Spektrální teorie normálních C * -algeber - Spectral theory of normal C*-algebras

v funkční analýza, každý C^*-algebra je izomorfní k subalgebře C^*-algebra ${ displaystyle { mathcal {B}} (H)}$ z ohraničené lineární operátory na některých Hilbertův prostor H. Tento článek popisuje spektrální teorii Zavřeno normální^{[nutná disambiguation ]} subalgebry z ${ displaystyle { mathcal {B}} (H).}$

Řešení identity

Po celou dobu, $H$ je pevná Hilbertův prostor.

A míra projekce na měřitelný prostor ${ displaystyle left (X, Omega right),}$ kde ${ displaystyle Omega}$ je σ-algebra podskupin ${ displaystyle X,}$ je mapování ${ displaystyle pi: Omega až { mathcal {B}} (H)}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle omega v Omega,}$ ${ displaystyle pi ( omega)}$ je sebe-adjunkt projekce na H (tj. ${ displaystyle pi left ( omega right)}$ je omezený lineární operátor ${ displaystyle pi left ( omega right): H do H}$ to uspokojuje ${ displaystyle pi left ( omega right) = pi ( omega) ^ {*}}$ a ${ displaystyle pi ( omega) circ pi ( omega) = pi ( omega)}$ ) takové, že

{ displaystyle pi (X) = operatorname {Id} _ {H} quad}

(kde ${ displaystyle operatorname {Id} _ {H}}$ je operátor identity uživatele H) a pro všechny X a y v H, funkce ${ displaystyle Omega to mathbb {C}}$ definován ${ displaystyle omega mapsto langle pi ( omega) x, t rangle}$ je komplexní opatření na ${ displaystyle M}$ (to znamená, že má komplexní hodnotu spočetně aditivní funkce).

A rozlišení identity^[1] na měřitelný prostor ${ displaystyle left (X, Omega right)}$ je funkce ${ displaystyle pi: Omega až { mathcal {B}} (H)}$ tak, že pro každého ${ displaystyle omega _ {1}, omega _ {2} in Omega}$ :

${ displaystyle pi left ( varnothing right) = 0}$ ;
${ displaystyle pi (X) = operatorname {Id} _ {H}}$ ;
pro každého ${ displaystyle omega v Omega,}$ ${ displaystyle pi left ( omega right)}$ je sebe-adjunkt projekce na H;
pro každého X a y v H, mapa ${ displaystyle pi _ {x, y}: Omega do mathbb {C}}$ definován ${ Displaystyle pi _ {x, y} ( omega) = left langle pi ( omega) x, y right rangle}$ je komplexní opatření ${ displaystyle Omega}$ ;
${ displaystyle pi left ( omega _ {1} cap omega _ {2} right) = pi left ( omega _ {1} right) circ pi left ( omega _ {2} vpravo)}$ ;
-li ${ displaystyle omega _ {1} cap omega _ {2} = varnothing}$ pak ${ displaystyle pi left ( omega _ {1} cup omega _ {2} right) = pi left ( omega _ {1} right) + pi left ( omega _ { 2} vpravo)}$ ;

Li ${ displaystyle Omega}$ je ${ displaystyle sigma}$ -algebra všech sad Borels na místně kompaktním (nebo kompaktním) prostoru Hausdorff, pak je přidán následující další požadavek:

pro každého X a y v H, mapa ${ displaystyle pi _ {x, y}: Omega do mathbb {C}}$ je pravidelné opatření Borel (to je u kompaktních metrických prostorů automaticky uspokojeno).

Podmínky 2, 3 a 4 to naznačují ${ displaystyle pi}$ je míra projekce.

Vlastnosti

Po celou dobu, pojďme ${ displaystyle pi}$ být řešením identity. Pro všechny X v H, ${ displaystyle pi _ {x, x}: Omega do mathbb {C}}$ je pozitivní opatření na ${ displaystyle Omega}$ s celkovou variací ${ displaystyle left | pi _ {x, x} right | = pi _ {x, x} left (X right) = | x | ^ {2}}$ a to uspokojuje ${ Displaystyle pi _ {x, x} doleva ( omega doprava) = doleva langle pi ( omega) x, x doprava rangle = | pi doleva ( omega doprava) x | ^ {2}}$ pro všechny ${ displaystyle omega v Omega.}$ ^[1]

Pro každého ${ displaystyle omega _ {1}, omega _ {2} in Omega}$ :

${ displaystyle pi left ( omega _ {1} right) pi left ( omega _ {2} right) = pi left ( omega _ {2} right) pi left ( omega _ {1} vpravo)}$ (protože oba se rovnají ${ displaystyle pi left ( omega _ {1} cap omega _ {2} right)}$ ).^[1]
Li ${ displaystyle omega _ {1} cap omega _ {2} = varnothing}$ pak rozsahy map ${ displaystyle pi left ( omega _ {1} right)}$ a ${ displaystyle pi left ( omega _ {2} right)}$ jsou navzájem kolmé a ${ displaystyle pi left ( omega _ {1} right) pi left ( omega _ {2} right) = 0 = pi left ( omega _ {2} right) pi left ( omega _ {1} right).}$ ^[1]
${ displaystyle pi: Omega až { mathcal {B}} (H)}$ je konečně aditivní.^[1]
Li ${ displaystyle omega _ {1}, omega _ {2}, ldots}$ jsou párové disjunktní prvky ${ displaystyle Omega}$ jehož svazek je ${ displaystyle omega}$ a pokud ${ displaystyle pi left ( omega _ {i} right) = 0}$ pro všechny i pak ${ displaystyle pi left ( omega right) = 0.}$ ^[1]

Nicméně, ${ displaystyle pi: Omega až { mathcal {B}} (H)}$ je spočetně přísada pouze v triviálních situacích, jak je nyní popsáno: ${ displaystyle omega _ {1}, omega _ {2}, ldots}$ jsou párové disjunktní prvky ${ displaystyle Omega}$ jehož svazek je ${ displaystyle omega}$ a že částečné částky ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} pi left ( omega _ {i} right)}$ konvergovat k ${ displaystyle pi ( omega)}$ v ${ displaystyle { mathcal {B}} (H)}$ (s normovou topologií) jako ${ displaystyle n to infty}$ ; pak protože normou jakékoli projekce je buď 0 nebo ${ displaystyle geq 1,}$ dílčí součty nemohou tvořit Cauchyovu posloupnost, pokud nejsou všechny, ale konečně mnohé z ${ displaystyle pi left ( omega _ {i} right)}$ jsou 0.^[1]

Pro všechny pevné X v H, mapa ${ displaystyle pi _ {x}: Omega na H}$ ${ displaystyle pi _ {x}: Omega na H}$ definován ${ displaystyle pi _ {x} ( omega): = pi ( omega) x}$ ${ displaystyle pi _ {x} ( omega): = pi ( omega) x}$ je spočetná přísada H-hodnota zapnuta ${ displaystyle Omega.}$ $Omega.$
- Tady spočetně aditivní znamená, že kdykoli ${ displaystyle omega _ {1}, omega _ {2}, ldots}$ jsou párové disjunktní prvky ${ displaystyle Omega}$ jehož svazek je ${ displaystyle omega,}$ pak částečné částky ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} pi left ( omega _ {i} right) x}$ konvergovat k ${ displaystyle pi ( omega)}$ v H. Stručně řečeno, ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} pi left ( omega _ {i} right) x = pi left ( omega right) x.}$ ^[1]

L^∞(π) - prostor v podstatě ohraničené funkce

The ${ displaystyle pi: Omega až { mathcal {B}} (H)}$ být řešením identity dne ${ displaystyle left (X, Omega right).}$

V zásadě ohraničené funkce

Předpokládat ${ displaystyle f: X to mathbb {C}}$ má komplexní hodnotu ${ displaystyle Omega}$ -měřitelná funkce. Existuje jedinečná největší otevřená podmnožina ${ displaystyle V_ {f}}$ z ${ displaystyle mathbb {C}}$ (objednáno pod zahrnutím podmnožiny) takové, že ${ displaystyle pi left (f ^ {- 1} left (V_ {f} right) right) = 0.}$ ^[2] Abychom pochopili proč, pojďme ${ displaystyle D_ {1}, D_ {2}, ldots}$ být základem pro ${ displaystyle mathbb {C}}$ topologie skládající se z otevřených disků a předpokládejme to ${ displaystyle D_ {i_ {1}}, D_ {i_ {2}}, ldots}$ je subsekvence (možná konečná) skládající se z takových množin, které ${ displaystyle pi left (f ^ {- 1} left (D_ {i_ {k}} right) right) = 0}$ ; pak ${ displaystyle D_ {i_ {1}} pohár D_ {i_ {2}} pohár cdots = V_ {f}.}$ Všimněte si, že zejména pokud D je otevřená podmnožina ${ displaystyle mathbb {C}}$ takhle ${ displaystyle D cap operatorname {Im} f = varnothing}$ pak ${ displaystyle pi left (f ^ {- 1} left (D right) right) = pi left ( varnothing right) = 0}$ aby ${ displaystyle D subseteq V_ {f}}$ (i když existují i jiné způsoby, jak ${ displaystyle pi left (f ^ {- 1} left (D right) right)}$ se může rovnat $0$ ). Vskutku, ${ displaystyle mathbb {C} setminus operatorname {cl} left ( operatorname {Im} f right) subseteq V_ {f}.}$

The základní rozsah z F je definován jako doplněk ${ displaystyle V_ {f}.}$ Je to nejmenší uzavřená podmnožina ${ displaystyle mathbb {C}}$ který obsahuje ${ displaystyle f (x)}$ téměř pro všechny ${ displaystyle x v X}$ (tj. pro všechny ${ displaystyle x v X}$ kromě těch v nějaké sadě ${ displaystyle omega v Omega}$ takhle ${ displaystyle pi left ( omega right) = 0}$ ).^[2] Základní rozsah je uzavřená podmnožina ${ displaystyle mathbb {C}}$ takže pokud je to také omezená podmnožina ${ displaystyle mathbb {C}}$ pak je kompaktní.

Funkce F je v podstatě omezený pokud je jeho základní rozsah omezen, v takovém případě definujte jeho základní supremum, označeno ${ displaystyle | f | ^ { infty},}$ být supremem všech ${ displaystyle | lambda |}$ tak jako ${ displaystyle lambda}$ se pohybuje nad základním rozsahem F.^[2]

Prostor v podstatě ohraničených funkcí

Nechat ${ displaystyle { mathcal {B}} (X, Omega)}$ být vektorovým prostorem všech ohraničených komplexních hodnot ${ displaystyle Omega}$ -měřitelné funkce ${ displaystyle f: X to mathbb {C},}$ který se stane Banachovou algebrou, když bude normován ${ displaystyle | f | _ { infty}: = sup _ {x v X} | f (x) |.}$ Funkce ${ displaystyle left | cdot right | ^ { infty}}$ je seminář na ${ displaystyle { mathcal {B}} (X, Omega),}$ ale nemusí to být nutně norma. Jádro tohoto semináře, ${ displaystyle N ^ { infty}: = left {f in { mathcal {B}} (X, Omega): left | f right | ^ { infty} = 0 right },}$ je vektorový podprostor o ${ displaystyle { mathcal {B}} (X, Omega)}$ to je uzavřený oboustranný ideál Banachovy algebry ${ displaystyle left ({ mathcal {B}} (X, Omega), | cdot | _ { infty} right).}$ ^[2] Proto kvocient ${ displaystyle { mathcal {B}} (X, Omega)}$ podle ${ displaystyle N ^ { infty}}$ je také Banachova algebra, označená ${ displaystyle L ^ { infty} ( pi): = { mathcal {B}} (X, Omega) / N ^ { infty}}$ kde je norma jakéhokoli prvku ${ displaystyle f + N ^ { infty} v L ^ { infty} ( pi)}$ je rovný ${ displaystyle | f | ^ { infty}}$ (protože pokud ${ displaystyle f + N ^ { infty} = g + N ^ { infty}}$ pak ${ displaystyle | f | ^ { infty} = | g | ^ { infty}}$ ) a tato norma dělá ${ displaystyle L ^ { infty} ( pi)}$ do Banachovy algebry. Spektrum ${ displaystyle f + N ^ { infty}}$ v ${ displaystyle L ^ { infty} ( pi)}$ je základní řada F.^[2] Tento článek bude následovat obvyklou praxi psaní F spíše než ${ displaystyle f + N ^ { infty}}$ reprezentovat prvky ${ displaystyle L ^ { infty} ( pi).}$

Teorém^[2] — Nechat ${ displaystyle pi: Omega až { mathcal {B}} (H)}$ být řešením identity dne ${ displaystyle left (X, Omega right).}$ Existuje uzavřená normální subalgebra A z ${ displaystyle { mathcal {B}} (H)}$ a izometrický ^*-izomorfismus ${ displaystyle Psi: L ^ { infty} ( pi) do A}$ splňující následující vlastnosti:

${ displaystyle left langle Psi (f) x, y right rangle = int _ {X} f operatorname {d} pi _ {x, y}}$ pro všechny X a y v H a ${ displaystyle f in L ^ { infty} left ( pi right),}$ což ospravedlňuje notaci ${ displaystyle Psi (f) = int _ {X} f operatorname {d} pi}$ ;
${ displaystyle left | Psi (f) x right | ^ {2} = int _ {X} | f | ^ {2} operatorname {d} pi _ {x, x}}$ pro všechny ${ displaystyle x v H}$ a ${ displaystyle f in L ^ { infty} left ( pi right)}$ ;
operátor ${ displaystyle R in mathbb {B} (H)}$ dojíždí s každým prvkem ${ displaystyle operatorname {Im} pi}$ právě když dojíždí s každým prvkem ${ displaystyle A = operatorname {Im} Psi.}$
-li F je jednoduchá funkce rovná se ${ displaystyle f = sum _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} mathbb {1} _ { omega _ {i}},}$ kde ${ displaystyle omega _ {1}, ldots omega _ {n}}$ je oddíl X a ${ displaystyle lambda _ {i}}$ jsou tedy komplexní čísla ${ displaystyle Psi (f) = součet _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} pi doleva ( omega _ {i} doprava)}$ (tady ${ displaystyle mathbb {1}}$ je charakteristická funkce);
-li F je limit (v normě ${ displaystyle L ^ { infty} ( pi)}$ ) posloupnosti jednoduchých funkcí ${ displaystyle s_ {1}, s_ {2}, ldots}$ v ${ displaystyle L ^ { infty} ( pi)}$ pak ${ displaystyle left ( Psi left (s_ {i} right) right) _ {i = 1} ^ { infty}}$ konverguje k ${ displaystyle Psi (f)}$ v ${ displaystyle { mathcal {B}} (H)}$ a ${ displaystyle | Psi (f) | = | f | ^ { infty}}$ ;
${ displaystyle left ( | f | ^ { infty} right) ^ {2} = sup _ { | h | leq 1} int _ {X} operatorname {d} pi _ {h, h}}$ pro každého ${ displaystyle f in L ^ { infty} left ( pi right).}$

Spektrální věta

Maximální ideální prostor Banachovy algebry A je množina všech komplexních homomorfismů ${ displaystyle A to mathbb {C},}$ kterou označíme ${ displaystyle sigma _ {A}.}$ Pro každého T v AGelfandova transformace T je mapa ${ displaystyle G (T): sigma _ {A} do mathbb {C}}$ definován ${ displaystyle G (T) (h): = h (T).}$ ${ displaystyle sigma _ {A}}$ je dána nejslabší topologie, která každou ${ displaystyle G (T): sigma _ {A} do mathbb {C}}$ kontinuální. S touto topologií ${ displaystyle sigma _ {A}}$ je kompaktní Hausdorffův prostor a každý T v A, G (T) patří ${ displaystyle C left ( sigma _ {A} right),}$ na kterém je prostor spojitých komplexních funkcí ${ displaystyle sigma _ {A}.}$ Rozsah ${ displaystyle G (T)}$ je spektrum ${ displaystyle sigma (T)}$ a že spektrální poloměr se rovná ${ displaystyle max left {| G (T) (h) |: h in sigma _ {A} right },}$ který je ${ displaystyle leq | T |.}$ ^[3]

Teorém^[4] — Předpokládat A je uzavřená normální subalgebra o ${ displaystyle { mathcal {B}} (H)}$ který obsahuje operátor identity ${ displaystyle operatorname {Id} _ {H}}$ a nechte ${ displaystyle sigma = sigma _ {A}}$ být maximálním ideálním prostorem A. Nechat ${ displaystyle Omega}$ být podmnožinami Borel z ${ displaystyle sigma.}$ Pro každého T v A, nechť ${ displaystyle G (T): sigma _ {A} do mathbb {C}}$ označují Gelfandovu transformaci T aby G je injektivní mapa ${ displaystyle G: A až C doleva ( sigma _ {A} doprava).}$ Existuje jedinečné rozlišení identity ${ displaystyle pi: Omega do A}$ který splňuje:

{ displaystyle left langle Tx, y right rangle = int _ { sigma _ {A}} G (T) operatorname {d} pi _ {x, y}}

pro všechny

{ displaystyle x, y v H}

a všechno

{ displaystyle T v A}

;

zápis ${ displaystyle T = int _ { sigma _ {A}} G (T) operatorname {d} pi}$ se používá k shrnutí této situace. Nechat ${ displaystyle I: operatorname {Im} G do A}$ být inverzí transformace Gelfand ${ displaystyle G: A až C doleva ( sigma _ {A} doprava)}$ kde ${ displaystyle operatorname {Im} G}$ lze kanonicky identifikovat jako podprostor o ${ displaystyle L ^ { infty} ( pi).}$ Nechat B být uzávěrem (v topologii normy z ${ displaystyle { mathcal {B}} (H)}$ ) lineárního rozpětí ${ displaystyle operatorname {Im} pi.}$ Pak platí následující:

B je uzavřená subalgebra ${ displaystyle { mathcal {B}} (H)}$ obsahující A;
Existuje (lineární multiplikativní) izometrický ^*-izomorfismus ${ displaystyle Phi: L ^ { infty} doleva ( pi doprava) do B}$ ${ displaystyle Phi: L ^ { infty} doleva ( pi doprava) do B}$ prodlužování ${ displaystyle I: operatorname {Im} G do A}$ ${ displaystyle I: operatorname {Im} G do A}$ takhle ${ displaystyle Phi f = int _ { sigma _ {A}} f operatorname {d} pi}$ ${ displaystyle Phi f = int _ { sigma _ {A}} f operatorname {d} pi}$ pro všechny ${ displaystyle f v L ^ { infty} ( pi)}$ ${ displaystyle f v L ^ { infty} ( pi)}$ ;
- Připomeňme si ten zápis ${ displaystyle Phi f = int _ { sigma _ {A}} f operatorname {d} pi}$ znamená, že ${ displaystyle left langle left ( Phi f right) x, y right rangle = int _ { sigma _ {A}} f operatorname {d} pi _ {x, y}}$ pro všechny ${ displaystyle x, y v H}$ ;
- Všimněte si zejména toho ${ displaystyle T = int _ { sigma _ {A}} G (T) operatorname {d} pi = Phi left (G (T) right)}$ pro všechny ${ displaystyle T v A}$ ;
- Výslovně, ${ displaystyle Phi}$ splňuje ${ displaystyle Phi left ({ overline {f}} right) = left ( Phi f right) ^ {*}}$ a ${ displaystyle | Phi f | = | f | ^ { infty}}$ pro každého ${ displaystyle f v L ^ { infty} ( pi)}$ (takže když F je tedy skutečně oceněna ${ displaystyle Phi (f)}$ je self-adjoint);
Li ${ displaystyle omega subseteq sigma _ {A}}$ je otevřený a neprázdný (z čehož vyplývá, že ${ displaystyle omega v Omega}$ ) pak ${ displaystyle pi left ( omega right) neq 0}$ ;
Omezený lineární operátor ${ displaystyle S v { mathcal {B}} (H)}$ dojíždí s každým prvkem A právě když dojíždí s každým prvkem ${ displaystyle operatorname {Im} pi.}$

Výše uvedený výsledek lze specializovat na jeden normální omezený operátor.

Viz také

Opatření oceněné projekcí - Matematické měřítko operátor-hodnota zájmu o kvantovou mechaniku a funkční analýzu
Spektrální teorie kompaktních operátorů
Spektrální věta - výsledek o tom, kdy lze matici diagonalizovat

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Rudin 1991, str. 316-318.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F Rudin 1991, str. 318-321.
^ Rudin 1991, str. 280.
^ Rudin 1991 321 až 325.

Robertson, A. P. (1973). Topologické vektorové prostory. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Topologické vektorové prostory. Cambridge Tracts v matematice. 53. Cambridge Anglie: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

[FOOTNOTERudin1991316-318-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Rudin 1991, str. 316-318.

[FOOTNOTERudin1991318-321-2] A ^b ^C ^d ^E ^F Rudin 1991, str. 318-321.

[FOOTNOTERudin1991280-3] Rudin 1991, str. 280.

[FOOTNOTERudin1991321-325-4] Rudin 1991 321 až 325.

[1]

[2]

[3]

[4]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Spektrální teorie a ^*-algebry
Základní pojmy	Involuce / * - algebra Banachova algebra B * -algebra C * -algebra Nekomutativní topologie Opatření oceněné projekcí Spektrum Spektrum C * -algebry Spektrální poloměr Prostor operátora
Hlavní výsledky	Gelfand – Mazurova věta Věta Gelfand – Naimark Gelfand zastoupení Polární rozklad Rozklad singulární hodnoty Spektrální věta Spektrální teorie normálních C * -algeber
Speciální prvky / operátoři	Isospectral Normální operátor Hermitian / Self-adjoint operátor Unitary operátor Jednotka
Spektrum	Kerin – Rutmanova věta Normální vlastní číslo Spektrum C * -algebry Spektrální poloměr Spektrální asymetrie Spektrální mezera
Rozklad spektra	(Kontinuální Směřovat Reziduální ) Přibližný bod Komprese Oddělený Spektrální úsečka
Spektrální věta	Borelův funkční kalkul Věta o min-max Opatření oceněné projekcí Projektor Riesz Pevný Hilbertův prostor Spektrální věta Spektrální teorie kompaktních operátorů Spektrální teorie normálních C * -algeber
Speciální algebry	Upravitelná Banachova algebra S Přibližná identita Banachova algebra funkcí Disková algebra Jednotná algebra
Konečně-dimenzionální	Alon – Boppana vázán Bauer – Fikeova věta Numerický rozsah Schur – Hornova věta
Zobecnění	Diracovo spektrum Základní spektrum Pseudospectrum Strukturovaný prostor (Hranice Shilova )
Smíšený	Abstraktní indexová skupina Banachova algebraická kohomologie Cohen – Hewittova faktorizační věta Rozšíření symetrických operátorů Omezující princip absorpce Neomezený operátor
Příklady	Wienerova algebra
Aplikace	Provozovatel téměř Mathieu Coronova věta Slyšení tvaru bubnu (Dirichletovo vlastní číslo ) Zahřejte jádro Kuzněcovův sledovací vzorec Lax pár Funkce proto-hodnota Ramanujan graf Rayleigh – Faber – Krahnova nerovnost Spektrální geometrie Spektrální metoda Spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic Teorie Sturm – Liouville Super silná aproximace Operátor přenosu Teorie transformace Weylův zákon