Komplexní reflexní skupina - Complex reflection group

v matematika, a komplexní reflexní skupina je konečná skupina působící na a konečně-dimenzionální komplex vektorový prostor který je generován komplexní odrazy: netriviální prvky, které opravují komplex nadrovina bodově.

Při studiu projektu vznikají složité reflexní skupiny invariantní teorie z polynomiální kroužky. V polovině 20. století byly zcela klasifikovány v dílech Shepharda a Todda. Zvláštní případy zahrnují symetrická skupina permutací, dihedrální skupiny a obecněji všechny konečné reálné reflexní skupiny (dále jen Skupiny coxeterů nebo Weylovy skupiny, včetně skupin symetrie pravidelný mnohostěn ).

Definice

(Složitá) reflexe r (někdy také nazývané pseudo reflexe nebo jednotný odraz) konečného trojrozměrného komplexního vektorového prostoru PROTI je prvek ${displaystyle rin GL (V)}$ konečného řádu, který fixuje složitou nadrovinu bodově, tj pevný prostor ${displaystyle operatorname {Fix} (r): = operatorname {ker} (r-operatorname {Id} _ {V})}$ má kodimenzionální 1.

A (konečný) komplexní reflexní skupina ${displaystyle Wsubseteq GL (V)}$ je konečná podskupina ${displaystyle GL (V)}$ který je generován odrazy.

Vlastnosti

Jakákoli skutečná reflexní skupina se stane komplexní reflexní skupinou, pokud z ní rozšiřujeme skaláry R na C. Zejména všechny Skupiny coxeterů nebo Weylovy skupiny uveďte příklady komplexních reflexních skupin.

Složitá reflexní skupina Ž je neredukovatelné pokud jediný Ž-invariant vlastní podprostor příslušného vektorového prostoru je počátek. V tomto případě se dimenze vektorového prostoru nazývá hodnost z Ž.

The Číslo coxeteru ${displaystyle h}$ neredukovatelné komplexní reflexní skupiny Ž hodnosti ${displaystyle n}$ je definován jako ${displaystyle h = {frac {| {mathcal {R}} | + | {mathcal {A}} |} {n}}}$ kde ${displaystyle {mathcal {R}}}$ označuje množinu odrazů a ${displaystyle {mathcal {A}}}$ označuje sadu odrážejících hyperplánů. V případě skutečných odrazových skupin se tato definice redukuje na obvyklou definici Coxeterova čísla pro konečné Coxeterovy systémy.

Klasifikace

Jakákoli komplexní reflexní skupina je produktem neredukovatelných komplexních reflexních skupin, které působí na součet odpovídajících vektorových prostorů.^[1] Stačí tedy klasifikovat neredukovatelné komplexní reflexní skupiny.

Neredukovatelné komplexní reflexní skupiny byly klasifikovány podle G. C. Shephard a J. A. Todd (1954 ). Dokázali, že každý neredukovatelný člověk patří do nekonečné rodiny G(m, p, n) v závislosti na 3 kladných celočíselných parametrech (s p dělení m) nebo byl jedním z 34 výjimečných případů, kterých bylo číslováno od 4 do 37.^[2] Skupina G(m, 1, n) je zobecněná symetrická skupina; ekvivalentně je to produkt věnce symetrické skupiny Sym (n) cyklickou skupinou objednávky m. Jako maticová skupina mohou být její prvky realizovány jako monomiální matice jejichž nenulové prvky jsou mth kořeny jednoty.

Skupina G(m, p, n) je index-p podskupina G(m, 1, n). G(m, p, n) je v pořádku mⁿn!/p. Jako matice to lze realizovat jako podmnožinu, ve které je produkt nenulových položek (m/p) th kořen jednoty (spíše než jen mth root). Algebraicky, G(m, p, n) je polopřímý produkt abelianské skupiny řádu mⁿ/p symetrickou skupinou Sym (n); prvky abelianské skupiny mají tvar (θ^A₁, θ^A₂, ..., θ^A_n), kde θ je primitivní mth kořen jednoty a ∑A_i ≡ 0 mod pa Sym (n) jedná permutací souřadnic.^[3]

Skupina G(m,p,n) jedná neredukovatelně Cⁿ kromě případů m = 1, n > 1 (symetrická skupina) a G(2, 2, 2) ( Kleinova čtyřčlenná skupina ). V těchto případech Cⁿ rozdělí se jako součet neredukovatelných reprezentací dimenzí 1 a n − 1.

Zvláštní případy G(m, p, n)

Skupiny coxeterů

Když m = 2, reprezentace popsaná v předchozí části se skládá z matic se skutečnými položkami, a tedy v těchto případech G(m,p,n) je konečná skupina Coxeter. Zejména:^[4]

G(1, 1, n) má typ A_n−1 = [3,3,...,3,3] = ...; symetrická skupina řádu n!
G(2, 1, n) má typ B_n = [3,3,...,3,4] = ...; the hyperoktaedrická skupina objednávky 2ⁿn!
G(2, 2, n) má typ D_n = [3,3,...,3^1,1] = ..., objednávka 2ⁿn!/2.

Kromě toho, když m = p a n = 2, skupina G(p, p, 2) je dihedrální skupina objednávky 2p; jako skupina Coxeter zadejte Já₂(p) = [p] = (a skupina Weyl G₂ když p = 6).

Další zvláštní případy a náhody

Jediné případy, kdy jsou dvě skupiny G(m, p, n) jsou izomorfní jako komplexní reflexní skupiny^{[je zapotřebí objasnění ]} to je G(ma, pa, 1) je izomorfní s G(mb, str, 1) pro všechna kladná celá čísla A, b (a oba jsou izomorfní s cyklická skupina řádu m/p). Existují však i další případy, kdy dvě takové skupiny jsou izomorfní jako abstraktní skupiny.

Skupiny G(3, 3, 2) a G(1, 1, 3) jsou izomorfní se symetrickou skupinou Sym (3). Skupiny G(2, 2, 3) a G(1, 1, 4) jsou izomorfní se symetrickou skupinou Sym (4). Oba G(2, 1, 2) a G(4, 4, 2) jsou izomorfní s dihedrální skupina řádu 8. A skupiny G(2p, p, 1) jsou cyklické řádu 2, jak jsou G(1, 1, 2).

Seznam neredukovatelných komplexních reflexních skupin

V prvních 3 řádcích tohoto seznamu je několik duplikátů; viz předchozí část pro podrobnosti.

SVATÝ je číslo Shephard – Todd skupiny reflexe.
Hodnost je rozměr komplexního vektorového prostoru, na který skupina působí.
Struktura popisuje strukturu skupiny. Symbol * znamená a ústředním produktem dvou skupin. Pro pozici 2 je podíl (cyklickým) středem skupina rotací čtyřstěnu, osmistěnu nebo dvacetistěnu (T = Alt (4), Ó = Sym (4), Já = Alt (5), objednávky 12, 24, 60), jak je uvedeno v tabulce. Pro zápis 2¹⁺⁴viz zvláštní skupina.
Objednat je počet prvků skupiny.
Úvahy popisuje počet odrazů: 2⁶4¹² znamená, že existuje 6 odrazů řádu 2 a 12 řádu 4.
Stupně udává stupně základních invariantů kruhu polynomiálních invariantů. Například invarianty skupiny číslo 4 tvoří polynomiální kruh se 2 generátory stupňů 4 a 6.

SVATÝ	Hodnost	Struktura a jména	Jména coxeterů	Objednat	Úvahy	Stupně	Kodexy
1	n−1	Symetrická skupina G(1,1,n) = Sym (n)		n!	2^{n(n − 1)/2}	2, 3, ...,n	0,1,...,n − 2
2	n	G(m,p,n) m > 1, n > 1, p\|m (G(2,2,2) je redukovatelný)		mⁿn!/p	2^mn(n−1)/2,d^{nφ (d)} (d\|m/p, d > 1)	m,2m,..,(n − 1)m; mn/p	0,m,..., (n − 1)m -li p < m; 0,m,...,(n − 2)m, (n − 1)m − n -li p = m
2	2	G(p,1,2) p > 1,	p [4] 2 nebo	2p²	2^p,d^{2φ (d)} (d\|p, d > 1)	p; 2 s	0,p
2	2	Vzepětí skupina G(p,p,2) p > 2	[p] nebo	2p	2^p	2,p	0,p-2
3	1	Cyklická skupina G(p,1,1) = Z_p	[p]⁺ nebo	p	d^{φ (d)} (d\|p, d > 1)	p	0
4	2	W (L.₂), Z₂.T	3 [3] 3 nebo , ⟨2,3,3⟩	24	3⁸	4,6	0,2
5	2	Z₆.T	3 [4] 3 nebo	72	3¹⁶	6,12	0,6
6	2	Z₄.T	3 [6] 2 nebo	48	2⁶3⁸	4,12	0,8
7	2	Z₁₂.T	‹3,3,3›₂ nebo ⟨2,3,3⟩₆	144	2⁶3¹⁶	12,12	0,12
8	2	Z₄.Ó	4 [3] 4 nebo	96	2⁶4¹²	8,12	0,4
9	2	Z₈.Ó	4 [6] 2 nebo nebo ⟨2,3,4⟩₄	192	2¹⁸4¹²	8,24	0,16
10	2	Z₁₂.Ó	4 [4] 3 nebo	288	2⁶3¹⁶4¹²	12,24	0,12
11	2	Z₂₄.Ó	⟨2,3,4⟩₁₂	576	2¹⁸3¹⁶4¹²	24,24	0,24
12	2	Z₂.Ó= GL₂(F₃)	⟨2,3,4⟩	48	2¹²	6,8	0,10
13	2	Z₄.Ó	⟨2,3,4⟩₂	96	2¹⁸	8,12	0,16
14	2	Z₆.Ó	3 [8] 2 nebo	144	2¹²3¹⁶	6,24	0,18
15	2	Z₁₂.Ó	⟨2,3,4⟩₆	288	2¹⁸3¹⁶	12,24	0,24
16	2	Z₁₀.Já, ⟨2,3,5⟩ ×Z₅	5 [3] 5 nebo	600	5⁴⁸	20,30	0,10
17	2	Z₂₀.Já	5 [6] 2 nebo	1200	2³⁰5⁴⁸	20,60	0,40
18	2	Z₃₀.Já	5 [4] 3 nebo	1800	3⁴⁰5⁴⁸	30,60	0,30
19	2	Z₆₀.Já	⟨2,3,5⟩₃₀	3600	2³⁰3⁴⁰5⁴⁸	60,60	0,60
20	2	Z₆.Já	3 [5] 3 nebo	360	3⁴⁰	12,30	0,18
21	2	Z₁₂.Já	3 [10] 2 nebo	720	2³⁰3⁴⁰	12,60	0,48
22	2	Z₄.Já	⟨2,3,5⟩₂	240	2³⁰	12,20	0,28
23	3	W (v₃) = Z₂ × PSL₂(5)	[5,3],	120	2¹⁵	2,6,10	0,4,8
24	3	W (J.₃(4)) = Z₂ × PSL₂(7), Klein	[1 1 1⁴]⁴,	336	2²¹	4,6,14	0,8,10
25	3	W (L.₃) = W (str₃) = 3¹⁺².SL₂(3) Hesián	3[3]3[3]3,	648	3²⁴	6,9,12	0,3,6
26	3	W (M₃) =Z₂ ×3¹⁺².SL₂(3) Hesián	2[4]3[3]3,	1296	2⁹ 3²⁴	6,12,18	0,6,12
27	3	W (J.₃(5)) = Z₂ ×(Z₃Alt (6)), Valentiner	[1 1 1⁵]⁴, [1 1 1⁴]⁵,	2160	2⁴⁵	6,12,30	0,18,24
28	4	W (Ž₄) = (SL₂(3) * SL₂(3)).(Z₂ × Z₂)	[3,4,3],	1152	2¹²⁺¹²	2,6,8,12	0,4,6,10
29	4	W (č₄) = (Z₄*2^{1 + 4}). Sym (5)	[1 1 2]⁴,	7680	2⁴⁰	4,8,12,20	0,8,12,16
30	4	W (v₄) = (SL₂(5) * SL₂(5)).Z₂	[5,3,3],	14400	2⁶⁰	2,12,20,30	0,10,18,28
31	4	W (EN₄) = W (O.₄) = (Z₄*2^{1 + 4}). Sp₄(2)		46080	2⁶⁰	8,12,20,24	0,12,16,28
32	4	W (L.₄) = Z₃ × Sp₄(3)	3[3]3[3]3[3]3,	155520	3⁸⁰	12,18,24,30	0,6,12,18
33	5	W (K.₅) = Z₂ × Ω₅(3) = Z₂ × PSp₄(3)= Z₂ × napájecí zdroj₄(2)	[1 2 2]³,	51840	2⁴⁵	4,6,10,12,18	0,6,8,12,14
34	6	W (K.₆)= Z₃.Ω⁻ ₆(3).Z₂, Mitchellova skupina	[1 2 3]³,	39191040	2¹²⁶	6,12,18,24,30,42	0,12,18,24,30,36
35	6	MY₆) = SO₅(3) = O.⁻ ₆(2) = PSp₄(3).Z₂ = PSU₄(2).Z₂	[3^2,2,1],	51840	2³⁶	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	MY₇) = Z₂ × Sp₆(2)	[3^3,2,1],	2903040	2⁶³	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	8	MY₈)= Z₂.Ó⁺ ₈(2)	[3^4,2,1],	696729600	2¹²⁰	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

Další informace, včetně diagramů, prezentací a kodexů komplexních reflexních skupin, najdete v tabulkách v (Michel Broué, Gunter Malle & Raphaël Rouquier1998 ).

Stupně

Shephard a Todd dokázali, že konečná skupina působící na složitý vektorový prostor je komplexní reflexní skupinou právě tehdy, pokud je jejím prstenem invariants polynomický prsten (Chevalley – Shephard – Toddova věta ). Pro ${displaystyle ell}$ být hodnost reflexní skupiny, stupně ${displaystyle d_ {1} leq d_ {2} leq ldots leq d_ {ell}}$ generátorů prstenu invarianty se volá stupně W a jsou uvedeny ve sloupci nad záhlavím „stupňů“. Rovněž ukázali, že mnoho dalších invariantů skupiny je určeno následujícími stupni:

Střed neredukovatelné odrazové skupiny je cyklický řádu rovného největšímu společnému děliteli stupňů.
Pořadí komplexní reflexní skupiny je součinem jejích stupňů.
Počet odrazů je součtem stupňů minus hodnost.
Neredukovatelná komplexní reflexní skupina pochází ze skutečné reflexní skupiny právě tehdy, má-li invariant stupně 2.
Stupně d_i uspokojit vzorec ${displaystyle prod _ {i = 1} ^ {ell} (q + d_ {i} -1) = součet _ {win W} q ^ {dim (V ^ {w})}.}$

Kodexy

Pro ${displaystyle ell}$ být hodnost reflexní skupiny, kodexy ${displaystyle d_ {1} ^ {*} geq d_ {2} ^ {*} geq ldots geq d_ {ell} ^ {*}}$ W lze definovat pomocí ${displaystyle prod _ {i = 1} ^ {ell} (q-d_ {i} ^ {*} - 1) = součet _ {win W} det (w) q ^ {dim (V ^ {w})} .}$

Pro skutečnou reflexní skupinu jsou kódové řády stupně minus 2.
Počet reflexních hyperplánů je součtem kódových řádků plus hodnosti.

Dobře generované komplexní reflexní skupiny

Podle definice je každá komplexní reflexní skupina generována svými odrazy. Sada odrazů není minimální generující množina a každá neredukovatelná komplexní reflexní skupina má hodnost $n$ má minimální generující sadu skládající se z obou $n$ nebo $n + 1$ odrazy. V prvním případě se o skupině říká, že je dobře vygenerovaný.

Vlastnost dobře generovaného je ekvivalentní podmínce ${displaystyle d_ {i} + d_ {i} ^ {*} = d_ {ell}}$ pro všechny ${displaystyle 1leq ileq ell}$ . Například lze číst z klasifikace skupiny $G (m, p, n)$ je dobře vygenerovaný právě tehdy p = 1 nebo m.

U neredukovatelných dobře generovaných komplexních reflexních skupin platí Číslo coxeteru $h$ výše definované se rovná největšímu stupni, ${displaystyle h = d_ {ell}}$ . O redukovatelné komplexní reflexní skupině se říká, že je dobře generována, pokud je produktem neredukovatelných dobře generovaných komplexních reflexních skupin. Každá konečná skupina skutečných odrazů je dobře vygenerována.

Shephardovy skupiny

Dobře generované komplexní reflexní skupiny zahrnují podmnožinu nazvanou Shephardovy skupiny. Tyto skupiny jsou skupinami symetrie pravidelné složité polytopy. Zejména zahrnují skupiny symetrie pravidelných reálných mnohostěnů. Shephardovy skupiny lze charakterizovat jako složité reflexní skupiny, které připouštějí „coxeterovskou“ prezentaci s lineárním diagramem. To znamená, že skupina Shephard má přidružená pozitivní celá čísla $p 1, \dots, p n$ a $q 1, \dots, q n - 1$ taková, že existuje generující množina $s 1, \dots, s n$ uspokojení vztahů

{displaystyle (s_ {i}) ^ {p_ {i}} = 1}

pro

i = 1, \dots, n

,

{displaystyle s_ {i} s_ {j} = s_ {j} s_ {i}}

-li

{displaystyle | i-j |> 1}

,

a

{displaystyle s_ {i} s_ {i + 1} s_ {i} s_ {i + 1} cdots = s_ {i + 1} s_ {i} s_ {i + 1} s_ {i} cdots}

kde mají výrobky na obou stranách

q i

podmínky, pro

i = 1, \dots, n - 1

.

Tyto informace se někdy shromažďují v symbolu typu Coxeter $p 1 [q 1] p 2 [q 2] \dots [q n - 1] p n$ , jak je vidět v tabulce výše.

Mezi skupinami v nekonečné rodině $G (m, p, n)$ , Shephardovy skupiny jsou ty, ve kterých $p = 1$ . Existuje také 18 výjimečných skupin Shephardů, z nichž tři jsou skutečné.^[5]^[6]

Cartanové matice

Prodloužený Kartanová matice definuje skupinu Unitary. Shephardovy skupiny hodnosti n skupina má n generátory.

Obyčejné kartanovy matice mají diagonální prvky 2, zatímco jednotné odrazy toto omezení nemají.^[7]

Například skupina s hodnocením 1, p [], , je definována maticí 1 × 1 [1- ${displaystyle e ^ {2pi i / p}}$ ].

Dané: ${displaystyle zeta _ {p} = e ^ {2pi i / p}, omega zeta _ {3} = e ^ {2pi i / 3} = {frac {1} {2}} (- 1 + i {sqrt { 3}}), zeta _ {4} = e ^ {2pi i / 4} = i, zeta _ {5} = e ^ {2pi i / 5} = {frac {1} {4}} (vlevo ({ sqrt {5}} - 1ight) + i {sqrt {2 (5+ {sqrt {5}})}})), au = {frac {1+ {sqrt {5}}} {2}}, lambda = { frac {1 + i {sqrt {7}}} {2}}, omega = {frac {-1 + i {sqrt {3}}} {2}}}$ .

1. místo
Skupina		Cartan	Skupina		Cartan
2[]		${displaystyle left [{egin {matrix} 2end {matrix}} right]}$	3[]		${displaystyle left [{egin {matrix} 1-omega end {matrix}} ight]}$
4[]		${displaystyle left [{egin {matrix} 1-iend {matrix}} right]}$	5[]		${displaystyle left [{egin {matrix} 1-zeta _ {5} end {matrix}} ight]}$

2. místo
Skupina		Cartan	Skupina		Cartan
G₄	3[3]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 -omega & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$	G₅	3[4]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 -2omega & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$
G₆	2[6]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 1 1-omega + iomega ^ {2} & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$	G₈	4[3]4	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-i & 1 -i & 1-iend {smallmatrix}} ight]}$
G₉	2[6]4	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 1 (1+ {sqrt {2}}) zeta _ {8} & 1 + iend {smallmatrix}} ight]}$	G₁₀	3[4]4	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 -i-omega & 1-iend {smallmatrix}} ight]}$
G₁₄	3[8]2	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 1-omega + omega ^ {2} {sqrt {2}} & 2end {smallmatrix}} ight]}$	G₁₆	5[3]5	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-zeta _ {5} & 1 -zeta _ {5} & 1-zeta _ {5} end {smallmatrix}} ight]}$
G₁₇	2[6]5	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 1 1-zeta _ {5} -izeta ^ {3} & 1-zeta _ {5} end {smallmatrix}} ight]}$	G₁₈	3[4]5	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 -omega -zeta _ {5} & 1-zeta _ {5} end {smallmatrix}} ight]}$
G₂₀	3[5]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 omega (au -2) & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$	G₂₁	2[10]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 1 1-omega -iomega ^ {2} au & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$

3. místo
Skupina		Cartan	Skupina		Cartan
G₂₂	<5,3,2>₂	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & au + i-1 & -i + 1 - au -i-1 & 2 & i i-1 & -i & 2end {smallmatrix}} right]}$	G₂₃	[5,3]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - au & 0 - au & 2 & -1 0 & -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$
G₂₄	[1 1 1⁴]⁴	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & -lambda -1 & 2 & -1 1 + lambda & -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	G₂₅	3[3]3[3]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & omega ^ {2} & 0 -omega ^ {2} & 1-omega & -omega ^ {2} 0 & omega ^ {2} & 1-omega end {smallmatrix}} hned ]}$
G₂₆	3[3]3[4]2	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & -omega ^ {2} & 0 omega ^ {2} & 1-omega & -1 0 & -1 + omega & 2end {smallmatrix}} vpravo]}$	G₂₇	[1 1 1⁵]⁴	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - au & -omega - au & 2 & -omega ^ {2} - omega ^ {2} & omega & 2end {smallmatrix}} ight]}$

4. místo
Skupina			Cartan	Skupina			Cartan
G₂₈	[3,4,3]		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & -2 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	G₂₉	[1 1 2]⁴		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & i + 1 & 0 -1 & 2 & -i & 0 -i + 1 & i & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2end {smallmatrix}} v noci]}$
G₃₀	[5,3,3]		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - au & 0 & 0 - au & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2end {smallmatrix}} right]}$	G₃₂	3[3]3[3]3		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & omega ^ {2} & 0 & 0 -omega ^ {2} & 1-omega & -omega ^ {2} & 0 0 & omega ^ {2} & 1-omega & omega ^ {2} 0 & 0 & -omega ^ {2} & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$

5. místo
Skupina			Cartan	Skupina			Cartan
G₃₁	Ó₄		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & i + 1 & 0 & -i + 1 -1 & 2 & -i & 0 & 0 -i + 1 & i & 2 & -1 & -i + 1 0 & 0 & -1 & 2 -1 i + 1 & 0 & i + 1 & -1 & 2end {smallmatrix }} hned]}$	G₃₃	[1 2 2]³		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -omega & 0 0 & -1 & -omega ^ {2} & 2 & -omega ^ {2} 0 & 0 & 0 & -omega & 2end {smallmatrix }} hned]}$

Reference

^ Lehrer a Taylor, Věta 1.27.
^ Lehrer a Taylor, str. 271.
^ Lehrer a Taylor, oddíl 2.2.
^ Lehrer a Taylor, příklad 2.11.
^ Peter Orlik, Victor Reiner, Anne V. Shepler. Znamení reprezentace pro skupiny Shephard. Mathematische Annalen. Březen 2002, svazek 322, vydání 3, str. 477–492. DOI: 10,1007 / s002080200001 [1]
^ Coxeter, H. S. M.; Pravidelné složité polytopy, Cambridge University Press, 1974.
^ Unitary Reflection Groups, str. 91-93

Broué, Michel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995), „O komplexních reflexních skupinách a jejich přidružených copáncích“, Zastoupení skupin (Banff, AB, 1994) (PDF), CMS konf. Proc., 16„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, s. 1–13, PAN 1357192
Broué, Michel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1998), „Komplexní reflexní skupiny, copánky, Hecke algebry“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 500: 127–190, CiteSeerX 10.1.1.128.2907, doi:10.1515 / crll.1998.064, ISSN 0075-4102, PAN 1637497
Deligne, Pierre (1972), „Les immeubles des groupes de tresses généralisés“, Inventiones Mathematicae, 17 (4): 273–302, Bibcode:1972InMat..17..273D, doi:10.1007 / BF01406236, ISSN 0020-9910, PAN 0422673
Hiller, Howard Geometrie Coxeterových skupin. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv + 213 pp.ISBN 0-273-08517-4*
Lehrer, Gustav I .; Taylor, Donald E. (2009), Jednotné reflexní skupinySérie přednášek australské matematické společnosti, 20, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-74989-3, PAN 2542964
Shephard, G. C .; Todd, J. A. (1954), „Konečné jednotné reflexní skupiny“, Kanadský žurnál matematikyKanadská matematická společnost, 6: 274–304, doi:10.4153 / CJM-1954-028-3, ISSN 0008-414X, PAN 0059914
Coxeter, Konečné skupiny generované jednotnými odrazy, 1966, 4. Grafická notace„Tabulka n-dimenzionálních skupin generovaných n Unitary Reflections. 422–423

externí odkazy

Systém výpočetní algebry MAGMA strana

[1] Lehrer a Taylor, Věta 1.27.

[2] Lehrer a Taylor, str. 271.

[3] Lehrer a Taylor, oddíl 2.2.

[4] Lehrer a Taylor, příklad 2.11.

[5] Peter Orlik, Victor Reiner, Anne V. Shepler. Znamení reprezentace pro skupiny Shephard. Mathematische Annalen. Březen 2002, svazek 322, vydání 3, str. 477–492. DOI: 10,1007 / s002080200001 [1]

[6] Coxeter, H. S. M.; Pravidelné složité polytopy, Cambridge University Press, 1974.

[7] Unitary Reflection Groups, str. 91-93

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]