Stochastické procesy a okrajové problémy - Stochastic processes and boundary value problems - Wikipedia

v matematika, někteří problémy s hraniční hodnotou lze vyřešit pomocí metod stochastická analýza. Snad nejslavnějším příkladem je Shizuo Kakutani řešení 1944 z roku 1944 Dirichletův problém pro Operátor Laplace použitím Brownův pohyb. Ukázalo se však, že pro velkou třídu poloeliptický druhá objednávka parciální diferenciální rovnice související problém s hraničními hodnotami Dirichlet lze vyřešit pomocí To je proces který řeší přidružený stochastická diferenciální rovnice.

Úvod: Kakutaniho řešení klasického Dirichletova problému

Nechat ${ displaystyle D}$ být doménou (an otevřeno a připojená sada ) v ${ textstyle mathbb {R} ^ {n}}$. Nechat ${ displaystyle Delta}$ být Operátor Laplace, nechť ${ displaystyle g}$ být omezená funkce na hranice ${ displaystyle částečný D}$a zvažte problém:

${ displaystyle { begin {cases} - Delta u (x) = 0, & x v D displaystyle { lim _ {y až x} u (y)} = g (x), & x v částečný D konec {případů}}}$

Je možné ukázat, že pokud řešení ${ displaystyle u}$ tedy existuje ${ displaystyle u (x)}$ je očekávaná hodnota z ${ displaystyle g (x)}$ v (náhodném) prvním výstupním bodě z ${ displaystyle D}$ pro kanonický Brownův pohyb začínající na ${ displaystyle x}$. Viz věta 3 v Kakutani 1944, str. 710.

Dirichlet-Poissonův problém

Nechat ${ displaystyle D}$ být doménou v ${ textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ a nechte ${ displaystyle L}$ být provozovatelem semi-eliptického diferenciálu ${ textstyle C ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n}; mathbb {R})}$ formuláře:

${ displaystyle L = součet _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} (x) { frac { částečné} { částečné x_ {i}}} + součet _ {i, j = 1 } ^ {n} a_ {ij} (x) { frac { částečné ^ {2}} { částečné x_ {i} , částečné x_ {j}}}}$

kde koeficienty ${ displaystyle b_ {i}}$ a ${ displaystyle a_ {ij}}$ jsou spojité funkce a všechny vlastní čísla z matice ${ displaystyle alpha (x) = a_ {ij} (x)}$ jsou nezáporné. Nechat ${ textstyle f v C (D; mathbb {R})}$ a ${ textstyle g v C ( částečné D; mathbb {R})}$. Zvažte Poissonův problém:

${ displaystyle { begin {cases} -Lu (x) = f (x), & x v D displaystyle { lim _ {y až x} u (y)} = g (x), & x in částečný D end {případy}} quad { mbox {(P1)}}}$

Myšlenka stochastické metody řešení tohoto problému je následující. Nejprve člověk najde Je to šíření ${ displaystyle X}$ jehož nekonečně malý generátor ${ displaystyle A}$ se shoduje s ${ displaystyle L}$ na kompaktně podporováno ${ displaystyle C ^ {2}}$ funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$. Například, ${ displaystyle X}$ lze považovat za řešení stochastické diferenciální rovnice:

${ displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (X_ {t}) , mathrm {d} B_ {t}}$

kde ${ displaystyle B}$ je n-dimenzionální Brownův pohyb, ${ displaystyle b}$ má komponenty ${ displaystyle b_ {i}}$ jak je uvedeno výše, a maticové pole ${ displaystyle sigma}$ je vybrán tak, aby:

${ displaystyle { frac {1} {2}} sigma (x) sigma (x) ^ { top} = a (x), quad forall x in mathbb {R} ^ {n} }$

Pro bod ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}}$, nechť ${ displaystyle mathbb {P} ^ {x}}$ označují zákon z ${ displaystyle X}$ daný počáteční údaj ${ displaystyle X_ {0} = x}$a nechte ${ displaystyle mathbb {E} ^ {x}}$označit očekávání s ohledem na ${ displaystyle mathbb {P} ^ {x}}$. Nechat ${ displaystyle tau _ {D}}$ označte první čas odchodu z ${ displaystyle X}$ z ${ displaystyle D}$.

V této notaci je kandidátským řešením pro (P1):

${ displaystyle u (x) = mathbb {E} ^ {x} vlevo [g { big (} X _ { tau _ {D}} { big)} cdot chi _ { { tau _ {D} <+ infty }} vpravo] + mathbb {E} ^ {x} vlevo [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} f (X_ {t}) , mathrm {d} t vpravo]}$

pokud ${ displaystyle g}$ je omezená funkce a to:

${ displaystyle mathbb {E} ^ {x} vlevo [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} { big |} f (X_ {t}) { big |} , mathrm {d} t right] <+ infty}$

Ukazuje se, že je vyžadována ještě jedna podmínka:

${ displaystyle mathbb {P} ^ {x} { big (} tau _ {D} < infty { big)} = 1, quad forall x v D}$

Pro všechny ${ displaystyle x}$, proces ${ displaystyle X}$ začínající na ${ displaystyle x}$ téměř jistě listy ${ displaystyle D}$ v konečném čase. Za tohoto předpokladu se výše uvedené kandidátské řešení redukuje na:

${ displaystyle u (x) = mathbb {E} ^ {x} vlevo [g { big (} X _ { tau _ {D}} { big)} vpravo] + mathbb {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} f (X_ {t}) , mathrm {d} t right]}$

a řeší (P1) v tom smyslu, že pokud ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ označuje charakteristický operátor pro ${ displaystyle X}$ (což souhlasí s ${ displaystyle A}$ na ${ displaystyle C ^ {2}}$ funkce), pak:

${ displaystyle { begin {cases} - { mathcal {A}} u (x) = f (x), & x v D displaystyle { lim _ {t uparrow tau _ {D}} u (X_ {t})} = g { big (} X _ { tau _ {D}} { big)}, & mathbb {P} ^ {x} { mbox {-as,}} ; forall x in D end {cases}} quad { mbox {(P2)}}}$

Navíc pokud ${ textstyle v v C ^ {2} (D; mathbb {R})}$ splňuje (P2) a existuje konstanta ${ displaystyle C}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle x v D}$:

${ displaystyle | v (x) | leq C left (1+ mathbb {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} { big |} g (X_ {s}) { big |} , mathrm {d} s doprava] doprava)}$

pak ${ displaystyle v = u}$.

Reference

• Kakutani, Shizuo (1944). "Dvojrozměrný Brownův pohyb a harmonické funkce". Proc. Imp. Acad. Tokio. 20 (10): 706–714. doi:10,3792 / pia / 1195572706.
• Kakutani, Shizuo (1944). "Na Brownovy pohyby v n-prostor". Proc. Imp. Acad. Tokio. 20 (9): 648–652. doi:10,3792 / pia / 1195572742.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací (Šesté vydání). Berlín: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (Viz část 9)