Lax pár - Lax pair

v matematika, v teorii integrovatelné systémy, a Lax pár je dvojice časově závislých matic nebo operátory které splňují odpovídající diferenciální rovnice, nazvaný Laxova rovnice. Laxové páry představil Peter Lax probrat solitony v kontinuální média. The inverzní rozptylová transformace využívá k řešení těchto systémů Laxovy rovnice.

Definice

Pár Lax je pár matic nebo operátorů ${displaystyle L (t), P (t)}$ v závislosti na čase a působení na pevnou Hilbertův prostor a uspokojující Laxova rovnice:

${displaystyle {frac {dL} {dt}} = [P, L]}$

kde ${displaystyle [P, L] = PL-LP}$ je komutátor Často, jako v následujícím příkladu, ${displaystyle P}$ záleží na ${displaystyle L}$ předepsaným způsobem, takže toto je nelineární rovnice pro ${displaystyle L}$ jako funkce ${displaystyle t}$.

Isospektrální majetek

Potom lze ukázat, že vlastní čísla a obecněji spektrum z L jsou nezávislé na t. Matice / operátory L se říká, že jsou isospektrální tak jako ${displaystyle t}$ liší se.

Jádrem pozorování je, že matice ${displaystyle L (t)}$ jsou všechny podobné na základě

${displaystyle L (t) = U (t, s) L (s) U (t, s) ^ {- 1}}$

kde ${displaystyle U (t, s)}$ je řešením Cauchyho problém

${displaystyle {frac {d} {dt}} U (t, s) = P (t) U (t, s), qquad U (s, s) = já,}$

kde Já označuje matici identity. Všimněte si, že pokud P (t) je zkosení, U (t, s) bude unitární.

Jinými slovy, vyřešit problém s vlastní hodnotou Lψ = λψ v čase t, je možné vyřešit stejný problém v čase 0, kde L je obecně znám lépe, a šířit řešení pomocí následujících vzorců:

${displaystyle lambda (t) = lambda (0)}$ (beze změny spektra)

${displaystyle {frac {částečné psi} {částečné t}} = Ppsi.}$

Propojte s metodou inverzního rozptylu

Výše uvedená vlastnost je základem pro metodu inverzního rozptylu. V této metodě L a P jednat o funkční prostor (tím pádem ψ = ψ (t, x)) a závisí na neznámé funkci u (t, x) který bude určen. Obecně se předpokládá, že u (0, x) je známo, a to P nezávisí na u v oblasti rozptylu, kde ${displaystyle Vert xVert o infty}$Metoda pak má následující podobu:

1. Vypočítejte spektrum ${displaystyle L (0)}$dávat ${displaystyle lambda}$ a ${displaystyle psi (0, x)}$,
2. V oblasti rozptylu, kde ${displaystyle P}$ je známo, šířit ${displaystyle psi}$ včas pomocí ${displaystyle {frac {částečné psi} {částečné t}} (t, x) = Ppsi (t, x)}$ s počátečním stavem ${displaystyle psi (0, x)}$,
3. Vědět ${displaystyle psi}$ v oblasti rozptylu vypočítat ${displaystyle L (t)}$ a / nebo ${displaystyle u (t, x)}$.

Příklady

Korteweg – de Vriesova rovnice

The Korteweg – de Vriesova rovnice

${displaystyle u_ {t} = 6uu_ {x} -u_ {xxx}.,}$

lze přeformulovat jako Laxovu rovnici

${displaystyle L_ {t} = [P, L],}$

s

${displaystyle L = -partial _ {x} ^ {2} + u,}$ (A Provozovatel Sturm – Liouville )

${displaystyle P = -4partial _ {x} ^ {3} + 6upartial _ {x} + 3u_ {x},}$

kde všechny deriváty působí na všechny objekty vpravo. To odpovídá nekonečnému počtu prvních integrálů KdV rovnice.

Kovalevskaya top

Předchozí příklad používal nekonečný rozměrný Hilbertův prostor. Jsou možné i příklady s konečnými dimenzionálními Hilbertovými prostory. Tyto zahrnují Kovalevskaya top a zobecnění zahrnující elektrické pole ${displaystyle {vec {h}}}$.^[1]

${displaystyle {egin {aligned} L & = {egin {pmatrix} g_ {1} + h_ {2} & g_ {2} + h_ {1} & g_ {3} & h_ {3} g_ {2} + h_ {1} & -g_ {1} + h_ {2} & h_ {3} & - g_ {3} g_ {3} & h_ {3} & - g_ {1} -h_ {2} & g_ {2} -h_ {1} h_ {3} & - g_ {3} & g_ {2} -h_ {1} & g_ {1} + h_ {2} end {pmatrix}} lambda ^ {- 1} & + {egin {pmatrix} 0 a 0 & -l_ {2} & - l_ {1} 0 & 0 & l_ {1} & - l_ {2} l_ {2} & - l_ {1} & - 2lambda & -2l_ {3} l_ {1} & l_ {2 } & 2l_ {3} & 2lambda end {pmatrix}} P & = {frac {-1} {2}} {egin {pmatrix} 0 & -2l_ {3} & l_ {2} & l_ {1} 2l_ {3} & 0 & -l_ {1} & l_ {2} - l_ {2} & l_ {1} & 2lambda & 2l_ {3} + gamma -l_ {1} & - l_ {2} & - 2l_ {3} & - 2lambda end { pmatrix}} konec {zarovnáno}}}$

Heisenbergův obrázek

V Heisenbergův obrázek z kvantová mechanika, an pozorovatelný A bez výslovného času t závislost uspokojuje

${displaystyle {frac {d} {dt}} A (t) = {frac {i} {hbar}} [H, A (t)],}$

s H the Hamiltonian a ħ snížený Planckova konstanta. Kromě faktoru lze tedy pozorovatelné (bez výslovné časové závislosti) na tomto obrázku vidět, že spolu s Hamiltonianem tvoří páry Lax. The Schrödingerův obrázek je pak interpretován jako alternativní výraz z hlediska izospektrálního vývoje těchto pozorovatelných.

Další příklady

Další příklady systémů rovnic, které lze formulovat jako pár Lax, zahrnují:

• Rovnice Benjamin – Ono
• Jednorozměrný kubický nelineární Schrödingerova rovnice
• Systém Davey – Stewartson
• Integrovatelné systémy s kontaktními páry Lax^[2]
• Kadomtsev – Petviashviliho rovnice
• Korteweg – de Vriesova rovnice
• Hierarchie KdV
• Upravená Korteweg – de Vriesova rovnice
• Sine-Gordonova rovnice
• Toda mříž
• Vrcholy Lagrange, Euler a Kovalevskaya
• Belinski – Zakharovova transformace, obecně relativita.

Poslední je pozoruhodný, protože naznačuje, že oba Schwarzschildova metrika a Metrika Kerr lze chápat jako solitony.

Reference

• Lax, P. (1968), „Integrály nelineárních evolučních rovnic a solitérních vln“, Sdělení o čisté a aplikované matematice, 21 (5): 467–490, doi:10,1002 / cpa.3160210503 archiv
• P. Lax a R.S. Phillips, Teorie rozptylu pro automorfní funkce[1], (1976) Princeton University Press.