Ultraparalelní věta - Ultraparallel theorem

Model disku Poincaré: Růžová čára je ultraparalelní s modrou čarou a zelené čáry omezují rovnoběžně s modrou čarou.

v hyperbolická geometrie, mohou se protínat dvě čáry ultraparalelnínebo být omezující paralelně.

V konformních modelech hyperbolická rovina, jako jsou modely Poincaré, správné úhly mohou být rozpoznány mezi protínajícími se čarami. V takových modelech je ultraparalelní věta uvádí, že každá dvojice ultraparalelních linek má jedinečné společné kolmý hyperbolická čára.

Hilbertova konstrukce

Nechť r a s jsou dvě ultraparalelní čáry.

Z libovolných dvou odlišných bodů A a C nakreslíme AB a CB 'kolmo na r s B a B' na r.

Pokud se stane, že AB = CB ', pak se požadovaná společná kolmice spojí se středy AC a BB' (symetrií Saccheri čtyřúhelník ACB'B).

Pokud ne, můžeme předpokládat AB

Pak D '≠ D. Jsou ve stejné vzdálenosti od r a oba leží na s. Kolmá osa D'D (segment s) je tedy také kolmá na r.^[1]

(Pokud by r a s byly asymptoticky paralelní spíše než ultraparalelní, tato konstrukce by selhala, protože s 'by se nesetkaly s. Spíše s' by byly asymptoticky paralelní s s aj r.)

Důkaz modelu Poincaré s polorovinou

Nechat

${ displaystyle a$

být čtyři odlišné body na úsečka z Kartézské letadlo. Nechat ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ být půlkruhy nad úsečkou s průměry ${ displaystyle ab}$ a ${ displaystyle cd}$ resp. Pak v Poincarého polorovinový model HP, ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ představují ultraparalelní čáry.

Vytvořte následující dva hyperbolické pohyby:

${ displaystyle x až x-a}$

${ displaystyle { mbox {inverze v půlkruhu jednotky.}}}$

Pak ${ displaystyle a to infty, quad b to (ba) ^ {- 1}, quad c to (ca) ^ {- 1}, quad d to (da) ^ {- 1} .}$

Nyní pokračujte těmito dvěma hyperbolickými pohyby:

${ displaystyle x až x- (b-a) ^ {- 1}}$

${ displaystyle x to left [(c-a) ^ {- 1} - (b-a) ^ {- 1} right] ^ {- 1} x}$

Pak ${ displaystyle a}$ zůstane na ${ displaystyle infty}$, ${ displaystyle b až 0}$, ${ displaystyle c až 1}$, ${ displaystyle d to z}$ (říci). Unikátní půlkruh se středem v počátku, kolmým k jednomu na ${ displaystyle 1z}$ musí mít poloměr tečny k poloměru druhé. Pravý trojúhelník tvořený úsečkou a kolmými poloměry má přeponu délky ${ displaystyle { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} (z + 1)}$. Od té doby ${ displaystyle { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} (z-1)}$ je poloměr půlkruhu na ${ displaystyle 1z}$, obyčejná hledaná kolmá má poloměr čtverce

${ displaystyle { frac {1} {4}} vlevo [(z + 1) ^ {2} - (z-1) ^ {2} vpravo] = z.}$

Čtyři hyperbolické pohyby, které vznikly ${ displaystyle z}$ výše může být každý obrácen a aplikován v obráceném pořadí na půlkruh se středem na počátku a poloměru ${ displaystyle { sqrt {z}}}$ k získání jedinečné hyperbolické čáry kolmé na obě ultraparalely ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$.

Důkaz v modelu Beltrami-Klein

V Model Beltrami-Klein hyperbolické geometrie:

• dvě ultraparalelní čáry odpovídají dvěma neprotínajícím se akordy.
• The póly z těchto dvou linií jsou příslušné křižovatky tečny na hranici kruh v koncových bodech akordů.
• Čáry kolmý do řádku l jsou modelovány akordy, jejichž prodloužení prochází pólem l.
• Proto nakreslíme jedinečnou čáru mezi póly dvou daných čar a protneme ji hraniční kružnicí; akord průniku bude požadovanou společnou kolmicí ultraparalelních linií.

Pokud je jedním z akordů průměr, nemáme pól, ale v tomto případě jakýkoli akord kolmý k průměru je také kolmý v modelu Beltrami-Klein, a tak nakreslíme čáru skrz pól další přímka protínající průměr v pravých úhlech pro získání společné kolmice.

Důkaz je dokončen ukázkou, že tato konstrukce je vždy možná:

• Jsou-li oba akordy průměry, protínají se. (Ve středu hraniční kružnice)
• Pokud je průměrem pouze jeden z akordů, druhý akord vyčnívá kolmo dolů do části prvního akordu obsaženého v jeho vnitřku a přímka od pólu kolmého k průměru protíná jak průměr, tak akord.
• Pokud obě čáry nejsou průměry, můžeme rozšířit tečny nakreslené z každého pólu a vytvořit a čtyřúhelník s kruhem jednotky vepsaným do něj.^{[jak? ]} Póly jsou protilehlé vrcholy tohoto čtyřúhelníku a akordy jsou čáry nakreslené mezi sousedními stranami vrcholu přes protilehlé rohy. Protože čtyřúhelník je konvexní,^{[proč? ]} čára mezi póly protíná oba akordy nakreslené přes rohy a segment čáry mezi akordy definuje požadovaný akord kolmý na dva další akordy.

Alternativně můžeme zkonstruovat společnou kolmici ultraparalelních linií následovně: ultraparalelní linie v modelu Beltrami-Klein jsou dva neprotínající se akordy. Ve skutečnosti se ale protínají mimo kruh. Polár protínajícího se bodu je požadovaná společná kolmice.^[2]

Reference

• Karol Borsuk & Wanda Szmielew (1960) Základy geometrie, strana 291.