Uhlazený osmiúhelník - Smoothed octagon

Uhlazený osmiúhelník.

Rodina maximálně hustých náplní vyhlazeného osmiúhelníku.

The uhlazený osmiúhelník je oblast v rovině předpokládaná s Nejnižší maximum hustota balení z letadlo ze všech centrálně symetrický konvexní tvary.^[1] Je konstruován nahrazením rohů a pravidelný osmiúhelník s částí a hyperbola to je tečna ke dvěma stranám sousedícím s rohem a asymptotická ke stranám sousedícím s nimi.

Vyhlazený osmiúhelník má maximální hustotu balení danou

${displaystyle {frac {8-4 {sqrt {2}} - ln {2}} {2 {sqrt {2}} - 1}} cca 0,902414 ,.}$^[2]

To je nižší než maximální hustota balení kruhů, který je

${displaystyle {frac {pi} {sqrt {12}}} přibližně 0,906899.}$

Maximální hustota balení běžného pravidelného osmiúhelníku je

${displaystyle {frac {4 + 4 {sqrt {2}}} {5 + 4 {sqrt {2}}}} cca 0,906163,}$

také o něco menší než maximální hustota těsnění kruhů, ale vyšší než hustota vyhlazeného osmiúhelníku.^[3]

Vyhlazený osmiúhelník dosahuje maximální hustoty balení, a to nejen pro jedno balení, ale pro rodinu s 1 parametrem. Všechny tyto jsou mříž balení.^[4]

Ve třech rozměrech, Ulamův dohad o balení uvádí, že žádný konvexní tvar nemá nižší maximální hustotu balení než míč.

Konstrukce

Rohy vyhlazeného osmiúhelníku lze najít otočením tří pravidelných osmiúhelníků, jejichž středy tvoří trojúhelník s konstantní plochou.

Když vezmeme v úvahu rodinu maximálně hustých náplní vyhlazeného osmiúhelníku, lze k určení tvaru rohů použít požadavek, aby hustota náplně zůstala stejná jako bod kontaktu mezi sousedními změnami osmiúhelníku. Na obrázku se otáčejí tři osmiúhelníky, zatímco oblast trojúhelníku tvořeného jejich středy zůstává konstantní a udržuje je co nejblíže pohromadě. U běžných osmiúhelníků by se červené a modré tvary překrývaly, takže aby bylo možné pokračovat v rotaci, jsou rohy oříznuty bodem, který leží uprostřed mezi jejich středy a vytváří požadovanou křivku, která se ukazuje jako hyperbola.

Konstrukce vyhlazeného osmiúhelníku (černá), tečné hyperboly (červená) a asymptot této hyperboly (zelená) a tečných stran hyperboly (modrá).

Hyperbola je vytvořena tečna ke dvěma stranám osmiúhelníku a asymptotická ke dvěma sousedícím s nimi. Následující podrobnosti se vztahují na běžný osmiúhelník circumradius ${displaystyle {sqrt {2}}}$ se středem v bodě ${displaystyle (2+ {sqrt {2}}, 0)}$ a jeden vrchol v bodě ${displaystyle (2,0)}$. Definujeme dvě konstanty, ℓ a m:

${displaystyle ell = {sqrt {2}} - 1}$

${displaystyle m = {sqrt [{4}] {frac {1} {2}}}}$

Hyperbola je pak dána rovnicí

${displaystyle ell ^ {2} x ^ {2} -y ^ {2} = m ^ {2}}$

nebo ekvivalentní parametrizace (pouze pro pravou větev):

${displaystyle {egin {cases} x = {frac {m} {ell}} cosh {t} y = msinh {t} end {cases}} - infty$

Část hyperboly, která tvoří roh, je dána vztahem

${displaystyle - {frac {ln {2}} {4}}$

Čáry osmiúhelníku tečna k hyperbole jsou

${displaystyle y = pm left ({sqrt {2}} + 1ight) left (x-2ight)}$

Řádky asymptotické k hyperbole jsou jednoduše

${displaystyle y = pm ell x.}$

Viz také

• Kruhové balení

Reference

externí odkazy

• Nejtenčí nejhustší dvourozměrné balení?. Peter Scholl, 2001.