Zelené opatření - Green measure

v matematika - konkrétně v stochastická analýza - Zelené opatření je opatření spojené s Je to šíření. Existuje přidružený Zelený vzorec vhodně reprezentující plynulé funkce ve smyslu zeleného opatření a první časy výjezdu difúze. Pojmy jsou pojmenovány po britský matematik George Green a jsou zobecněním klasiky Greenova funkce a Greenův vzorec k použití stochastického případu Dynkinův vzorec.

Zápis

Nechat X být Rⁿ-hodnocení difúze Itō uspokojující Ito stochastická diferenciální rovnice formuláře

${displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}), mathrm {d} t + sigma (X_ {t}), mathrm {d} B_ {t}.}$

Nechat P^X označit zákon z X vzhledem k počáteční podmínce X₀ = Xa nechte E^X označit očekávání s ohledem na P^X. Nechat L_X být nekonečně malý generátor z X, tj.

${displaystyle L_ {X} = součet _ {i} b_ {i} {frac {částečný} {částečný x_ {i}}} + {frac {1} {2}} součet _ {i, j} {ig (} sigma sigma ^ {op} {ig)} _ {i, j} {frac {částečné ^ {2}} {částečné x_ {i}, částečné x_ {j}}}.}$

Nechat D ⊆ Rⁿ být otevřeno, ohraničený doména; nechat τ_D být čas prvního výstupu z X z D:

${displaystyle au _ {D}: = inf {tgeq 0 | X_ {t} ot v D}.}$

Zelená míra

Intuitivně zelená míra sady Borel H (s ohledem na bod X a doména D) je očekávaná doba, po kterou Xpoté, co začal v X, zůstane uvnitř H před opuštěním domény D. Toto je Zelené opatření z X s ohledem na D na X, označeno G(X, ·), Je definován pro sady Borel H ⊆ Rⁿ podle

${displaystyle G (x, H) = mathbf {E} ^ {x} vlevo [int _ {0} ^ {au _ {D}} chi _ {H} (X_ {s}), mathrm {d} zrak] ,}$

nebo pro omezené spojité funkce F : D → R podle

${displaystyle int _ {D} f (y), G (x, mathrm {d} y) = mathbf {E} ^ {x} vlevo [int _ {0} ^ {au _ {D}} f (X_ { s}), mathrm {d} zrak]}$

Název „Zelené opatření“ vychází ze skutečnosti, že pokud X je Brownův pohyb, pak

${displaystyle G (x, H) = int _ {H} G (x, y), mathrm {d} y,}$

kde G(X, y) je Greenova funkce pro operátora L_X (což je v případě Brownova pohybu ½Δ, kde Δ je Operátor Laplace ) na doméně D.

Zelený vzorec

Předpokládejme to E^X[τ_D] <+ ∞ pro všechny X ∈ Da nechte F : Rⁿ → R být z třída hladkosti C² s kompaktní podpora. Pak

${displaystyle f (x) = mathbf {E} ^ {x} {ig [} f {ig (} X_ {au _ {D}} {ig)} {ig]} - int _ {D} L_ {X} f (y), G (x, mathrm {d} y).}$

Zejména pro C² funkce F s podporou kompaktně zabudováno v D,

${displaystyle f (x) = - int _ {D} L_ {X} f (y), G (x, mathrm {d} y).}$

Důkazem Greenova vzorce je snadné použití Dynkinova vzorce a definice Zeleného opatření:

${displaystyle mathbf {E} ^ {x} {ig [} f {ig (} X_ {au _ {D}} {ig)} {ig]}}$

${displaystyle = f (x) + mathbf {E} ^ {x} vlevo [int _ {0} ^ {au _ {D}} L_ {X} f (X_ {s}), mathrm {d} zrak]}$

${displaystyle = f (x) + int _ {D} L_ {X} f (y), G (x, mathrm {d} y).}$

Reference

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací (Šesté vydání). Berlín: Springer. ISBN  3-540-04758-1. PAN2001996 (Viz část 9)