Přizpůsobený proces - Adapted process

Ve studii o stochastické procesy, an přizpůsobený proces (označované také jako a nepředvídatelný nebo nepředvídatelný proces) je ten, který nemůže „vidět do budoucnosti“. Neformální výklad^[1] je to X je přizpůsoben tehdy a jen tehdy, pro každou realizaci a každou n, X_n je známo v čase n. Koncept přizpůsobeného procesu je nezbytný například při definici Je to integrální, což dává smysl, pouze pokud integrand je přizpůsobený proces.

Definice

Nechat

${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, mathbb {P})}$ být pravděpodobnostní prostor;
${displaystyle I}$ být soubor indexů s celkovou objednávkou ${displaystyle leq}$ (často, ${displaystyle I}$ je ${displaystyle mathbb {N}}$ , ${displaystyle mathbb {N} _ {0}}$ , ${displaystyle [0, T]}$ nebo ${displaystyle [0, + infty)}$ );
${displaystyle {mathcal {F}} _ {cdot} = left ({mathcal {F}} _ {i} ight) _ {iin I}}$ být filtrace z sigma algebra ${displaystyle {mathcal {F}}}$ ;
${displaystyle (S, Sigma)}$ být měřitelný prostor, státní prostor;
${displaystyle X: I imes Omega o S}$ být stochastický proces.

Proces ${displaystyle X}$ se říká, že je přizpůsobeno filtraci ${displaystyle left ({mathcal {F}} _ {i} ight) _ {iin I}}$ pokud náhodná proměnná ${displaystyle X_ {i}: Omega o S}$ je ${displaystyle ({mathcal {F}} _ {i}, Sigma)}$ -měřitelná funkce pro každého ${displaystyle iin I}$ .^[2]

Příklady

Zvažte stochastický proces X : [0, T] × Ω → Ra vybavit skutečná linie R se svým obvyklým Borel sigma algebra generované otevřené sady.

Vezmeme-li přírodní filtrace F_•^X, kde F_t^X je σ-algebra generovaná předobrazy X_s⁻¹(B) pro podmnožiny Borel B z R a časy 0 ≤ s ≤ t, pak X je automaticky F_•^X- přizpůsobeno. Intuitivně přirozená filtrace F_•^X obsahuje "celkové informace" o chování uživatele X až do časut.
To nabízí jednoduchý příklad nepřizpůsobeného procesu X : [0, 2] × Ω → R: set F_t být triviální σ-algebra {∅, Ω} pro časy 0 ≤t <1 a F_t = F_t^X na časy 1 ≤ t ≤ 2. Protože jediný způsob, jak lze funkci měřit s ohledem na triviální σ-algebra má být konstantní, jakýkoli proces X která je nekonstantní na [0, 1], nebude F_•- přizpůsobeno. Nekonstantní povaha takového procesu „využívá informace“ z rafinovanější „budoucnosti“ σ-algebry F_t, 1 ≤ t ≤ 2.

Viz také

Reference

^ Wiliams, David (1979). „II.25“. Diffusions, Markov Processes and Martingales: Foundations. 1. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.
^ Øksendal, Bernt (2003). Stochastické diferenciální rovnice. Springer. str. 25. ISBN 978-3-540-04758-2.

[1] Wiliams, David (1979). „II.25“. Diffusions, Markov Processes and Martingales: Foundations. 1. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.

[2] Øksendal, Bernt (2003). Stochastické diferenciální rovnice. Springer. str. 25. ISBN 978-3-540-04758-2.

[1]

[2]