Numerický rozsah - Numerical range

V matematický pole lineární algebra a konvexní analýza, číselný rozsah nebo pole hodnot a komplex ${ displaystyle n krát n}$ matice A je sada

${ displaystyle W (A) = vlevo {{ frac { mathbf {x} ^ {*} A mathbf {x}} { mathbf {x} ^ {*} mathbf {x}}} mid mathbf {x} in mathbb {C} ^ {n}, x not = 0 right }}$

kde ${ displaystyle mathbf {x} ^ {*}}$ označuje transpozici konjugátu vektor ${ displaystyle mathbf {x} ^ {*}}$.

Ve strojírenství se numerické rozsahy používají jako hrubý odhad vlastní čísla z A. V poslední době se ke studiu používají zobecnění číselného rozsahu kvantové výpočty.

Souvisejícím pojmem je číselný poloměr, což je největší absolutní hodnota čísel v číselném rozsahu, tj.

${ Displaystyle r (A) = sup {| lambda |: lambda ve W (A) } = sup _ { | x | = 1} | langle Ax, x rangle |. }$

Vlastnosti

1. Číselný rozsah je rozsah z Rayleighův kvocient.
2. (Hausdorffova-Toeplitzova věta) Číselný rozsah je konvexní a kompaktní.
3. ${ displaystyle W ( alpha A + beta I) = alpha W (A) + { beta }}$ pro všechny čtvercové matice ${ displaystyle A}$ a komplexní čísla ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$. Tady ${ displaystyle I}$ je matice identity.
4. ${ displaystyle W (A)}$ je podmnožinou uzavřené pravé poloroviny právě tehdy ${ displaystyle A + A ^ {*}}$ je pozitivní semidefinitní.
5. Numerický rozsah ${ displaystyle W ( cdot)}$ je jediná funkce na množině čtvercových matic, která splňuje požadavky (2), (3) a (4).
6. (Doplňková látka) ${ displaystyle W (A + B) subseteq W (A) + W (B)}$, kde součet na pravé straně označuje a souprava.
7. ${ displaystyle W (A)}$ obsahuje všechny vlastní čísla z ${ displaystyle A}$.
8. Numerický rozsah a ${ displaystyle 2 krát 2}$ matice je vyplněná elipsa.
9. ${ displaystyle W (A)}$ je skutečný úsečka ${ displaystyle [ alpha, beta]}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle A}$ je Hermitova matice s nejmenšími a největšími vlastními hodnotami ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$.
10. Li ${ displaystyle A}$ je normální matice pak ${ displaystyle W (A)}$ je konvexní trup jeho vlastních čísel.
11. Pokud je α ostrý bod na hranici ${ displaystyle W (A)}$, pak ${ displaystyle alpha}$ je normální vlastní hodnota ${ displaystyle A}$.
12. ${ displaystyle r ( cdot)}$ je normou v prostoru ${ displaystyle n krát n}$ matice.
13. ${ displaystyle r (A) leq | A | leq 2r (A)}$, kde ${ displaystyle | cdot |}$ označuje normu operátora.
14. ${ displaystyle r (A ^ {n}) leq r (A) ^ {n}}$

Zobecnění

• C-číselný rozsah
• Vyšší číselný rozsah
• Společný číselný rozsah
• Číselný rozsah produktu
• Polynomický numerický trup

Viz také

• Spektrální teorie
• Rayleighův kvocient
• Workshop o numerických rozsazích a číselných poloměrech

Bibliografie

• Choi, M.D .; Kribs, D.W .; Życzkowski (2006), „Kvantová chyba opravující kódy z kompresního formalismu“, Rep. Math. Phys., 58: 77, arXiv:quant-ph / 0511101, Bibcode:2006RpMP ... 58 ... 77C, doi:10.1016 / S0034-4877 (06) 80041-8.
• Dirr, G .; Helmkel, U .; Kleinsteuber, M .; Schulte-Herbrüggen, Th. (2006), „Nový typ C-numerického rozsahu vznikajícího v kvantovém výpočtu“, Proc. Appl. Matematika. Mech., 6: 711–712.
• Bonsall, F.F .; Duncan, J. (1971), Numerické rozsahy operátorů na normovaných prostorech a prvků normovaných algeber, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-07988-4.
• Bonsall, F.F .; Duncan, J. (1971), Číselné řady II, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-20227-5.
• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1991), Témata maticové analýzy, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-46713-1.
• Li, C.K. (1996), „Jednoduchý důkaz věty o eliptickém rozsahu“, Proc. Dopoledne. Matematika. Soc., 124: 1985.
• Keeler, Dennis S .; Rodman, Leiba; Spitkovsky, Ilya M. (1997), "Numerický rozsah matic 3 × 3", Lineární algebra a její aplikace, 252: 115.
• Roger A. Horn a Charles R. Johnson, Témata maticové analýzy, Kapitola 1, Cambridge University Press, 1991. ISBN  0-521-30587-X (vázaná kniha), ISBN  0-521-46713-6 (brožura).
• „Funkční charakterizace pole hodnot a konvexního trupu spektra“, Charles R. Johnson, Proceedings of the American Mathematical Society, 61 (2): 201-204, prosinec 1976.