du Cloux's Coxeter software pro výpočet Kazhdan – Lusztigových polynomů pro jakoukoli skupinu Coxeter
• Atlas software pro výpočet polynomů Kazhdan – Lusztig-Vogan.