Složitý mnohostěn - Complex polytope
v geometrie, a složitý mnohostěn je zobecnění a polytop v skutečný prostor na analogickou strukturu v a komplex Hilbertův prostor, kde je každá skutečná dimenze doprovázena imaginární jeden.
Složitý mnohostěn lze chápat jako soubor složitých bodů, linií, rovin atd., Kde každý bod je spojnicí více linií, každé linie více rovin atd.
Přesné definice existují pouze pro pravidelné složité polytopy, což jsou konfigurace. Pravidelné složité polytopy byly zcela charakterizovány a lze je popsat pomocí symbolické notace vyvinuté uživatelem Coxeter.
Byly také popsány některé složité polytopy, které nejsou zcela pravidelné.
Definice a úvod
The komplexní linka má jednu dimenzi s nemovitý souřadnice a další s imaginární souřadnice. Použitím skutečných souřadnic na obě dimenze se říká, že jí dáte dvě dimenze nad skutečnými čísly. Skutečná rovina s imaginární osou takto označenou se nazývá Argandův diagram. Z tohoto důvodu se někdy nazývá složitá rovina. Komplexní 2-prostor (někdy také nazývaný komplexní rovina) je tedy čtyřrozměrný prostor nad reálemi atd. Ve vyšších dimenzích.
Komplex n-polytop v komplexu n-prostor je obdobou skutečného n-polytop ve skutečnosti n-prostor.
Neexistuje žádný přirozený komplexní analogie uspořádání bodů na reálné linii (nebo přidružených kombinatorických vlastností). Z tohoto důvodu nelze složitý polytop považovat za souvislou plochu a neváže interiér tak, jak to dělá skutečný polytop.
V případě pravidelný polytopes, lze přesnou definici provést pomocí pojmu symetrie. Pro všechny běžný mnohostěn skupina symetrie (zde a komplexní reflexní skupina, nazvaný a Shephardova skupina ) působí přechodně na vlajky, tj. na vnořených sekvencích bodu obsaženého v přímce obsažené v rovině atd.
Plněji řečeno, že kolekce P afinních podprostorů (nebo byty) komplexu jednotný prostor PROTI dimenze n je pravidelný komplexní polytop, pokud splňuje následující podmínky:[1][2]
- pro každého −1 ≤ i < j < k ≤ n, pokud F je byt v P dimenze i a H je byt v P dimenze k takhle F ⊂ H pak jsou nejméně dva byty G v P dimenze j takhle F ⊂ G ⊂ H;
- pro každého i, j takhle −1 ≤ i < j − 2, j ≤ n, pokud F ⊂ G jsou byty P rozměrů i, j, pak sada bytů mezi F a G je spojen v tom smyslu, že se lze dostat z kteréhokoli člena této sady k jakémukoli jinému posloupností zadržení; a
- podmnožina unitárních transformací PROTI ta oprava P jsou tranzitivní na vlajky F0 ⊂ F1 ⊂ … ⊂Fn bytů P (s Fi dimenze i pro všechny i).
(Tady je rovina dimenze −1 chápána jako prázdná množina.) Pravidelné složité polytopy jsou tedy podle definice konfigurace ve složitém jednotném prostoru.
The pravidelné složité polytopy byly objeveny uživatelem Shephard (1952) a teorii dále rozvinul Coxeter (1974).
Tento složitý mnohoúhelník má 8 hran (složitých čar), označených jako A..ha 16 vrcholů. Čtyři vrcholy leží v každém okraji a dva okraje se protínají v každém vrcholu. Na levém obrázku nejsou obrysové čtverce prvky polytopu, ale jsou zahrnuty pouze proto, aby pomohly identifikovat vrcholy ležící ve stejné komplexní linii. Osmiboký obvod levého obrázku není prvkem mnohostěnu, ale je to Petrie polygon.[3] Na prostředním obrázku je každá hrana představována jako skutečná čára a čtyři vrcholy v každé linii jsou jasněji vidět. | Perspektivní skica představující 16 vrcholných bodů jako velké černé tečky a 8 4-hran jako ohraničené čtverce uvnitř každé hrany. Zelená cesta představuje osmiboký obvod obrazu levé ruky. |
Ve složitém prostoru ekvivalentní dimenze existuje složitý mnohostěn. Například vrcholy a složitý mnohoúhelník jsou body v komplexní rovině a hrany jsou složité čáry existující jako (afinní) podprostory roviny a protínající se na vrcholech. Okraji lze tedy dát souřadný systém skládající se z jediného komplexního čísla.[je zapotřebí objasnění ]
V pravidelném komplexním mnohostěnu jsou vrcholy dopadající na okraj uspořádány symetricky kolem jejich těžiště, který se často používá jako počátek souřadného systému hrany (ve skutečném případě je těžiště pouze středem hrany). Symetrie vychází z a komplexní reflexe o těžišti; tato reflexe opustí velikost jakéhokoli vrcholu beze změny, ale změňte jeho argument o pevnou částku a posunout ji na souřadnice dalšího vrcholu v pořadí. Můžeme tedy předpokládat (po vhodné volbě měřítka), že vrcholy na okraji splňují rovnici kde str je počet dopadajících vrcholů. V Argandově diagramu hrany tedy vrcholové body leží na vrcholech a pravidelný mnohoúhelník zaměřena na původ.
Tři skutečné projekce pravidelného komplexního polygonu 4 {4} 2 jsou zobrazeny výše s hranami a, b, c, d, e, f, g, h. Má 16 vrcholů, které kvůli jasnosti nebyly jednotlivě označeny. Každá hrana má čtyři vrcholy a každý vrchol leží na dvou hranách, proto se každá hrana setkává se čtyřmi dalšími hranami. V prvním diagramu je každá hrana reprezentována čtvercem. Boky čtverce jsou ne části mnohoúhelníku, ale jsou nakresleny čistě, aby pomohly vizuálně spojit čtyři vrcholy. Okraje jsou rozmístěny symetricky. (Všimněte si, že diagram vypadá podobně jako B4 Projekce coxeterové roviny z tesseract, ale je to strukturálně odlišné).
Střední diagram opouští osmibokou symetrii ve prospěch jasnosti. Každá hrana je zobrazena jako skutečná čára a každý bod setkání dvou čar je vrchol. Spojení mezi různými hranami je jasně vidět.
Poslední diagram dává chuť struktuře promítnuté do tří dimenzí: dvě kostky vrcholů jsou ve skutečnosti stejné velikosti, ale jsou vidět v perspektivě v různých vzdálenostech ve čtvrté dimenzi.
Pravidelné komplexní jednorozměrné polytopy
Skutečný 1-rozměrný polytop existuje jako uzavřený segment ve skutečné linii , definovaný dvěma koncovými body nebo vrcholy v linii. Své Schläfliho symbol je {} .
Analogicky existuje komplexní 1-polytop jako sada str vrcholové body v komplexní linii . Ty mohou být reprezentovány jako sada bodů v Argandův diagram (X,y)=X+iy. A pravidelný komplexní 1-rozměrný polytop str{} má str (str ≥ 2) vrcholové body uspořádané tak, aby vytvořily konvexní pravidelný mnohoúhelník {str} v rovině Argand.[4]
Na rozdíl od bodů na reálné linii nemají body na komplexní linii přirozené řazení. Na rozdíl od skutečných polytopů tedy nelze definovat žádný interiér.[5] Navzdory tomu jsou složité 1-polytopy často kresleny, jako zde, jako ohraničený pravidelný polygon v Argandově rovině.
A pravidelný skutečný 1-rozměrný polytop je reprezentován prázdným Schläfliho symbol {} nebo Coxeter-Dynkinův diagram . Tečka nebo uzel samotného Coxeter-Dynkinova diagramu představuje generátor odrazu, zatímco kruh kolem uzlu znamená, že bod generátoru není na odrazu, takže jeho reflexní obraz je zřetelným bodem od sebe samého. Rozšířením, pravidelný komplexní 1-dimenzionální polytop má Coxeter-Dynkinův diagram , pro jakékoli kladné celé číslo str, 2 nebo vyšší, obsahující str vrcholy. str lze potlačit, pokud je 2. Může být také reprezentován prázdnou Schläfliho symbol str{}, }str{, {}strnebo str{2}1. 1 je zástupný symbol notace představující neexistující odraz nebo generátor identity období 1. (Polytop 0, skutečný nebo komplexní je bod a je reprezentován jako} {, nebo 1{2}1.)
Symetrie je označena Coxeterův diagram , a lze jej alternativně popsat v Coxeterova notace tak jako str[], []str nebo]str[, str[2]1 nebo str[1]str. Symetrie je isomorfní k cyklická skupina, objednat str.[6] Podskupiny str[] jsou všichni dělitelé d, d[], kde d≥2.
A nečleněný operátor generátor pro je viděn jako rotace o 2π /str radiány proti směru hodinových ručiček a hrana je vytvořena sekvenčními aplikacemi jednoho jednotného odrazu. Jednotkový generátor odrazu pro 1-polytop s str vrcholy je E2πi/str = cos (2π /str) + i hřích (2π /str). Když str = 2, generátor je Eπi = –1, stejné jako a bodový odraz ve skutečné rovině.
Ve složitějších polytopech se tvoří 1-polytopy str-hrany. 2-hrana je podobná obyčejné reálné hraně v tom, že obsahuje dva vrcholy, ale nemusí existovat na skutečné linii.
Pravidelné složité polygony
Zatímco 1-polytopes může mít neomezené str, konečné pravidelné komplexní polygony, s výjimkou polygonů s dvojitým hranolem str{4}2, jsou omezeny na prvky s 5 hranami (pětiúhelníkové hrany) a nekonečné pravidelné apeirogony také obsahují prvky se 6 hranami (šestiúhelníkové hrany).
Zápisy
Shephardova upravená Schläfliho notace
Shephard původně vymyslel upravenou formu Schläfliho zápis pro běžné polytopy. Pro mnohoúhelník ohraničený str1-hrany, s a str2-nastaví se jako vrcholová figura a celková skupina symetrie řádu G, označujeme mnohoúhelník jako str1(G)str2.
Počet vrcholů PROTI je tedy G/str2 a počet hran E je G/str1.
Složitý polygon znázorněný výše má osm hranatých hran (str1= 4) a šestnáct vrcholů (str2= 2). Z toho můžeme zjistit, že G = 32, což dává upravený Schläfliho symbol 4 (32) 2.
Coxeterova revidovaná upravená Schläfliho notace
Modernější notace str1{q}str2 je to kvůli Coxeter,[7] a je založen na teorii skupin. Jako skupina symetrie je její symbol str1[q]str2.
Skupina symetrie str1[q]str2 je reprezentován 2 generátory R1, R.2, kde: R1str1 = R.2str2 = I. Pokud q je sudé, (R.2R1)q/2 = (R.1R2)q/2. Li q je liché, (R.2R1)(q-1) / 2R2 = (R.1R2)(q-1)/2R1. Když q je zvláštní, str1=str2.
Pro 4[4]2 má R.14 = R.22 = Já, (R.2R1)2 = (R.1R2)2.
Pro 3[5]3 má R.13 = R.23 = Já, (R.2R1)2R2 = (R.1R2)2R1.
Coxeter-Dynkinovy diagramy
Coxeter také zobecnil použití Coxeter-Dynkinovy diagramy do komplexních polytopů, například do komplexního polygonu str{q}r je reprezentován a ekvivalentní skupina symetrie, str[q]r, je kruhový diagram . Uzly str a r představují zrcadla produkující str a r obrázky v letadle. Neoznačené uzly v diagramu mají implicitní 2 štítky. Například skutečný pravidelný mnohoúhelník je 2{q}2 nebo {q} nebo .
Jedno omezení, uzly spojené lichými větvovými příkazy musí mít identické pořadí uzlů. Pokud tak neučiní, vytvoří skupina „hvězdné“ polygony s překrývajícími se prvky. Tak a jsou obyčejné je hvězdná.
12 Neredukovatelných Shephardových skupin
Coxeter vyjmenoval tento seznam pravidelných komplexních polygonů v . Pravidelný složitý mnohoúhelník, str{q}r nebo , má str- hrany a r-gonal vrcholové postavy. str{q}r je konečný mnohostěn, pokud (str+r)q>pr(q-2).
Jeho symetrie je psána jako str[q]r, nazvaný a Shephardova skupina, analogický k a Skupina coxeterů, a zároveň umožňuje jednotné odrazy.
U nehvězdných skupin pořadí skupiny str[q]r lze vypočítat jako .[9]
The Číslo coxeteru pro str[q]r je , takže skupinové pořadí lze také vypočítat jako . Pravidelný složitý mnohoúhelník lze nakreslit v ortogonální projekci pomocí h-gonal symetry.
Řadová řešení 2, která generují složité polygony, jsou:
Skupina | G3= G (q,1,1) | G2= G (str,1,2) | G4 | G6 | G5 | G8 | G14 | G9 | G10 | G20 | G16 | G21 | G17 | G18 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2[q]2, q=3,4... | str[4]2, str=2,3... | 3[3]3 | 3[6]2 | 3[4]3 | 4[3]4 | 3[8]2 | 4[6]2 | 4[4]3 | 3[5]3 | 5[3]5 | 3[10]2 | 5[6]2 | 5[4]3 | |
Objednat | 2q | 2str2 | 24 | 48 | 72 | 96 | 144 | 192 | 288 | 360 | 600 | 720 | 1200 | 1800 |
h | q | 2str | 6 | 12 | 24 | 30 | 60 |
Vyloučená řešení s lichými q a nerovné str a r jsou: 6[3]2, 6[3]3, 9[3]3, 12[3]3, ..., 5[5]2, 6[5]2, 8[5]2, 9[5]2, 4[7]2, 9[5]2, 3[9]2, a 3[11]2.
Jiný celek q s nerovným str a r, vytvořte hvězdné skupiny s překrývajícími se základními doménami: , , , , , a .
Duální polygon str{q}r je r{q}str. Mnohoúhelník formuláře str{q}str je dvojí. Skupiny formuláře str[2q]2 mít poloviční symetrii str[q]str, takže regulární mnohoúhelník je stejný jako quasiregular . Rovněž pravidelný mnohoúhelník se stejnými objednávkami uzlů, , mít střídal konstrukce , což umožňuje, aby sousední hrany měly dvě různé barvy.[10]
Skupinová objednávka, G, se používá k výpočtu celkového počtu vrcholů a hran. Bude mít G/r vrcholy a G/str hrany. Když str=r, počet vrcholů a hran je stejný. Tato podmínka je vyžadována, když q je zvláštní.
Maticové generátory
Skupina str[q]r, , mohou být reprezentovány dvěma maticemi:[11]
název | R1 | R2 |
---|---|---|
Objednat | str | r |
Matice |
S
- k =
- Příklady
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Výčet pravidelných komplexních polygonů
Coxeter vyjmenoval složité polygony v tabulce III pravidelných komplexních polytopů.[12]
Skupina | Objednat | Coxeter číslo | Polygon | Vrcholy | Hrany | Poznámky | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G (q, q, 2) 2[q]2 = [q] q = 2,3,4, ... | 2q | q | 2{q}2 | q | q | {} | Nemovitý pravidelné mnohoúhelníky Stejný jako Stejný jako -li q dokonce |
Skupina | Objednat | Coxeter číslo | Polygon | Vrcholy | Hrany | Poznámky | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G(str,1,2) str[4]2 p = 2,3,4, ... | 2str2 | 2str | str(2str2)2 | str{4}2 | | str2 | 2str | str{} | stejný jako str{}×str{} nebo reprezentace jako str-str duoprism |
2(2str2)str | 2{4}str | 2str | str2 | {} | reprezentace jako str-str duopyramid | ||||
G (2,1,2) 2[4]2 = [4] | 8 | 4 | 2{4}2 = {4} | 4 | 4 | {} | stejné jako {} × {} nebo Skutečné náměstí | ||
G (3,1,2) 3[4]2 | 18 | 6 | 6(18)2 | 3{4}2 | 9 | 6 | 3{} | stejný jako 3{}×3{} nebo reprezentace jako 3-3 duoprism | |
2(18)3 | 2{4}3 | 6 | 9 | {} | reprezentace jako 3-3 duopyramid | ||||
G (4,1,2) 4[4]2 | 32 | 8 | 8(32)2 | 4{4}2 | 16 | 8 | 4{} | stejný jako 4{}×4{} nebo reprezentace jako 4-4 duoprism nebo {4,3,3} | |
2(32)4 | 2{4}4 | 8 | 16 | {} | reprezentace jako 4-4 duopyramid nebo {3,3,4} | ||||
G (5,1,2) 5[4]2 | 50 | 25 | 5(50)2 | 5{4}2 | 25 | 10 | 5{} | stejný jako 5{}×5{} nebo reprezentace jako 5-5 duoprism | |
2(50)5 | 2{4}5 | 10 | 25 | {} | reprezentace jako 5-5 duopyramid | ||||
G (6,1,2) 6[4]2 | 72 | 36 | 6(72)2 | 6{4}2 | 36 | 12 | 6{} | stejný jako 6{}×6{} nebo reprezentace jako 6-6 duoprism | |
2(72)6 | 2{4}6 | 12 | 36 | {} | reprezentace jako 6-6 duopyramid | ||||
G4= G (1,1,2) 3[3]3 <2,3,3> | 24 | 6 | 3(24)3 | 3{3}3 | 8 | 8 | 3{} | Konfigurace Möbius – Kantor self-dual, stejně jako reprezentace jako {3,3,4} | |
G6 3[6]2 | 48 | 12 | 3(48)2 | 3{6}2 | 24 | 16 | 3{} | stejný jako | |
3{3}2 | hvězdný mnohoúhelník | ||||||||
2(48)3 | 2{6}3 | 16 | 24 | {} | |||||
2{3}3 | hvězdný mnohoúhelník | ||||||||
G5 3[4]3 | 72 | 12 | 3(72)3 | 3{4}3 | 24 | 24 | 3{} | self-dual, stejně jako reprezentace jako {3,4,3} | |
G8 4[3]4 | 96 | 12 | 4(96)4 | 4{3}4 | 24 | 24 | 4{} | self-dual, stejně jako reprezentace jako {3,4,3} | |
G14 3[8]2 | 144 | 24 | 3(144)2 | 3{8}2 | 72 | 48 | 3{} | stejný jako | |
3{8/3}2 | hvězdný mnohoúhelník, stejný jako | ||||||||
2(144)3 | 2{8}3 | 48 | 72 | {} | |||||
2{8/3}3 | hvězdný mnohoúhelník | ||||||||
G9 4[6]2 | 192 | 24 | 4(192)2 | 4{6}2 | 96 | 48 | 4{} | stejný jako | |
2(192)4 | 2{6}4 | 48 | 96 | {} | |||||
4{3}2 | 96 | 48 | {} | hvězdný mnohoúhelník | |||||
2{3}4 | 48 | 96 | {} | hvězdný mnohoúhelník | |||||
G10 4[4]3 | 288 | 24 | 4(288)3 | 4{4}3 | 96 | 72 | 4{} | ||
12 | 4{8/3}3 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
24 | 3(288)4 | 3{4}4 | 72 | 96 | 3{} | ||||
12 | 3{8/3}4 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
G20 3[5]3 | 360 | 30 | 3(360)3 | 3{5}3 | 120 | 120 | 3{} | self-dual, stejně jako reprezentace jako {3,3,5} | |
3{5/2}3 | self-dual, hvězdný polygon | ||||||||
G16 5[3]5 | 600 | 30 | 5(600)5 | 5{3}5 | 120 | 120 | 5{} | self-dual, stejně jako reprezentace jako {3,3,5} | |
10 | 5{5/2}5 | self-dual, hvězdný polygon | |||||||
G21 3[10]2 | 720 | 60 | 3(720)2 | 3{10}2 | 360 | 240 | 3{} | stejný jako | |
3{5}2 | hvězdný mnohoúhelník | ||||||||
3{10/3}2 | hvězdný mnohoúhelník, stejný jako | ||||||||
3{5/2}2 | hvězdný mnohoúhelník | ||||||||
2(720)3 | 2{10}3 | 240 | 360 | {} | |||||
2{5}3 | hvězdný mnohoúhelník | ||||||||
2{10/3}3 | hvězdný mnohoúhelník | ||||||||
2{5/2}3 | hvězdný mnohoúhelník | ||||||||
G17 5[6]2 | 1200 | 60 | 5(1200)2 | 5{6}2 | 600 | 240 | 5{} | stejný jako | |
20 | 5{5}2 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
20 | 5{10/3}2 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
60 | 5{3}2 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
60 | 2(1200)5 | 2{6}5 | 240 | 600 | {} | ||||
20 | 2{5}5 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
20 | 2{10/3}5 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
60 | 2{3}5 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
G18 5[4]3 | 1800 | 60 | 5(1800)3 | 5{4}3 | 600 | 360 | 5{} | ||
15 | 5{10/3}3 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
30 | 5{3}3 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
30 | 5{5/2}3 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
60 | 3(1800)5 | 3{4}5 | 360 | 600 | 3{} | ||||
15 | 3{10/3}5 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
30 | 3{3}5 | hvězdný mnohoúhelník | |||||||
30 | 3{5/2}5 | hvězdný mnohoúhelník |
Vizualizace pravidelných komplexních polygonů
Mnohoúhelníky formuláře str{2r}q lze zobrazit pomocí q barevné sady str-okraj. Každý str-edge je viděn jako pravidelný mnohoúhelník, zatímco nejsou žádné tváře.
- 2D ortogonální projekce komplexních polygonů 2{r}q
Mnohoúhelníky formuláře 2{4}q se nazývají zobecněné ortoplexy. Sdílejí vrcholy s 4D q-q duopyramidy, vrcholy spojené 2 hranami.
2{4}2, , se 4 vrcholy a 4 hranami
2{4}3, , se 6 vrcholy a 9 hranami[13]
2{4}4, , s 8 vrcholy a 16 hranami
2{4}5, , s 10 vrcholy a 25 hranami
2{4}6, , s 12 vrcholy a 36 hranami
2{4}7, , se 14 vrcholy a 49 hranami
2{4}8, , s 16 vrcholy a 64 hranami
2{4}9, , s 18 vrcholy a 81 hranami
2{4}10, , s 20 vrcholy a 100 hranami
- Složité polygony str{4}2
Mnohoúhelníky formuláře str{4}2 se nazývají zobecněné hyperkrychle (čtverce pro mnohoúhelníky). Sdílejí vrcholy s 4D str-str duoprismy, vrcholy spojené hranami p. Vrcholy jsou nakresleny zeleně a str-hrany jsou kresleny střídavými barvami, červenou a modrou. Perspektiva je mírně zkreslena u lichých dimenzí, aby se mohly přesunout překrývající se vrcholy ze středu.
2{4}2, nebo , se 4 vrcholy a 4 2 hranami
3{4}2, nebo , s 9 vrcholy a 6 (trojúhelníkovými) 3 hranami[14]
4{4}2, nebo , s 16 vrcholy a 8 (čtvercovými) 4 hranami
5{4}2, nebo , s 25 vrcholy a 10 (pětiúhelníkovými) 5 hranami
6{4}2, nebo , s 36 vrcholy a 12 (šestihrannými) 6 hranami
7{4}2, nebo , se 49 vrcholy a 14 (sedmiúhelníkovými) 7 hranami
8{4}2, nebo , se 64 vrcholy a 16 (osmihrannými) 8 hranami
9{4}2, nebo , s 81 vrcholy a 18 (enneagonal) 9 hranami
10{4}2, nebo , se 100 vrcholy a 20 (desetiúhelníkovými) 10 hranami
- 3D perspektivní projekce složitých polygonů str{4}2. Duály 2{4}str
- jsou viditelné přidáním vrcholů uvnitř okrajů a přidáním okrajů místo vrcholů.
3{4}2, nebo s 9 vrcholy, 6 3 hranami ve 2 sadách barev
2{4}3, se 6 vrcholy, 9 hranami ve 3 sadách
4{4}2, nebo s 16 vrcholy, 8 4 hranami ve 2 sadách barev a vyplněnými čtvercovými 4 hranami
5{4}2, nebo s 25 vrcholy, 10 5 hranami ve 2 sadách barev
- Jiné složité polygony str{r}2
3{6}2, nebo , s 24 vrcholy v černé barvě a 16 3 hranami obarvenými ve 2 sadách 3 hran v červené a modré barvě[15]
3{8}2, nebo , se 72 vrcholy v černé barvě a 48 3-hranami obarvenými ve 2 sadách 3-okrajů v červené a modré barvě[16]
- 2D ortogonální projekce složitých polygonů, str{r}str
Mnohoúhelníky formuláře str{r}str mít stejný počet vrcholů a hran. Jsou také sebe-duální.
3{4}3, nebo , s 24 vrcholy a 24 3 hranami zobrazenými ve 3 sadách barev, jedna sada vyplněna[18]
4{3}4, nebo , s 24 vrcholy a 24 4 hranami zobrazenými ve 4 sadách barev[19]
3{5}3, nebo se 120 vrcholy a 120 3 hranami[20]
5{3}5, nebo se 120 vrcholy a 120 5 hranami[21]
Pravidelné složité polytopy
Obecně platí, že pravidelný složitý mnohostěn je zastoupena společností Coxeter as str{z1}q{z2}r{z3}s… Nebo Coxeterův diagram …, Se symetrií str[z1]q[z2]r[z3]s… Nebo ….[22]
Existuje nekonečné rodiny pravidelných komplexních polytopů, které se vyskytují ve všech dimenzích a zobecňují hyperkrychle a křížové polytopy ve skutečném prostoru. Shephardův „zobecněný ortotop“ zobecňuje hyperkrychli; má symbol daný γstr
n = str{4}2{3}2…2{3}2 a diagram …. Jeho skupina symetrie má diagram str[4]2[3]2…2[3]2; v klasifikaci Shephard – Todd je to skupina G (str, 1, n) zobecnění podepsaných permutačních matic. Jeho dvojitý pravidelný mnohostěn, „zobecněný křížový mnohostěn“, je reprezentován symbolem βstr
n = 2{3}2{3}2…2{4}str a diagram ….[23]
1-rozměrný pravidelný složitý mnohostěn v je reprezentován jako , které mají str vrcholy se skutečným vyjádřením a pravidelný mnohoúhelník, {str}. Coxeter mu také dává symbol γstr
1 nebo βstr
1 jako 1-rozměrný generalizovaný hyperkrychle nebo křížový mnohostěn. Jeho symetrie je str[] nebo , cyklická skupina řádu str. Ve vyšším polytopu str{} nebo představuje a str-edge element, s 2-hranou, {} nebo , představující běžnou skutečnou hranu mezi dvěma vrcholy.[24]
A duální komplexní polytop je konstruována výměnou k a (n-1-k) - prvky n-polytop. Například duální komplexní polygon má vrcholy vycentrované na každé hraně a nové hrany jsou vycentrovány na staré vrcholy. A proti-valence vertex vytvoří nový proti- hrana a E-strany se stávají E-valence vrcholy.[25] Duál normálního komplexního mnohostěnu má obrácený symbol. Pravidelné složité polytopy se symetrickými symboly, tj. str{q}str, str{q}r{q}str, str{q}r{s}r{q}stratd. jsou já dvojí.
Výčet pravidelných komplexních mnohostěnů
Coxeter vyjmenoval tento seznam nehvězdných pravidelných komplexních mnohostěnů , včetně 5 platonické pevné látky v .[26]
Pravidelný složitý mnohostěn, str{n1}q{n2}r nebo , má tváře, hrany a vrcholové postavy.
Složitý pravidelný mnohostěn str{n1}q{n2}r vyžaduje obojí G1 = objednávka (str[n1]q) a G2 = objednávka (q[n2]r) být konečný.
Dáno G = objednávka (str[n1]q[n2]r), počet vrcholů je G/G2a počet tváří je G/G1. Počet hran je G/pr.
Prostor | Skupina | Objednat | Číslo coxeteru | Polygon | Vrcholy | Hrany | Tváře | Vrchol postava | Van Oss polygon | Poznámky | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G (1,1,3) 2[3]2[3]2 = [3,3] | 24 | 4 | α3 = 2{3}2{3}2 = {3,3} | 4 | 6 | {} | 4 | {3} | {3} | žádný | Nemovitý čtyřstěn Stejný jako | ||
G23 2[3]2[5]2 = [3,5] | 120 | 10 | 2{3}2{5}2 = {3,5} | 12 | 30 | {} | 20 | {3} | {5} | žádný | Nemovitý dvacetistěnu | ||
2{5}2{3}2 = {5,3} | 20 | 30 | {} | 12 | {5} | {3} | žádný | Nemovitý dvanáctistěn | |||||
G (2,1,3) 2[3]2[4]2 = [3,4] | 48 | 6 | β2 3 = β3 = {3,4} | 6 | 12 | {} | 8 | {3} | {4} | {4} | Nemovitý osmistěn Stejné jako {} + {} + {}, objednávka 8 Stejný jako , objednávka 24 | ||
y2 3 = γ3 = {4,3} | 8 | 12 | {} | 6 | {4} | {3} | žádný | Nemovitý krychle Stejné jako {} × {} × {} nebo | |||||
G (p, 1,3) 2[3]2[4]str p = 2,3,4, ... | 6str3 | 3str | βstr 3 = 2{3}2{4}str | | 3str | 3str2 | {} | str3 | {3} | 2{4}str | 2{4}str | Zobecněný osmistěn Stejný jako str{}+str{}+str{}, objednat str3 Stejný jako , objednávka 6str2 | |
ystr 3 = str{4}2{3}2 | str3 | 3str2 | str{} | 3str | str{4}2 | {3} | žádný | Zobecněná kostka Stejný jako str{}×str{}×str{} nebo | |||||
G (3,1,3) 2[3]2[4]3 | 162 | 9 | β3 3 = 2{3}2{4}3 | 9 | 27 | {} | 27 | {3} | 2{4}3 | 2{4}3 | Stejný jako 3{}+3{}+3{}, objednávka 27 Stejný jako , objednávka 54 | ||
y3 3 = 3{4}2{3}2 | 27 | 27 | 3{} | 9 | 3{4}2 | {3} | žádný | Stejný jako 3{}×3{}×3{} nebo | |||||
G (4,1,3) 2[3]2[4]4 | 384 | 12 | β4 3 = 2{3}2{4}4 | 12 | 48 | {} | 64 | {3} | 2{4}4 | 2{4}4 | Stejný jako 4{}+4{}+4{}, objednávka 64 Stejný jako , objednávka 96 | ||
y4 3 = 4{4}2{3}2 | 64 | 48 | 4{} | 12 | 4{4}2 | {3} | žádný | Stejný jako 4{}×4{}×4{} nebo | |||||
G (5,1,3) 2[3]2[4]5 | 750 | 15 | β5 3 = 2{3}2{4}5 | 15 | 75 | {} | 125 | {3} | 2{4}5 | 2{4}5 | Stejný jako 5{}+5{}+5{}, objednávka 125 Stejný jako , objednávka 150 | ||
y5 3 = 5{4}2{3}2 | 125 | 75 | 5{} | 15 | 5{4}2 | {3} | žádný | Stejný jako 5{}×5{}×5{} nebo | |||||
G (6,1,3) 2[3]2[4]6 | 1296 | 18 | β6 3 = 2{3}2{4}6 | 36 | 108 | {} | 216 | {3} | 2{4}6 | 2{4}6 | Stejný jako 6{}+6{}+6{}, objednávka 216 Stejný jako , objednávka 216 | ||
y6 3 = 6{4}2{3}2 | 216 | 108 | 6{} | 18 | 6{4}2 | {3} | žádný | Stejný jako 6{}×6{}×6{} nebo | |||||
G25 3[3]3[3]3 | 648 | 9 | 3{3}3{3}3 | 27 | 72 | 3{} | 27 | 3{3}3 | 3{3}3 | 3{4}2 | Stejný jako . reprezentace jako 221 Pytlovina mnohostěn | ||
G26 2[4]3[3]3 | 1296 | 18 | 2{4}3{3}3 | 54 | 216 | {} | 72 | 2{4}3 | 3{3}3 | {6} | |||
3{3}3{4}2 | 72 | 216 | 3{} | 54 | 3{3}3 | 3{4}2 | 3{4}3 | Stejný jako [27] reprezentace jako 122 |
Vizualizace pravidelných komplexních mnohostěnů
- 2D ortogonální projekce složitých mnohostěnů, str{s}t{r}r
Nemovitý {3,3}, nebo má 4 vrcholy, 6 hran a 4 tváře
2{4}3{3}3, má 54 vrcholů, 216 jednoduchých hran a 72 obličejů, přičemž jeden obličej je zvýrazněn modře.[29]
- Zobecněný osmistěn
Zobecněné oktaedry mají pravidelnou konstrukci jako a kvaziregulární forma jako . Všechny prvky jsou simplexes.
Nemovitý {3,4}, nebo , se 6 vrcholy, 12 hranami a 8 plochami
2{3}2{4}3, nebo , s 9 vrcholy, 27 hranami a 27 plochami
2{3}2{4}4, nebo , s 12 vrcholy, 48 hranami a 64 plochami
2{3}2{4}5, nebo , s 15 vrcholy, 75 hranami a 125 plochami
2{3}2{4}6, nebo , s 18 vrcholy, 108 hranami a 216 plochami
2{3}2{4}7, nebo , s 21 vrcholy, 147 hranami a 343 plochami
2{3}2{4}8, nebo , s 24 vrcholy, 192 hranami a 512 plochami
2{3}2{4}9, nebo , s 27 vrcholy, 243 hranami a 729 tvářemi
2{3}2{4}10, nebo , s 30 vrcholy, 300 hranami a 1000 plochami
- Zobecněné kostky
Zobecněné kostky mají pravidelnou konstrukci jako a hranolové konstrukce jako , produkt tří str-gonal 1-polytopes. Prvky jsou nižší rozměrné zobecněné kostky.
Nemovitý {4,3}, nebo má 8 vrcholů, 12 hran a 6 ploch
3{4}2{3}2, nebo má 27 vrcholů, 27 3 hran a 9 tváří[31]
4{4}2{3}2, nebo , se 64 vrcholy, 48 hranami a 12 plochami
5{4}2{3}2, nebo , se 125 vrcholy, 75 hranami a 15 plochami
6{4}2{3}2, nebo , s 216 vrcholy, 108 hranami a 18 plochami
7{4}2{3}2, nebo , s 343 vrcholy, 147 hranami a 21 tvářemi
8{4}2{3}2, nebo , s 512 vrcholy, 192 hranami a 24 plochami
9{4}2{3}2, nebo s 729 vrcholy, 243 hranami a 27 plochami
10{4}2{3}2, nebo s 1000 vrcholy, 300 hranami a 30 plochami
Výčet pravidelných komplexních 4-polytopů
Coxeter vyjmenoval tento seznam nehvězdných pravidelných komplexních 4-polytopů , včetně 6 konvexní pravidelné 4-polytopy v .[32]
Prostor | Skupina | Objednat | Coxeter číslo | Polytop | Vrcholy | Hrany | Tváře | Buňky | Van Oss polygon | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G (1,1,4) 2[3]2[3]2[3]2 = [3,3,3] | 120 | 5 | α4 = 2{3}2{3}2{3}2 = {3,3,3} | 5 | 10 {} | 10 {3} | 5 {3,3} | žádný | Nemovitý 5článková (simplexní) | |
G28 2[3]2[4]2[3]2 = [3,4,3] | 1152 | 12 | 2{3}2{4}2{3}2 = {3,4,3} | 24 | 96 {} | 96 {3} | 24 {3,4} | {6} | Nemovitý 24článková | |
G30 2[3]2[3]2[5]2 = [3,3,5] | 14400 | 30 | 2{3}2{3}2{5}2 = {3,3,5} | 120 | 720 {} | 1200 {3} | 600 {3,3} | {10} | Nemovitý 600 buněk | |
2{5}2{3}2{3}2 = {5,3,3} | 600 | 1200 {} | 720 {5} | 120 {5,3} | Nemovitý 120 buněk | |||||
G (2,1,4) 2[3]2[3]2[4]str =[3,3,4] | 384 | 8 | β2 4 = β4 = {3,3,4} | 8 | 24 {} | 32 {3} | 16 {3,3} | {4} | Nemovitý 16 buněk Stejný jako , objednávka 192 | |
y2 4 = γ4 = {4,3,3} | 16 | 32 {} | 24 {4} | 8 {4,3} | žádný | Nemovitý tesseract Stejný jako {}4 nebo , objednávka 16 | ||||
G (p, 1,4) 2[3]2[3]2[4]str p = 2,3,4, ... | 24str4 | 4str | βstr 4 = 2{3}2{3}2{4}str | 4str | 6str2 {} | 4str3 {3} | str4 {3,3} | 2{4}str | Zobecněné 4orthoplex Stejný jako , objednávka 24str3 | |
ystr 4 = str{4}2{3}2{3}2 | str4 | 4str3 str{} | 6str2 str{4}2 | 4str str{4}2{3}2 | žádný | Zobecněný tesseract Stejný jako str{}4 nebo , objednat str4 | ||||
G (3,1,4) 2[3]2[3]2[4]3 | 1944 | 12 | β3 4 = 2{3}2{3}2{4}3 | 12 | 54 {} | 108 {3} | 81 {3,3} | 2{4}3 | Zobecněné 4orthoplex Stejný jako , objednávka 648 | |
y3 4 = 3{4}2{3}2{3}2 | 81 | 108 3{} | 54 3{4}2 | 12 3{4}2{3}2 | žádný | Stejný jako 3{}4 nebo , objednávka 81 | ||||
G (4,1,4) 2[3]2[3]2[4]4 | 6144 | 16 | β4 4 = 2{3}2{3}2{4}4 | 16 | 96 {} | 256 {3} | 64 {3,3} | 2{4}4 | Stejný jako , objednávka 1536 | |
y4 4 = 4{4}2{3}2{3}2 | 256 | 256 4{} | 96 4{4}2 | 16 4{4}2{3}2 | žádný | Stejný jako 4{}4 nebo , objednávka 256 | ||||
G (5,1,4) 2[3]2[3]2[4]5 | 15000 | 20 | β5 4 = 2{3}2{3}2{4}5 | 20 | 150 {} | 500 {3} | 625 {3,3} | 2{4}5 | Stejný jako , objednat 3000 | |
y5 4 = 5{4}2{3}2{3}2 | 625 | 500 5{} | 150 5{4}2 | 20 5{4}2{3}2 | žádný | Stejný jako 5{}4 nebo , objednávka 625 | ||||
G (6,1,4) 2[3]2[3]2[4]6 | 31104 | 24 | β6 4 = 2{3}2{3}2{4}6 | 24 | 216 {} | 864 {3} | 1296 {3,3} | 2{4}6 | Stejný jako , objednávka 5184 | |
y6 4 = 6{4}2{3}2{3}2 | 1296 | 864 6{} | 216 6{4}2 | 24 6{4}2{3}2 | žádný | Stejný jako 6{}4 nebo , objednávka 1296 | ||||
G32 3[3]3[3]3[3]3 | 155520 | 30 | 3{3}3{3}3{3}3 | 240 | 2160 3{} | 2160 3{3}3 | 240 3{3}3{3}3 | 3{4}3 | Witting polytope reprezentace jako 421 |
Vizualizace běžných komplexních 4-polytopů
Nemovitý {3,3,3}, , měl 5 vrcholů, 10 okrajů, 10 {3} obličejů a 5 {3,3} buněk
Nemovitý {3,4,3}, , měl 24 vrcholů, 96 okrajů, 96 {3} obličejů a 24 {3,4} buněk
Nemovitý {5,3,3}, , měl 600 vrcholů, 1200 okrajů, 720 {5} obličejů a 120 {5,3} buněk
Nemovitý {3,3,5}, , měl 120 vrcholů, 720 okrajů, 1200 {3} obličejů a 600 {3,3} buněk
Witting polytope, , má 240 vrcholů, 2160 3 hran, 2160 3 {3} 3 tváře a 240 3 {3} 3 {3} 3 buňky
- Zobecněné 4-ortoplexy
Zobecněné 4-ortoplexy mají pravidelnou konstrukci jako a kvaziregulární forma jako . Všechny prvky jsou simplexes.
Nemovitý {3,3,4}, nebo , s 8 vrcholy, 24 hranami, 32 plochami a 16 buňkami
2{3}2{3}2{4}3, nebo , s 12 vrcholy, 54 hranami, 108 plochami a 81 buňkami
2{3}2{3}2{4}4, nebo , s 16 vrcholy, 96 hranami, 256 plochami a 256 buňkami
2{3}2{3}2{4}5, nebo , s 20 vrcholy, 150 hranami, 500 plochami a 625 buňkami
2{3}2{3}2{4}6, nebo , s 24 vrcholy, 216 hranami, 864 plochami a 1296 buňkami
2{3}2{3}2{4}7, nebo , s 28 vrcholy, 294 hranami, 1372 plochami a 2401 buňkami
2{3}2{3}2{4}8, nebo , s 32 vrcholy, 384 hranami, 2048 plochami a 4096 buňkami
2{3}2{3}2{4}9, nebo , s 36 vrcholy, 486 hranami, 2916 plochami a 6561 buňkami
2{3}2{3}2{4}10, nebo , se 40 vrcholy, 600 hranami, 4000 plochami a 10 000 buňkami
- Zobecněné 4 kostky
Zobecněné tesseracty mají pravidelnou konstrukci jako a hranolové konstrukce jako , produkt čtyř str-gonal 1-polytopes. Prvky jsou nižší rozměrné zobecněné kostky.
Nemovitý {4,3,3}, nebo , s 16 vrcholy, 32 hranami, 24 plochami a 8 buňkami
3{4}2{3}2{3}2, nebo , s 81 vrcholy, 108 hranami, 54 plochami a 12 buňkami
4{4}2{3}2{3}2, nebo , s 256 vrcholy, 96 hranami, 96 plochami a 16 buňkami
5{4}2{3}2{3}2, nebo , s 625 vrcholy, 500 hranami, 150 plochami a 20 buňkami
6{4}2{3}2{3}2, nebo , s 1296 vrcholy, 864 hranami, 216 plochami a 24 buňkami
7{4}2{3}2{3}2, nebo , s 2401 vrcholy, 1372 hranami, 294 plochami a 28 buňkami
8{4}2{3}2{3}2, nebo s 4096 vrcholy, 2048 hranami, 384 plochami a 32 buňkami
9{4}2{3}2{3}2, nebo , s 6561 vrcholy, 2916 hranami, 486 plochami a 36 buňkami
10{4}2{3}2{3}2, nebo , s 10 000 vrcholy, 4 000 hranami, 600 plochami a 40 buňkami
Výčet pravidelných komplexních 5-polytopů
Pravidelné komplexní 5-polytopes in nebo vyšší existují ve třech rodinách, skutečné simplexes a zobecněný hyperkrychle, a orthoplex.
Prostor | Skupina | Objednat | Polytop | Vrcholy | Hrany | Tváře | Buňky | 4 tváře | Van Oss polygon | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G (1,1,5) = [3,3,3,3] | 720 | α5 = {3,3,3,3} | 6 | 15 {} | 20 {3} | 15 {3,3} | 6 {3,3,3} | žádný | Nemovitý 5-simplexní | |
G (2,1,5) =[3,3,3,4] | 3840 | β2 5 = β5 = {3,3,3,4} | 10 | 40 {} | 80 {3} | 80 {3,3} | 32 {3,3,3} | {4} | Nemovitý 5-orthoplex Stejný jako , objednávka 1920 | |
y2 5 = γ5 = {4,3,3,3} | 32 | 80 {} | 80 {4} | 40 {4,3} | 10 {4,3,3} | žádný | Nemovitý 5 kostek Stejný jako {}5 nebo , objednávka 32 | |||
G (p, 1,5) 2[3]2[3]2[3]2[4]str | 120str5 | βstr 5 = 2{3}2{3}2{3}2{4}str | 5str | 10str2 {} | 10str3 {3} | 5str4 {3,3} | str5 {3,3,3} | 2{4}str | Zobecněný 5-orthoplex Stejný jako , objednávka 120str4 | |
ystr 5 = str{4}2{3}2{3}2{3}2 | str5 | 5str4 str{} | 10str3 str{4}2 | 10str2 str{4}2{3}2 | 5str str{4}2{3}2{3}2 | žádný | Zobecněný 5 kostek Stejný jako str{}5 nebo , objednat str5 | |||
G (3,1,5) 2[3]2[3]2[3]2[4]3 | 29160 | β3 5 = 2{3}2{3}2{3}2{4}3 | 15 | 90 {} | 270 {3} | 405 {3,3} | 243 {3,3,3} | 2{4}3 | Stejný jako , objednávka 9720 | |
y3 5 = 3{4}2{3}2{3}2{3}2 | 243 | 405 3{} | 270 3{4}2 | 90 3{4}2{3}2 | 15 3{4}2{3}2{3}2 | žádný | Stejný jako 3{}5 nebo , objednávka 243 | |||
G (4,1,5) 2[3]2[3]2[3]2[4]4 | 122880 | β4 5 = 2{3}2{3}2{3}2{4}4 | 20 | 160 {} | 640 {3} | 1280 {3,3} | 1024 {3,3,3} | 2{4}4 | Stejný jako , objednat 30720 | |
y4 5 = 4{4}2{3}2{3}2{3}2 | 1024 | 1280 4{} | 640 4{4}2 | 160 4{4}2{3}2 | 20 4{4}2{3}2{3}2 | žádný | Stejný jako 4{}5 nebo , objednávka 1024 | |||
G (5,1,5) 2[3]2[3]2[3]2[4]5 | 375000 | β5 5 = 2{3}2{3}2{3}2{5}5 | 25 | 250 {} | 1250 {3} | 3125 {3,3} | 3125 {3,3,3} | 2{5}5 | Stejný jako , objednávka 75000 | |
y5 5 = 5{4}2{3}2{3}2{3}2 | 3125 | 3125 5{} | 1250 5{5}2 | 250 5{5}2{3}2 | 25 5{4}2{3}2{3}2 | žádný | Stejný jako 5{}5 nebo , objednávka 3125 | |||
G (6,1,5) 2[3]2[3]2[3]2[4]6 | 933210 | β6 5 = 2{3}2{3}2{3}2{4}6 | 30 | 360 {} | 2160 {3} | 6480 {3,3} | 7776 {3,3,3} | 2{4}6 | Stejný jako , objednat 155520 | |
y6 5 = 6{4}2{3}2{3}2{3}2 | 7776 | 6480 6{} | 2160 6{4}2 | 360 6{4}2{3}2 | 30 6{4}2{3}2{3}2 | žádný | Stejný jako 6{}5 nebo , objednávka 7776 |
Vizualizace běžných komplexních 5-polytopů
- Zobecněné 5-ortoplexy
Zobecněné 5-ortoplexy mají pravidelnou konstrukci jako a kvaziregulární forma jako . Všechny prvky jsou simplexes.
Nemovitý {3,3,3,4}, , s 10 vrcholy, 40 hranami, 80 plochami, 80 buňkami a 32 čtyřstranami
2{3}2{3}2{3}2{4}3, , s 15 vrcholy, 90 hranami, 270 plochami, 405 buňkami a 243 čtyřmi plochami
2{3}2{3}2{3}2{4}4, , s 20 vrcholy, 160 hranami, 640 plochami, 1280 buňkami a 1024 4 plochami
2{3}2{3}2{3}2{4}5, , s 25 vrcholy, 250 hranami, 1250 plochami, 3125 buňkami a 3125 čtyřmi plochami
2{3}2{3}2{3}2{4}6, , s 30 vrcholy, 360 hranami, 2160 plochami, 6480 buňkami, 7776 4 plochami
2{3}2{3}2{3}2{4}7, , s 35 vrcholy, 490 hranami, 3430 plochami, 12005 buňkami, 16807 4 plochami
2{3}2{3}2{3}2{4}8, , se 40 vrcholy, 640 hranami, 5120 plochami, 20480 buňkami, 32768 4 plochami
2{3}2{3}2{3}2{4}9, , se 45 vrcholy, 810 hranami, 7290 plochami, 32805 buňkami, 59049 4 plochami
2{3}2{3}2{3}2{4}10, , s 50 vrcholy, 1000 hranami, 10 000 plochami, 50 000 buňkami, 10 000 4 plochami
- Zobecněné 5 kostek
Zobecněné 5 kostky mají pravidelnou konstrukci jako a hranolové konstrukce jako , produkt pěti str-gonal 1-polytopes. Prvky jsou nižší rozměrné zobecněné kostky.
Nemovitý {4,3,3,3}, , s 32 vrcholy, 80 hranami, 80 plochami, 40 buňkami a 10 4 plochami
3{4}2{3}2{3}2{3}2, , s 243 vrcholy, 405 hranami, 270 plochami, 90 buňkami a 15 4 plochami
4{4}2{3}2{3}2{3}2, , s 1024 vrcholy, 1280 hranami, 640 plochami, 160 buňkami a 20 čtyřmi plochami
5{4}2{3}2{3}2{3}2, , s 3125 vrcholy, 3125 hranami, 1250 plochami, 250 buňkami a 25 čtyřstranami
6{4}2{3}2{3}2{3}2, , s 7776 vrcholy, 6480 hranami, 2160 plochami, 360 buňkami a 30 4 plochami
Výčet pravidelných komplexních 6-polytopů
Prostor | Skupina | Objednat | Polytop | Vrcholy | Hrany | Tváře | Buňky | 4 tváře | 5 tváří | Van Oss polygon | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G (1,1,6) = [3,3,3,3,3] | 720 | α6 = {3,3,3,3,3} | 7 | 21 {} | 35 {3} | 35 {3,3} | 21 {3,3,3} | 7 {3,3,3,3} | žádný | Nemovitý 6-simplexní | |
G (2,1,6) [3,3,3,4] | 46080 | β2 6 = β6 = {3,3,3,4} | 12 | 60 {} | 160 {3} | 240 {3,3} | 192 {3,3,3} | 64 {3,3,3,3} | {4} | Nemovitý 6-orthoplex Stejný jako , objednávka 23040 | |
y2 6 = γ6 = {4,3,3,3} | 64 | 192 {} | 240 {4} | 160 {4,3} | 60 {4,3,3} | 12 {4,3,3,3} | žádný | Nemovitý 6 kostek Stejný jako {}6 nebo , objednávka 64 | |||
G (p, 1,6) 2[3]2[3]2[3]2[4]str | 720str6 | βstr 6 = 2{3}2{3}2{3}2{4}str | 6str | 15str2 {} | 20str3 {3} | 15str4 {3,3} | 6str5 {3,3,3} | str6 {3,3,3,3} | 2{4}str | Zobecněný 6-orthoplex Stejný jako , objednávka 720str5 | |
ystr 6 = str{4}2{3}2{3}2{3}2 | str6 | 6str5 str{} | 15str4 str{4}2 | 20str3 str{4}2{3}2 | 15str2 str{4}2{3}2{3}2 | 6str str{4}2{3}2{3}2{3}2 | žádný | Zobecněný 6 kostek Stejný jako str{}6 nebo , objednat str6 |
Vizualizace běžných komplexních 6-polytopů
- Zobecněné 6-ortoplexy
Zobecněné 6-ortoplexy mají pravidelnou konstrukci jako a kvaziregulární forma jako . Všechny prvky jsou simplexes.
Nemovitý {3,3,3,3,4}, , s 12 vrcholy, 60 hranami, 160 plochami, 240 buňkami, 192 4 tvářími a 64 5 tvářími
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}3, , s 18 vrcholy, 135 hranami, 540 plochami, 1215 buňkami, 1458 4-plochami a 729 5-plochami
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}4, , s 24 vrcholy, 240 hranami, 1280 plochami, 3840 buňkami, 6144 4-plochami a 4096 5-plochami
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}5, , s 30 vrcholy, 375 hranami, 2 500 tvářemi, 9375 buňkami, 18750 4 tváří a 15625 5 tváří
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}6, , s 36 vrcholy, 540 hranami, 4320 plochami, 19440 buňkami, 46656 4-ploch a 46656 5-ploch
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}7, , se 42 vrcholy, 735 hranami, 6860 plochami, 36015 buňkami, 100842 4-plochami, 117649 5-plochami
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}8, , se 48 vrcholy, 960 hranami, 10240 plochami, 61440 buňkami, 196608 4 tváří, 262144 5 tváří
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}9, , s 54 vrcholy, 1215 hranami, 14580 plochami, 98415 buňkami, 354294 4-ploch, 531441 5-ploch
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}10, , s 60 vrcholy, 1500 hranami, 20000 tvářemi, 150000 buňkami, 600000 4 tváří, 10 000 00 5 tváří
- Zobecněné 6 kostek
Zobecněné 6 kostky mají pravidelnou konstrukci jako a hranolové konstrukce jako , produkt šesti str-gonal 1-polytopes. Prvky jsou nižší rozměrné zobecněné kostky.
Nemovitý {3,3,3,3,3,4}, , se 64 vrcholy, 192 hranami, 240 plochami, 160 buňkami, 60 4 tváří a 12 5 tváří
3{4}2{3}2{3}2{3}2{3}2, , s 729 vrcholy, 1458 hranami, 1215 plochami, 540 buňkami, 135 4-plochami a 18 5-plochami
4{4}2{3}2{3}2{3}2{3}2, , s 4096 vrcholy, 6144 hranami, 3840 plochami, 1280 buňkami, 240 4-plochami a 24 5-plochami
5{4}2{3}2{3}2{3}2{3}2, , s 15625 vrcholy, 18750 hranami, 9375 plochami, 2500 buňkami, 375 4-plochami a 30 5-plochami
Výčet pravidelných komplexních apeirotopů
Coxeter vyjmenoval tento seznam nehvězdných pravidelných komplexních apeirotopů nebo voštin.[33]
Pro každou dimenzi existuje 12 apeirotopů symbolizovaných jako δstr,r
n + 1 existuje v jakýchkoli dimenzích nebo -li str=q= 2. Coxeter tyto generalizované kubické voštiny nazývá n>2.[34]
Každý z nich má proporcionální počty prvků dané jako:
- k-tváře = , kde a n! označuje faktoriál z n.
Pravidelné komplexní 1-polytopy
Jediný pravidelný komplexní 1-polytop je ∞{} nebo . Jeho skutečné zastoupení je apeirogon, {∞} nebo .
Pravidelné komplexní apeirogony
Složité apeirogony 2. stupně mají symetrii str[q]r, kde 1 /str + 2/q + 1/r = 1. Coxeter je vyjadřuje jako δstr,r
2 kde q je nucen uspokojit q = 2/(1 – (str + r)/pr).[35]
Existuje 8 řešení:
2[∞]2 | 3[12]2 | 4[8]2 | 6[6]2 | 3[6]3 | 6[4]3 | 4[4]4 | 6[3]6 |
Existují dvě vyloučená řešení, lichá q a nerovné str a r: 10[5]2 a 12[3]4nebo a .
Pravidelný komplexní apeirogon str{q}r má str-hrany a r-gonal vrchol čísla. Duální apeirogon z str{q}r je r{q}str. Apeirogon formy str{q}str je dvojí. Skupiny formuláře str[2q]2 mít poloviční symetrii str[q]str, takže běžný apeirogon je stejný jako quasiregular .[36]
Apeirogony mohou být zastoupeny na Argandovo letadlo sdílet čtyři různá uspořádání vrcholů. Apeirogony formuláře 2{q}r mít vrcholové uspořádání jako {q/2,str}. Formulář str{q}2 mít uspořádání vrcholů jako r {str,q/ 2}. Apeirogony formuláře str{4}r mít vrcholové uspořádání {str,r}.
Včetně afinních uzlů a , existují 3 další nekonečná řešení: ∞[2]∞, ∞[4]2, ∞[3]3, a , , a . První je podskupina indexu 2 druhé. Vrcholy těchto apeirogonů existují v .
Prostor | Skupina | Apeirogon | Okraj | rep.[37] | Obrázek | Poznámky | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
2[∞]2 = [∞] | δ2,2 2 = {∞} | | {} | Nemovitý apeirogon Stejný jako | |||
/ | ∞[4]2 | ∞{4}2 | ∞{} | {4,4} | Stejný jako | ||
∞[3]3 | ∞{3}3 | ∞{} | {3,6} | Stejný jako | |||
str[q]r | δp, r 2 = str{q}r | str{} | |||||
3[12]2 | δ3,2 2 = 3{12}2 | 3{} | r {3,6} | Stejný jako | |||
δ2,3 2 = 2{12}3 | {} | {6,3} | |||||
3[6]3 | δ3,3 2 = 3{6}3 | 3{} | {3,6} | Stejný jako | |||
4[8]2 | δ4,2 2 = 4{8}2 | 4{} | {4,4} | Stejný jako | |||
δ2,4 2 = 2{8}4 | {} | {4,4} | |||||
4[4]4 | δ4,4 2 = 4{4}4 | 4{} | {4,4} | Stejný jako | |||
6[6]2 | δ6,2 2 = 6{6}2 | 6{} | r {3,6} | Stejný jako | |||
δ2,6 2 = 2{6}6 | {} | {3,6} | |||||
6[4]3 | δ6,3 2 = 6{4}3 | 6{} | {6,3} | ||||
δ3,6 2 = 3{4}6 | 3{} | {3,6} | |||||
6[3]6 | δ6,6 2 = 6{3}6 | 6{} | {3,6} | Stejný jako |
Pravidelná komplexní apeirohedra
Existuje 22 pravidelných komplexních apeirohedrů této formy str{A}q{b}r. 8 je samo-duální (str=r a A=b), zatímco 14 existuje jako dvojice dvojic polytopů. Tři jsou zcela skutečné (str=q=r=2).
Coxeter symbolizuje 12 z nich jako δstr,r
3 nebo str{4}2{4}r je běžná forma produktu apeirotopu δstr,r
2 × δstr,r
2 nebo str{q}r × str{q}r, kde q je určeno z str a r.
je stejné jako , stejně jako , pro str,r= 2,3,4,6. Taky = .[38]
Prostor | Skupina | Apeirohedron | Vrchol | Okraj | Tvář | van Oss apeirogon | Poznámky | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2[3]2[4]∞ | ∞{4}2{3}2 | ∞{} | ∞{4}2 | Stejný jako ∞{}×∞{}×∞{} nebo Skutečné zastoupení {4,3,4} | ||||||
str[4]2[4]r | str{4}2{4}r | | str2 | 2pq | str{} | r2 | str{4}2 | 2{q}r | Stejný jako , str,r=2,3,4,6 | |
[4,4] | δ2,2 3 = {4,4} | 4 | 8 | {} | 4 | {4} | {∞} | Nemovitý čtvercové obklady Stejný jako nebo nebo | ||
3[4]2[4]2 3[4]2[4]3 4[4]2[4]2 4[4]2[4]4 6[4]2[4]2 6[4]2[4]3 6[4]2[4]6 | 3{4}2{4}2 2{4}2{4}3 3{4}2{4}3 4{4}2{4}2 2{4}2{4}4 4{4}2{4}4 6{4}2{4}2 2{4}2{4}6 6{4}2{4}3 3{4}2{4}6 6{4}2{4}6 | 9 4 9 16 4 16 36 4 36 9 36 | 12 12 18 16 16 32 24 24 36 36 72 | 3{} {} 3{} 4{} {} 4{} 6{} {} 6{} 3{} 6{} | 4 9 9 4 16 16 4 36 9 36 36 | 3{4}2 {4} 3{4}2 4{4}2 {4} 4{4}2 6{4}2 {4} 6{4}2 3{4}2 6{4}2 | str{q}r | Stejný jako nebo nebo Stejný jako Stejný jako Stejný jako nebo nebo Stejný jako Stejný jako Stejný jako nebo nebo Stejný jako Stejný jako Stejný jako Stejný jako |
Prostor | Skupina | Apeirohedron | Vrchol | Okraj | Tvář | van Oss apeirogon | Poznámky | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2[4]r[4]2 | 2{4}r{4}2 | | 2 | {} | 2 | str{4}2' | 2{4}r | Stejný jako a , r = 2,3,4,6 | ||
[4,4] | {4,4} | 2 | 4 | {} | 2 | {4} | {∞} | Stejný jako a | ||
2[4]3[4]2 2[4]4[4]2 2[4]6[4]2 | 2{4}3{4}2 2{4}4{4}2 2{4}6{4}2 | 2 | 9 16 36 | {} | 2 | 2{4}3 2{4}4 2{4}6 | 2{q}r | Stejný jako a Stejný jako a Stejný jako a [39] |
Prostor | Skupina | Apeirohedron | Vrchol | Okraj | Tvář | van Oss apeirogon | Poznámky | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2[6]2[3]2 = [6,3] | {3,6} | | 1 | 3 | {} | 2 | {3} | {∞} | Nemovitý trojúhelníkové obklady | |
{6,3} | 2 | 3 | {} | 1 | {6} | žádný | Nemovitý šestihranný obklad | |||
3[4]3[3]3 | 3{3}3{4}3 | 1 | 8 | 3{} | 3 | 3{3}3 | 3{4}6 | Stejný jako | ||
3{4}3{3}3 | 3 | 8 | 3{} | 2 | 3{4}3 | 3{12}2 | ||||
4[3]4[3]4 | 4{3}4{3}4 | 1 | 6 | 4{} | 1 | 4{3}4 | 4{4}4 | Self-dual, stejný jako | ||
4[3]4[4]2 | 4{3}4{4}2 | 1 | 12 | 4{} | 3 | 4{3}4 | 2{8}4 | Stejný jako | ||
2{4}4{3}4 | 3 | 12 | {} | 1 | 2{4}4 | 4{4}4 |
Pravidelné komplexní 3-apeirotopy
Existuje 16 pravidelných komplexních apeirotopů . Coxeter vyjadřuje 12 z nich δstr,r
3 kde q je nucen uspokojit q = 2/(1 – (str + r)/pr). Mohou být také rozloženy jako apeirotopy produktu: = . Prvním případem je kubický plástev.
Prostor | Skupina | 3-apeirotop | Vrchol | Okraj | Tvář | Buňka | van Oss apeirogon | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
str[4]2[3]2[4]r | δstr,r 3 = str{4}2{3}2{4}r | str{} | str{4}2 | str{4}2{3}2 | str{q}r | Stejný jako | ||
2[4]2[3]2[4]2 =[4,3,4] | δ2,2 3 = 2{4}2{3}2{4}2 | {} | {4} | {4,3} | Krychlový plástev Stejný jako nebo nebo | |||
3[4]2[3]2[4]2 | δ3,2 3 = 3{4}2{3}2{4}2 | 3{} | 3{4}2 | 3{4}2{3}2 | Stejný jako nebo nebo | |||
δ2,3 3 = 2{4}2{3}2{4}3 | {} | {4} | {4,3} | Stejný jako | ||||
3[4]2[3]2[4]3 | δ3,3 3 = 3{4}2{3}2{4}3 | 3{} | 3{4}2 | 3{4}2{3}2 | Stejný jako | |||
4[4]2[3]2[4]2 | δ4,2 3 = 4{4}2{3}2{4}2 | 4{} | 4{4}2 | 4{4}2{3}2 | Stejný jako nebo nebo | |||
δ2,4 3 = 2{4}2{3}2{4}4 | {} | {4} | {4,3} | Stejný jako | ||||
4[4]2[3]2[4]4 | δ4,4 3 = 4{4}2{3}2{4}4 | 4{} | 4{4}2 | 4{4}2{3}2 | Stejný jako | |||
6[4]2[3]2[4]2 | δ6,2 3 = 6{4}2{3}2{4}2 | 6{} | 6{4}2 | 6{4}2{3}2 | Stejný jako nebo nebo | |||
δ2,6 3 = 2{4}2{3}2{4}6 | {} | {4} | {4,3} | Stejný jako | ||||
6[4]2[3]2[4]3 | δ6,3 3 = 6{4}2{3}2{4}3 | 6{} | 6{4}2 | 6{4}2{3}2 | Stejný jako | |||
δ3,6 3 = 3{4}2{3}2{4}6 | 3{} | 3{4}2 | 3{4}2{3}2 | Stejný jako | ||||
6[4]2[3]2[4]6 | δ6,6 3 = 6{4}2{3}2{4}6 | 6{} | 6{4}2 | 6{4}2{3}2 | Stejný jako |
Prostor | Skupina | 3-apeirotop | Vrchol | Okraj | Tvář | Buňka | van Oss apeirogon | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2[4]3[3]3[3]3 | 3{3}3{3}3{4}2 | 1 | 24 3{} | 27 3{3}3 | 2 3{3}3{3}3 | 3{4}6 | Stejný jako | |
2{4}3{3}3{3}3 | 2 | 27 {} | 24 2{4}3 | 1 2{4}3{3}3 | 2{12}3 | |||
2[3]2[4]3[3]3 | 2{3}2{4}3{3}3 | 1 | 27 {} | 72 2{3}2 | 8 2{3}2{4}3 | 2{6}6 | ||
3{3}3{4}2{3}2 | 8 | 72 3{} | 27 3{3}3 | 1 3{3}3{4}2 | 3{6}3 | Stejný jako nebo |
Pravidelné komplexní 4-apeirotopy
Existuje 15 pravidelných komplexních apeirotopů . Coxeter vyjadřuje 12 z nich δstr,r
4 kde q je nucen uspokojit q = 2/(1 – (str + r)/pr). Mohou být také rozloženy jako apeirotopy produktu: = . Prvním případem je tesseractic voštinový. The 16článkový plástev a 24článkový plástev jsou skutečná řešení. Poslední vygenerované řešení má Witting polytope elementy.
Prostor | Skupina | 4-apeirotop | Vrchol | Okraj | Tvář | Buňka | 4 tváře | van Oss apeirogon | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
str[4]2[3]2[3]2[4]r | δstr,r 4 = str{4}2{3}2{3}2{4}r | str{} | str{4}2 | str{4}2{3}2 | str{4}2{3}2{3}2 | str{q}r | Stejný jako | ||
2[4]2[3]2[3]2[4]2 | δ2,2 4 = {4,3,3,3} | {} | {4} | {4,3} | {4,3,3} | {∞} | Tesseractic plástev Stejný jako | ||
2[3]2[4]2[3]2[3]2 =[3,4,3,3] | {3,3,4,3} | 1 | 12 {} | 32 {3} | 24 {3,3} | 3 {3,3,4} | Nemovitý 16článkový plástev Stejný jako | ||
{3,4,3,3} | 3 | 24 {} | 32 {3} | 12 {3,4} | 1 {3,4,3} | Nemovitý 24článkový plástev Stejný jako nebo | |||
3[3]3[3]3[3]3[3]3 | 3{3}3{3}3{3}3{3}3 | 1 | 80 3{} | 270 3{3}3 | 80 3{3}3{3}3 | 1 3{3}3{3}3{3}3 | 3{4}6 | zastoupení 521 |
Pravidelný komplexní 5-apeirotopy a vyšší
Existuje pouze 12 běžných komplexních apeirotopů nebo vyšší,[40] vyjádřeno δstr,r
n kde q je nucen uspokojit q = 2/(1 – (str + r)/pr). Mohou být také rozloženy produktem n apeirogony: ... = ... . První případ je skutečný hypercube plástev.
Prostor | Skupina | 5-apeirotopy | Vrcholy | Okraj | Tvář | Buňka | 4 tváře | 5 tváří | van Oss apeirogon | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
str[4]2[3]2[3]2[3]2[4]r | δstr,r 5 = str{4}2{3}2{3}2{3}2{4}r | str{} | str{4}2 | str{4}2{3}2 | str{4}2{3}2{3}2 | str{4}2{3}2{3}2{3}2 | str{q}r | Stejný jako | ||
2[4]2[3]2[3]2[3]2[4]2 =[4,3,3,3,4] | δ2,2 5 = {4,3,3,3,4} | {} | {4} | {4,3} | {4,3,3} | {4,3,3,3} | {∞} | 5-kubický plástev Stejný jako |
van Oss polygon
A van Oss polygon je pravidelný mnohoúhelník v rovině (skutečná rovina , nebo jednotná rovina ) ve kterém leží jak hrana, tak těžiště pravidelného polytopu a jsou tvořeny prvky polytopu. Ne všechny běžné polytopy mají polygony Van Oss.
Například van Oss polygony reálného osmistěn jsou tři čtverce, jejichž roviny procházejí jeho středem. Naproti tomu a krychle nemá van Oss polygon, protože rovina od středu ke středu se šikmo protíná přes dvě čtvercové plochy a dva okraje krychle, které leží v rovině, netvoří mnohoúhelník.
Nekonečné voštiny také mají van Oss apeirogons. Například skutečné čtvercové obklady a trojúhelníkové obklady mít apeirogony {∞} van Oss apeirogons.[41]
Pokud existuje, van Oss polygon pravidelného komplexního polytopu formy str{q}r{s}t... má str-hrany.
Nepravidelné složité polytopy
Polytopy komplexních produktů
Složitý polygon produktu nebo {} ×5{} má 10 vrcholů spojených 5 2 hranami a 2 5 hranami, se skutečným vyjádřením jako trojrozměrný pětiúhelníkový hranol. | The dual polygon,{}+5{} has 7 vertices centered on the edges of the original, connected by 10 edges. Its real representation is a pentagonal bipyramid. |
Some complex polytopes can be represented as Kartézské výrobky. These product polytopes are not strictly regular since they'll have more than one facet type, but some can represent lower symmetry of regular forms if all the orthogonal polytopes are identical. For example, the product str{}×str{} or of two 1-dimensional polytopes is the same as the regular str{4}2 nebo . More general products, like str{}×q{} have real representations as the 4-dimensional str-q duoprismy. The dual of a product polytope can be written as a sum str{}+q{} and have real representations as the 4-dimensional str-q duopyramid. The str{}+str{} can have its symmetry doubled as a regular complex polytope 2{4}str nebo .
Podobně, a complex polyhedron can be constructed as a triple product: str{}×str{}×str{} or is the same as the regular generalized cube, str{4}2{3}2 nebo , as well as product str{4}2×str{} or .[42]
Quasiregular polygons
A quasiregular polygon is a zkrácení pravidelného mnohoúhelníku. A quasiregular polygon contains alternate edges of the regular polygons a . The quasiregular polygon has str vertices on the p-edges of the regular form.
str[q]r | 2[4]2 | 3[4]2 | 4[4]2 | 5[4]2 | 6[4]2 | 7[4]2 | 8[4]2 | 3[3]3 | 3[4]3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pravidelný | 4 2-edges | 9 3-edges | 16 4-edges | 25 5-edges | 36 6-edges | 49 8-edges | 64 8-edges | ||
Quasiregular | = 4+4 2-edges | 6 2-edges 9 3-edges | 8 2-edges 16 4-edges | 10 2-edges 25 5-edges | 12 2-edges 36 6-edges | 14 2-edges 49 7-edges | 16 2-edges 64 8-edges | = | = |
Pravidelný | 4 2-edges | 6 2-edges | 8 2-edges | 10 2-edges | 12 2-edges | 14 2-edges | 16 2-edges |
Quasiregular apeirogons
There are 7 quasiregular complex apeirogons which alternate edges of a regular apeirogon and its regular dual. The vertex arrangements of these apeirogon have real representations with the regular and uniform tilings of the Euclidean plane. The last column for the 6{3}6 apeirogon is not only self-dual, but the dual coincides with itself with overlapping hexagonal edges, thus their quasiregular form also has overlapping hexagonal edges, so it can't be drawn with two alternating colors like the others. The symmetry of the self-dual families can be doubled, so creating an identical geometry as the regular forms: =
str[q]r | 4[8]2 | 4[4]4 | 6[6]2 | 6[4]3 | 3[12]2 | 3[6]3 | 6[3]6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Pravidelný nebo str{q}r | |||||||
Quasiregular | = | = | = | ||||
Regular dual nebo r{q}str |
Quasiregular polyhedra
Like real polytopes, a complex quasiregular polyhedron can be constructed as a náprava (a complete zkrácení ) of a regular polyhedron. Vertices are created mid-edge of the regular polyhedron and faces of the regular polyhedron and its dual are positioned alternating across common edges.
For example, a p-generalized cube, , má str3 vertices, 3str2 edges, and 3str str-generalized square faces, while the str-generalized octahedron, , has 3str vertices, 3str2 hrany a str3 triangular faces. The middle quasiregular form str-generalized cuboctahedron, , has 3str2 vertices, 3str3 edges, and 3str+str3 tváře.
Také náprava z Pytlovina mnohostěn , je , a quasiregular form sharing the geometry of the regular complex polyhedron .
Generalized cube/octahedra | Pytlovina mnohostěn | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
p=2 (real) | p = 3 | p = 4 | p = 5 | p = 6 | ||
Zobecněný kostky (pravidelný) | Krychle , 8 vertices, 12 2-edges, and 6 faces. | , 27 vertices, 27 3-edges, and 9 faces, with one face blue and red | , 64 vertices, 48 4-edges, and 12 faces. | , 125 vertices, 75 5-edges, and 15 faces. | , 216 vertices, 108 6-edges, and 18 faces. | , 27 vertices, 72 6-edges, and 27 faces. |
Zobecněný cuboctahedra (quasiregular) | Cuboctahedron , 12 vertices, 24 2-edges, and 6+8 faces. | , 27 vertices, 81 2-edges, and 9+27 faces, with one face blue | , 48 vertices, 192 2-edges, and 12+64 faces, with one face blue | , 75 vertices, 375 2-edges, and 15+125 faces. | , 108 vertices, 648 2-edges, and 18+216 faces. | = , 72 vertices, 216 3-edges, and 54 faces. |
Zobecněný oktaedra (pravidelný) | Octahedron , 6 vertices, 12 2-edges, and 8 {3} faces. | , 9 vertices, 27 2-edges, and 27 {3} faces. | , 12 vertices, 48 2-edges, and 64 {3} faces. | , 15 vertices, 75 2-edges, and 125 {3} faces. | , 18 vertices, 108 2-edges, and 216 {3} faces. | , 27 vertices, 72 6-edges, and 27 faces. |
Other complex polytopes with unitary reflections of period two
Other nonregular complex polytopes can be constructed within unitary reflection groups that don't make linear Coxeter graphs. In Coxeter diagrams with loops Coxeter marks a special period interior, like or symbol (11 1 1)3, and group [1 1 1]3.[43][44] These complex polytopes have not been systematically explored beyond a few cases.
Skupina is defined by 3 unitary reflections, R1, R.2, R.3, all order 2: R12 = R12 = R32 = (R1R2)3 = (R2R3)3 = (R3R1)3 = (R1R2R3R1)str = 1. The period str can be seen as a dvojitá rotace ve skutečnosti .
Jako u všech Wythoff constructions, polytopes generated by reflections, the number of vertices of a single-ringed Coxeter diagram polytope is equal to the order of the group divided by the order of the subgroup where the ringed node is removed. For example, a real krychle has Coxeter diagram , s oktaedrická symetrie order 48, and subgroup dihedral symmetry order 6, so the number of vertices of a cube is 48/6=8. Facets are constructed by removing one node furthest from the ringed node, for example for the cube. Čísla vrcholů are generated by removing a ringed node and ringing one or more connected nodes, and for the cube.
Coxeter represents these groups by the following symbols. Some groups have the same order, but a different structure, defining the same uspořádání vrcholů in complex polytopes, but different edges and higher elements, like a s str≠3.[45]
Coxeterův diagram | Objednat | Symbol or Position in Table VII of Shephard and Todd (1954) |
---|---|---|
, ( a ), , ... | strn − 1 n!, str ≥ 3 | G(str, str, n), [str], [1 1 1]str, [1 1 (n−2)str]3 |
, | 72·6!, 108·9! | Nos. 33, 34, [1 2 2]3, [1 2 3]3 |
, ( a ), ( a ) | 14·4!, 3·6!, 64·5! | Nos. 24, 27, 29 |
Coxeter calls some of these complex polyhedra almost regular because they have regular facets and vertex figures. The first is a lower symmetry form of the generalized cross-polytope in . The second is a fractional generalized cube, reducing str-edges into single vertices leaving ordinary 2-edges. Three of them are related to the finite regular skew polyhedron v .
Prostor | Skupina | Objednat | Coxeter symboly | Vrcholy | Hrany | Tváře | Vrchol postava | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[1 1 1str]3 str=2,3,4... | 6str2 | (1 1 11str)3 | 3str | 3str2 | {3} | {2str} | Shephard symbol (1 1; 11)str same as βstr 3 = | |
(11 1 1str)3 | str2 | {3} | {6} | Shephard symbol (11 1; 1)str 1/str ystr 3 | ||||
[1 1 12]3 | 24 | (1 1 112)3 | 6 | 12 | 8 {3} | {4} | Same as β2 3 = = real osmistěn | |
(11 1 12)3 | 4 | 6 | 4 {3} | {3} | 1/2 γ2 3 = = α3 = real čtyřstěn | |||
[1 1 1]3 | 54 | (1 1 11)3 | 9 | 27 | {3} | {6} | Shephard symbol (1 1; 11)3 same as β3 3 = | |
(11 1 1)3 | 9 | 27 | {3} | {6} | Shephard symbol (11 1; 1)3 1/3 γ3 3 = β3 3 | |||
[1 1 14]3 | 96 | (1 1 114)3 | 12 | 48 | {3} | {8} | Shephard symbol (1 1; 11)4 same as β4 3 = | |
(11 1 14)3 | 16 | {3} | {6} | Shephard symbol (11 1; 1)4 1/4 γ4 3 | ||||
[1 1 15]3 | 150 | (1 1 115)3 | 15 | 75 | {3} | {10} | Shephard symbol (1 1; 11)5 same as β5 3 = | |
(11 1 15)3 | 25 | {3} | {6} | Shephard symbol (11 1; 1)5 1/5 γ5 3 | ||||
[1 1 16]3 | 216 | (1 1 116)3 | 18 | 216 | {3} | {12} | Shephard symbol (1 1; 11)6 same as β6 3 = | |
(11 1 16)3 | 36 | {3} | {6} | Shephard symbol (11 1; 1)6 1/6 γ6 3 | ||||
[1 1 14]4 | 336 | (1 1 114)4 | 42 | 168 | 112 {3} | {8} | zastoupení {3,8|,4} = {3,8}8 | |
(11 1 14)4 | 56 | {3} | {6} | |||||
[1 1 15]4 | 2160 | (1 1 115)4 | 216 | 1080 | 720 {3} | {10} | representation {3,10|,4} = {3,10}8 | |
(11 1 15)4 | 360 | {3} | {6} | |||||
[1 1 14]5 | (1 1 114)5 | 270 | 1080 | 720 {3} | {8} | representation {3,8|,5} = {3,8}10 | ||
(11 1 14)5 | 360 | {3} | {6} |
Coxeter defines other groups with anti-unitary constructions, for example these three. The first was discovered and drawn by Peter McMullen v roce 1966.[47]
Prostor | Skupina | Objednat | Coxeter symboly | Vrcholy | Hrany | Tváře | Vrchol postava | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[1 14 14](3) | 336 | (11 14 14)(3) | 56 | 168 | 84 {4} | {6} | representation {4,6|,3} = {4,6}6 | |
[15 14 14](3) | 2160 | (115 14 14)(3) | 216 | 1080 | 540 {4} | {10} | representation {4,10|,3} = {4,10}6 | |
[14 15 15](3) | (114 15 15)(3) | 270 | 1080 | 432 {5} | {8} | representation {5,8|,3} = {5,8}6 |
Prostor | Skupina | Objednat | Coxeter symboly | Vrcholy | jiný elementy | Buňky | Vrchol postava | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[1 1 2str]3 str=2,3,4... | 24str3 | (1 1 22str)3 | 4str | Shephard (22 1; 1)str same as βstr 4 = | ||||
(11 1 2str )3 | str3 | Shephard (2 1; 11)str 1/str ystr 4 | ||||||
[1 1 22]3 =[31,1,1] | 192 | (1 1 222)3 | 8 | 24 edges 32 faces | 16 | β2 4 = , skutečné 16 buněk | ||
(11 1 22 )3 | 1/2 γ2 4 = = β2 4, skutečné 16 buněk | |||||||
[1 1 2]3 | 648 | (1 1 22)3 | 12 | Shephard (22 1; 1)3 same as β3 4 = | ||||
(11 1 23)3 | 27 | Shephard (2 1; 11)3 1/3 γ3 4 | ||||||
[1 1 24]3 | 1536 | (1 1 224)3 | 16 | Shephard (22 1; 1)4 same as β4 4 = | ||||
(11 1 24 )3 | 64 | Shephard (2 1; 11)4 1/4 γ4 4 | ||||||
[14 1 2]3 | 7680 | (22 14 1)3 | 80 | Shephard (22 1; 1)4 | ||||
(114 1 2)3 | 160 | Shephard (2 1; 11)4 | ||||||
(11 14 2)3 | 320 | Shephard (2 11; 1)4 | ||||||
[1 1 2]4 | (1 1 22)4 | 80 | 640 edges 1280 triangles | 640 | ||||
(11 1 2)4 | 320 |
Prostor | Skupina | Objednat | Coxeter symboly | Vrcholy | Hrany | Fazety | Vrchol postava | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[1 1 3str]3 str=2,3,4... | 120str4 | (1 1 33str)3 | 5str | Shephard (33 1; 1)str same as βstr 5 = | ||||
(11 1 3str)3 | str4 | Shephard (3 1; 11)str 1/str ystr 5 | ||||||
[2 2 1]3 | 51840 | (2 1 22)3 | 80 | Shephard (2 1; 22)3 | ||||
(2 11 2)3 | 432 | Shephard (2 11; 2)3 |
Prostor | Skupina | Objednat | Coxeter symboly | Vrcholy | Hrany | Fazety | Vrchol postava | Poznámky |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[1 1 4str]3 str=2,3,4... | 720str5 | (1 1 44str)3 | 6str | Shephard (44 1; 1)str same as βstr 6 = | ||||
(11 1 4str)3 | str5 | Shephard (4 1; 11)str 1/str ystr 6 | ||||||
[1 2 3]3 | 39191040 | (2 1 33)3 | 756 | Shephard (2 1; 33)3 | ||||
(22 1 3)3 | 4032 | Shephard (22 1; 3)3 | ||||||
(2 11 3)3 | 54432 | Shephard (2 11; 3)3 |
Vizualizace
(1 1 114)4, has 42 vertices, 168 edges and 112 triangular faces, seen in this 14-gonal projection.
(14 14 11)(3), has 56 vertices, 168 edges and 84 square faces, seen in this 14-gonal projection.
(1 1 22)4, has 80 vertices, 640 edges, 1280 triangular faces and 640 tetrahedral cells, seen in this 20-gonal projection.[52]
Viz také
Poznámky
- ^ Peter Orlik, Victor Reiner, Anne V. Shepler. The sign representation for Shephard groups. Mathematische Annalen. March 2002, Volume 322, Issue 3, pp 477–492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 115
- ^ Coxeter, Pravidelné složité polytopy, 11.3 Petrie Polygon, jednoduchý h-gon formed by the orbit of the flag (O0,O0Ó1) for the product of the two generating reflections of any nonstarry regular complex polygon, str1{q}str2.
- ^ Complex Regular Polytopes,11.1 Regular complex polygons s. 103
- ^ Shephard, 1952; "It is from considerations such as these that we derive the notion of the interior of a polytope, and it will be seen that in unitary space where the numbers cannot be so ordered such a concept of interior is impossible. [Para break] Hence ... we have to consider unitary polytopes as configurations."
- ^ Coxeter, Regular Complex polytopes, p. 96
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. xiv
- ^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, p. 177, Table III
- ^ Lehrer & Taylor 2009, p.87
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table IV. The regular polygons. str. 178–179
- ^ Complex Polytopes, 8.9 The Two-Dimensional Case, p.88
- ^ Regular Complex Polytopes, Coxeter, pp.177-179
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 108
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 108
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 109
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 111
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 30 diagram and p. 47 indices for 8 3-edges
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 110
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 110
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 48
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 49
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 116–140.
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 118–119.
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 118-119
- ^ Complex Regular Polytopes, p.29
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table V. The nonstarry regular polyhedra and 4-polytopes. str. 180.
- ^ Coxeter, Kaleidoscopes — Selected Writings of H.S.M. Coxeter, Paper 25 Surprising relationships among unitary reflection groups, str. 431.
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 131
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 126
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 125
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 131
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table V. The nonstarry regular polyhedra and 4-polytopes. str. 180.
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table VI. The regular honeycombs. str. 180.
- ^ Complex regular polytope, p.174
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table VI. The regular honeycombs. str. 111, 136.
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table IV. The regular polygons. str. 178–179
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, 11.6 Apeirogons, pp. 111-112
- ^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, p.140
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 139-140
- ^ Complex Regular Polytopes, p.146
- ^ Complex Regular Polytopes, p.141
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 118–119, 138.
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Chapter 14, Almost regular polytopes, pp. 156–174.
- ^ Coxeter, Groups Generated by Unitary Reflections of Period Two, 1956
- ^ Coxeter, Finite Groups Generated by Unitary Reflections, 1966, 4. The Graphical Notation, Table of n-dimensional groups generated by n Unitary Reflections. pp. 422-423
- ^ Coxeter, Groups generated by Unitary Reflections of Period Two (1956), Table III: Some Complex Polytopes, p.413
- ^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, (1991), 14.6 McMullen's two polyhedral with 84 square faces, pp.166-171
- ^ Coxeter, Groups generated by Unitary Reflections of Period Two (1956), Table III: Some Complex Polytopes, p.413
- ^ Coxeter, Groups generated by Unitary Reflections of Period Two (1956), Table III: Some Complex Polytopes, p.413
- ^ Coxeter, Groups generated by Unitary Reflections of Period Two (1956), Table III: Some Complex Polytopes, p.413
- ^ Coxeter, Groups generated by Unitary Reflections of Period Two (1956), Table III: Some Complex Polytopes, p.413
- ^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, pp.172-173
Reference
- Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J.; Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny (1965), esp pp 67–80.
- Coxeter, H.S.M. (1991), Pravidelné složité polytopy, Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
- Coxeter, H. S. M. and Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,
- Shephard, G.C.; Pravidelné složité polytopy, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
- G. C. Shephard, J. A. Todd, Finite unitary reflection groups, Canadian Journal of Mathematics. 6(1954), 274-304 [2][trvalý mrtvý odkaz ]
- Gustav I. Lehrer and Donald E. Taylor, Unitary Reflection Groups, Cambridge University Press 2009
Další čtení
- F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson and Asia Ivić Weiss, editors: Kaleidoscopes — Selected Writings of H.S.M. Coxeter., Paper 25, Finite groups generated by unitary reflections, p 415-425, John Wiley, 1995, ISBN 0-471-01003-0
- McMullen, Peter; Schulte, Egon (prosinec 2002), Abstraktní pravidelné Polytopes (1. vyd.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81496-0 Kapitola 9 Unitary Groups and Hermitian Forms, pp. 289–298