Gaussova míra - Gaussian measure

v matematika, Gaussova míra je Borelův rozměr na konečně-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ, úzce souvisí s normální distribuce v statistika. Existuje také zevšeobecnění do nekonečně dimenzionálních prostorů. Gaussovy míry jsou pojmenovány po Němec matematik Carl Friedrich Gauss. Jedním z důvodů, proč jsou gaussovské míry v teorii pravděpodobnosti tak všudypřítomné, je teorém centrálního limitu. Volně řečeno se uvádí, že pokud jde o náhodnou proměnnou X se získá sečtením velkého počtu N nezávislých náhodných proměnných řádu 1, tedy X je v pořádku ${displaystyle {sqrt {N}}}$ a jeho zákon je přibližně gaussovský.

Definice

Nechat n ∈ N a nechte B₀(Rⁿ) označují dokončení z Borel σ-algebra na Rⁿ. Nechat λⁿ : B₀(Rⁿ) → [0, + ∞] označuje obvyklé n-dimenzionální Lebesgueovo opatření. Pak standardní Gaussova míra yⁿ : B₀(Rⁿ) → [0, 1] je definováno

{displaystyle gamma ^ {n} (A) = {frac {1} {{sqrt {2pi}} ^ {n}}} int _ {A} exp left (- {frac {1} {2}} | x | _ {mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} ight), mathrm {d} lambda ^ {n} (x)}

pro jakoukoli měřitelnou množinu A ∈ B₀(Rⁿ). Z hlediska Derivát Radon – Nikodym,

{displaystyle {frac {mathrm {d} gamma ^ {n}} {mathrm {d} lambda ^ {n}}} (x) = {frac {1} {{sqrt {2pi}} ^ {n}}} exp vlevo (- {frac {1} {2}} | x | _ {mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} ight).}

Obecněji řečeno, Gaussova míra s znamenat μ ∈ Rⁿ a rozptyl σ² > 0 je dáno

{displaystyle gamma _ {mu, sigma ^ {2}} ^ {n} (A): = {frac {1} {{sqrt {2pi sigma ^ {2}}} ^ {n}}} int _ {A} exp left (- {frac {1} {2sigma ^ {2}}} | x-mu | _ {mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} ight), mathrm {d} lambda ^ {n} ( X).}

Gaussovy míry se střední hodnotou μ = 0 jsou známé jako zaměřené na Gaussovy míry.

The Diracova míra δ_μ je slabý limit z ${displaystyle gamma _ {mu, sigma ^ {2}} ^ {n}}$ tak jako σ → 0, a je považován za a zdegenerovaná Gaussova míra; na rozdíl od toho se nazývají Gaussovy míry s konečnou, nenulovou odchylkou nedegenerované Gaussovy míry.

Vlastnosti Gaussovy míry

Standardní Gaussova míra yⁿ na Rⁿ

je Borelův rozměr (ve skutečnosti, jak již bylo uvedeno výše, je definováno po dokončení algebry Borel sigma, což je jemnější struktura);
je ekvivalent na Lebesgueovo opatření: ${displaystyle lambda ^ {n} ll gamma ^ {n} ll lambda ^ {n}}$ , kde ${displaystyle ll}$ znamená absolutní kontinuita opatření;
je podporováno na celém euklidovském prostoru: supp (yⁿ) = Rⁿ;
je míra pravděpodobnosti (yⁿ(Rⁿ) = 1), a tak to je místně konečné;
je přísně pozitivní: každý neprázdný otevřená sada má pozitivní míru;
je vnitřní pravidelné: pro všechny sady Borel A,

{displaystyle gamma ^ {n} (A) = sup {gamma ^ {n} (K) střední Ksubseteq A, K {ext {je kompaktní}}},}

takže Gaussova míra je a Radonová míra;

není překlad -neměnný, ale uspokojuje vztah

{displaystyle {frac {mathrm {d} (T_ {h}) _ {*} (gamma ^ {n})} {mathrm {d} gamma ^ {n}}} (x) = exp left (langle h, xangle _ {mathbb {R} ^ {n}} - {frac {1} {2}} | h | _ {mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} ight),}

Kde derivát na levé straně je Derivát Radon – Nikodym, a (T_h)_∗(yⁿ) je tlačit kupředu standardní Gaussovy míry podle překladové mapy T_h : Rⁿ → Rⁿ, T_h(X) = X + h;

je míra pravděpodobnosti spojená s a normální rozdělení pravděpodobnosti:

{displaystyle Zsim operatorname {Normal} (mu, sigma ^ {2}) implikuje mathbb {P} (Zin A) = gamma _ {mu, sigma ^ {2}} ^ {n} (A).}

Gaussovské míry na nekonečně rozměrných prostorech

To lze ukázat neexistuje analogie Lebesgueovy míry na nekonečně-dimenzionální vektorový prostor. Přesto je možné definovat Gaussovy míry na nekonečně prostorných prostorech, přičemž hlavním příkladem je abstraktní Wienerův prostor konstrukce. Opatření Borel y na oddělitelný Banachův prostor E se říká, že je nedegenerovaná (centrovaná) Gaussova míra pokud pro každého lineární funkční L ∈ E^∗ až na L = 0, tlačné opatření L_∗(y) je nedegenerovaná (centrovaná) Gaussova míra R ve smyslu definovaném výše.

Například, klasické Wienerovo opatření v prostoru kontinuální cesty je Gaussova míra.

Viz také

Besovské opatření, zobecnění Gaussovy míry
Cameron – Martinova věta