Vnitřní produkt Frobenius - Frobenius inner product

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Frobenius vnitřní produkt"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Vnitřní produkt Frobenius je binární operace, která trvá dva matice a vrátí číslo. Často se označuje ${ displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}}}$. Operace je komponentní vnitřní produkt dvou matic, jako by byly vektory. Dvě matice musí mít stejnou dimenzi - stejný počet řádků a sloupců - ale nesmí být omezeny čtvercové matice.

Definice

Vzhledem k tomu dva komplexní číslo -hodnota n×m matice A a B, psaný výslovně jako

${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & cdots & A_ {1m} A_ {21} & A_ {22} & cdots & A_ {2m} vdots & vdots & ddots & vdots A_ {n1} & A_ {n2} & cdots & A_ {nm} end {pmatrix}} ,, quad mathbf {B} = { begin { pmatrix} B_ {11} & B_ {12} & cdots & B_ {1m} B_ {21} & B_ {22} & cdots & B_ {2m} vdots & vdots & ddots & vdots B_ {n1} & B_ {n2} & cdots & B_ {nm} end {pmatrix}}}$

vnitřní produkt Frobenius je definován následujícím způsobem součet Σ prvků matice,

${ displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} = sum _ {i, j} { overline {A_ {ij}}} B_ {ij} , = mathrm {Tr} vlevo ({ overline { mathbf {A} ^ {T}}} mathbf {B} vpravo) equiv mathrm {Tr} vlevo ( mathbf {A} ^ { ! dagger} mathbf {B} vpravo)}$

kde nadřazená čára označuje komplexní konjugát, a ${ displaystyle dýka}$ označuje Hermitianský konjugát. Výslovně tato částka je

${ displaystyle { begin {aligned} langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} = & { overline {A}} _ {11} B_ {11} + { overline {A}} _ {12} B_ {12} + cdots + { overline {A}} _ {1m} B_ {1m} & + { overline {A}} _ {21} B_ {21} + { overline {A}} _ {22} B_ {22} + cdots + { overline {A}} _ {2m} B_ {2m} & vdots & + { overline {A}} _ {n1} B_ {n1} + { overline {A}} _ {n2} B_ {n2} + cdots + { overline {A}} _ {nm} B_ {nm} konec {zarovnáno}}}$

Výpočet je velmi podobný výpočtu Tečkovaný produkt, což je příklad vnitřního produktu.

Vlastnosti

Je to sesquilineární forma pro čtyři matice se složitou hodnotou A, B, C, Da dvě komplexní čísla A a b:

${ displaystyle langle a mathbf {A}, b mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} = { overline {a}} b langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}}}$

${ displaystyle langle mathbf {A} + mathbf {C}, mathbf {B} + mathbf {D} rangle _ { mathrm {F}} = langle mathbf {A}, mathbf { B} rangle _ { mathrm {F}} + langle mathbf {A}, mathbf {D} rangle _ { mathrm {F}} + langle mathbf {C}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} + langle mathbf {C}, mathbf {D} rangle _ { mathrm {F}}}$

Výměna matic také znamená komplexní konjugaci:

${ displaystyle langle mathbf {B}, mathbf {A} rangle _ { mathrm {F}} = { overline { langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}}}}}$

Pro stejnou matici

${ displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {A} rangle _ { mathrm {F}} geq 0 ,.}$

Příklady

Matice se skutečnou hodnotou

Pro dvě matice se skutečnou hodnotou, pokud

${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 2 & 0 & 6 1 & -1 & 2 end {pmatrix}} ,, quad mathbf {B} = { begin {pmatrix} 8 & -3 & 2 4 & 1 & -5 end {pmatrix}}}$

pak

${ displaystyle { begin {aligned} langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} & = 2 cdot 8 + 0 cdot (-3) +6 cdot 2 + 1 cdot 4 + (- 1) cdot 1 + 2 cdot (-5) & = 16 + 12 + 4-1-10 & = 21 end {zarovnáno}}}$

Matice se složitou hodnotou

Pro dvě matice se složitou hodnotou, pokud

${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 1 + i & -2i 3 & -5 end {pmatrix}} ,, quad mathbf {B} = { begin {pmatrix} -2 a 3i 4-3i a 6 end {pmatrix}}}$

pak jsou komplexní konjugáty (bez transpozice)

${ displaystyle { overline { mathbf {A}}} = { begin {pmatrix} 1-i & + 2i 3 & -5 end {pmatrix}} ,, quad { overline { mathbf {B }}} = { begin {pmatrix} -2 & -3i 4 + 3i & 6 end {pmatrix}}}$

a

${ displaystyle { begin {zarovnaný} langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} & = (1-i) cdot (-2) + (+ 2i) cdot 3i + 3 cdot (4-3i) + (- 5) cdot 6 & = (- 2 + 2i) + - 6 + 12-9i + -30 & = - 26-7i end { zarovnaný}}}$

zatímco

${ displaystyle { begin {aligned} langle mathbf {B}, mathbf {A} rangle _ { mathrm {F}} & = (- 2) cdot (1 + i) + (- 3i) cdot (-2i) + (4 + 3i) cdot 3 + 6 cdot (-5) & = - 26 + 7i end {zarovnáno}}}$

Vnitřní výrobky Frobenius z A sám se sebou a B se sebou samými, jsou resp

${ displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {A} rangle _ { mathrm {F}} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40}$

${ displaystyle langle mathbf {B}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74}$

Frobeniova norma

Vnitřní produkt indukuje Frobeniova norma

${ displaystyle | mathbf {A} | _ { mathrm {F}} = { sqrt { langle mathbf {A}, mathbf {A} rangle _ { mathrm {F}}}} ,.}$

Vztah k ostatním produktům

Li A a B jsou každý nemovitý -hodnotové matice, vnitřní produkt Frobenius je součtem položek z Produkt Hadamard.

Pokud jsou matice vektorizovaný (označeno „vec“, převedeno na vektory sloupců) následovně,

${ displaystyle mathrm {vec} ( mathbf {A}) = { begin {pmatrix} A_ {11} A_ {12} vdots A_ {21} A_ {22} vdots A_ {nm} end {pmatrix}}, quad mathrm {vec} ( mathbf {B}) = { begin {pmatrix} B_ {11} B_ {12} vdots B_ {21} B_ {22} vdots B_ {nm} end {pmatrix}} ,,}$

maticový produkt

${ displaystyle { overline { mathrm {vec} ( mathbf {A})}} ^ {T} mathrm {vec} ( mathbf {B}) = { begin {pmatrix} { overline {A} } _ {11} & { overline {A}} _ {12} & cdots & { overline {A}} _ {21} & { overline {A}} _ {22} & cdots & { overline {A}} _ {nm} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} B_ {11} B_ {12} vdots B_ {21} B_ {22} vdots B_ {nm} end {pmatrix}}}$

proto reprodukuje definici

${ displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} = { overline { mathrm {vec} ( mathbf {A})}} ^ {T} mathrm {vec} ( mathbf {B}) ,.}$

Viz také

• Hadamardův produkt (matice)
• Hilbert – Schmidtův vnitřní produkt
• Produkt Kronecker
• Maticová analýza
• Násobení matic
• Norma matice