Klein-Gordonova rovnice - Klein–Gordon equation

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

The Klein-Gordonova rovnice (Klein – Fock – Gordonova rovnice nebo někdy Klein – Gordon – Fockova rovnice) je relativistická vlnová rovnice, související s Schrödingerova rovnice. Je to druhého řádu v prostoru a čase a zjevně Lorentzův kovariant. Jedná se o kvantovanou verzi relativistické vztah energie a hybnosti. Mezi jeho řešení patří a kvantové skalární nebo pseudoskalární pole, pole, jehož kvantou jsou bezpáteřní částice. Jeho teoretický význam je podobný jako u Diracova rovnice.^[1] Mohou být začleněny elektromagnetické interakce, které tvoří téma skalární elektrodynamika, ale protože běžné bezvřetenové částice jako piony jsou nestabilní a také prožívají silnou interakci (s neznámým termínem interakce v Hamiltonian,^[2]) praktická užitečnost je omezená.

Rovnici lze dát do podoby Schrödingerovy rovnice. V této formě je vyjádřena jako dvě spojené diferenciální rovnice, každá prvního řádu v čase.^[3] Řešení mají dvě složky, odrážející stupeň volnosti náboje v relativitě.^[3][4] Připouští konzervované množství, ale není to jisté pozitivní. Vlnovou funkci proto nelze interpretovat jako a amplituda pravděpodobnosti. Konzervovaná veličina je místo toho interpretována jako elektrický náboj, a norma na druhou vlnové funkce je interpretována jako a hustota náboje. Rovnice popisuje všechny bezpáteřní částice s kladným, záporným a nulovým nábojem.

Jakékoli řešení volné Diracovy rovnice je z hlediska komponenty řešením volné Klein-Gordonovy rovnice. Klein-Gordonova rovnice netvoří základ konzistentní kvantové relativistické jedna částice teorie. Není známa taková teorie pro částice jakéhokoli spinu. Pro úplné sladění kvantové mechaniky se speciální relativitou, kvantová teorie pole je zapotřebí, ve kterém se znovu objeví Klein-Gordonova rovnice jako rovnice dodržovaná složkami všech volných kvantových polí.^{[pozn. 1]} V kvantové teorii pole stále hraje roli řešení volných (neinteraktivních) verzí původních rovnic. Jsou potřebné k vybudování Hilbertova prostoru (Fockový prostor ) a vyjádřit kvantová pole pomocí úplných sad (překlenujících množin Hilbertovho prostoru) vlnových funkcí.

Prohlášení

Klein-Gordonova rovnice s hmotnostním parametrem ${ displaystyle m}$ je

${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} psi - nabla ^ {2} psi + { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi = 0.}$

Řešení rovnice jsou komplexní funkce ${ displaystyle psi (t, mathbf {x})}$ časové proměnné ${ displaystyle t}$ a prostorové proměnné ${ displaystyle mathbf {x}}$; the Laplacian ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ působí pouze na prostorové proměnné.

Rovnice je často zkrácena jako

${ displaystyle ( Box + mu ^ {2}) psi = 0,}$

kde μ = mc/ħ, a □ je operátor d'Alembert, definován

${ displaystyle Box = - eta ^ { mu nu} částečný _ { mu} , částečný _ { nu} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} - nabla ^ {2}.}$

(Používáme (-, +, +, +) metrický podpis.)

Klein-Gordonova rovnice je často napsána přirozené jednotky:

${ displaystyle - částečné _ {t} ^ {2} psi + nabla ^ {2} psi = m ^ {2} psi}$.

Forma Klein-Gordonovy rovnice je odvozena tím, že to vyžaduje rovinná vlna řešení

${ displaystyle psi = e ^ {- i omega t + ik cdot x} = e ^ {ik _ { mu} x ^ { mu}}}$

rovnice poslouchat vztah energie a hybnosti speciální relativity:

${ displaystyle -p _ { mu} p ^ { mu} = E ^ {2} -P ^ {2} = omega ^ {2} -k ^ {2} = - k _ { mu} k ^ { mu} = m ^ {2}.}$

Na rozdíl od Schrödingerovy rovnice připouští Klein-Gordonova rovnice dvě hodnoty ω pro každého k: jeden pozitivní a jeden negativní. Pouze oddělením kladných a záporných kmitočtových částí se získá rovnice popisující relativistickou vlnovou funkci. Pro časově nezávislý případ se stane Klein-Gordonova rovnice

${ displaystyle left [ nabla ^ {2} - { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} right] psi ( mathbf {r}) = 0,}$

který je formálně stejný jako homogenní stíněné Poissonovy rovnice.

Dějiny

Rovnice byla pojmenována po fyzikech Oskar Klein a Walter Gordon, který v roce 1926 navrhl, že popisuje relativistické elektrony. Ostatní autoři, kteří ve stejném roce vznesli podobné nároky, byli Vladimir Fock Johann Kudar, Théophile de Donder a Frans-H. van den Dungen, a Louis de Broglie. Ačkoli se ukázalo, že modelování rotace elektronů vyžadovalo Diracova rovnice, Klein – Gordonova rovnice správně popisuje bezpáteřní relativistické složené částice, jako pion. Dne 4. července 2012 Evropská organizace pro jaderný výzkum CERN oznámil objev Higgsův boson. Protože Higgsův boson je spin-zero částice, je to první pozorovaná zdánlivě elementární částice popsat Klein-Gordonovou rovnicí. Je zapotřebí dalšího experimentování a analýzy, aby se zjistilo, zda Higgsův boson pozorováno je to Standardní model nebo exotičtější, možná složená forma.

Klein – Gordonova rovnice byla poprvé považována za rovnici kvantové vlny Schrödinger při hledání popisující rovnice de Broglieho vlny. Rovnice se nachází v jeho zápisnících z konce roku 1925 a zdá se, že připravil rukopis, který jej aplikuje na atom vodíku. Přestože rovnice nezohledňuje spin elektronu, předpovídá nesprávně jemnou strukturu atomu vodíku, včetně nadhodnocení celkové velikosti štěpného vzoru faktorem 4n/2n − 1 pro n-tá úroveň energie. Relativistické spektrum Diracova rovnice je však snadno obnovitelné, pokud je kvantové číslo orbitální hybnosti l je nahrazeno celkovým kvantovým počtem momentu hybnosti j.^[5] V lednu 1926 podal Schrödinger místo toho publikaci jeho rovnice, nerelativistická aproximace, která předpovídá Bohrovu energetickou hladinu vodíku bez ní jemná struktura.

V roce 1926, krátce po zavedení Schrödingerovy rovnice, Vladimir Fock napsal článek o jeho zobecnění pro případ magnetické pole, kde síly byli závislí na rychlost a nezávisle odvodili tuto rovnici. Klein i Fock použili Kaluzu a Kleinovu metodu. Fock také určil teorie měřidel pro vlnová rovnice. Klein-Gordonova rovnice pro a volná částice má jednoduchý rovinná vlna řešení.

Derivace

Nerelativistická rovnice pro energii volné částice je

${ displaystyle { frac { mathbf {p} ^ {2}} {2m}} = E.}$

Kvantováním to dostaneme nerelativistickou Schrödingerovu rovnici pro volnou částici:

${ displaystyle { frac { mathbf { hat {p}} ^ {2}} {2m}} psi = { hat {E}} psi,}$

kde

${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar mathbf { nabla}}$

je operátor hybnosti (∇ být operátor del ), a

${ displaystyle { hat {E}} = i hbar { frac { částečné} { částečné t}}}$

je energetický operátor.

Schrödingerova rovnice trpí tím, že není relativisticky neměnný, což znamená, že je v rozporu s speciální relativita.

Je přirozené pokusit se použít identitu ze speciální relativity popisující energii:

${ displaystyle { sqrt { mathbf {p} ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} = E.}$

Pak pouhé vložení kvantově-mechanických operátorů pro hybnost a energii získá rovnici

${ displaystyle { sqrt {(-i hbar mathbf { nabla}) ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} , psi = i hbar { frac { částečné} { částečné t}} psi.}$

Druhou odmocninu diferenciálního operátoru lze definovat pomocí Fourierovy transformace, ale kvůli asymetrii prostorových a časových derivací Dirac zjistil, že je nemožné zahrnout vnější elektromagnetická pole relativisticky neměnným způsobem. Hledal tedy další rovnici, kterou lze upravit, aby popsal působení elektromagnetických sil. Navíc tato rovnice, jak je, je nelokální (viz také Úvod do nelokálních rovnic ).

Klein a Gordon místo toho začali čtvercem výše uvedené identity, tj.

${ displaystyle mathbf {p} ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4} = E ^ {2},}$

který, když je kvantován, dává

${ displaystyle left ((- - i hbar mathbf { nabla}) ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4} right) psi = left (i hbar { frac { částečné} { částečné t}} pravé) ^ {2} psi,}$

což zjednodušuje na

${ displaystyle - hbar ^ {2} c ^ {2} mathbf { nabla} ^ {2} psi + m ^ {2} c ^ {4} psi = - hbar ^ {2} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} psi.}$

Přeskupení výnosů podmínek

${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} psi - mathbf { nabla} ^ {2 } psi + { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi = 0.}$

Protože z této rovnice byl odstraněn veškerý odkaz na imaginární čísla, lze jej použít na pole, která jsou skutečný, stejně jako ty, které mají komplexní hodnoty.

Přepis prvních dvou termínů pomocí inverzní funkce k Minkowského metrika diag (-C², 1, 1, 1)a výslovné psaní konvence Einsteinovy ​​sumace dostaneme

${ displaystyle - eta ^ { mu nu} částečné _ { mu} , částečné _ { nu} psi ekviv součet _ { mu = 0} ^ { mu = 3} součet _ { nu = 0} ^ { nu = 3} - eta ^ { mu nu} částečný _ { mu} , částečný _ { nu} psi = { frac {1} {c ^ {2}}} částečné _ {0} ^ {2} psi - součet _ { nu = 1} ^ { nu = 3} částečné _ { nu} , částečné _ { nu} psi = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} psi - mathbf { nabla} ^ {2} psi.}$

Klein-Gordonovu rovnici lze tedy napsat v kovariantní notaci. To často znamená zkratku v podobě

${ displaystyle ( Box + mu ^ {2}) psi = 0,}$

kde

${ displaystyle mu = { frac {mc} { hbar}},}$

a

${ displaystyle Box = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} - nabla ^ {2}.}$

Tento operátor se nazývá operátor d'Alembert.

Dnes je tato forma interpretována jako relativistická polní rovnice pro roztočit -0 částic.^[3] Navíc jakékoli součástka jakéhokoli řešení zdarma Diracova rovnice (pro spin-1/2 částice) je automaticky řešením volné Klein-Gordonovy rovnice. Tím se zobecní na částice jakékoli rotace způsobené Bargmann – Wignerovy rovnice. Dále v kvantová teorie pole, každá složka každého kvantového pole musí splňovat volnou Klein-Gordonovu rovnici,^[6] takže rovnice je obecným vyjádřením kvantových polí.

Klein – Gordonova rovnice v potenciálu

Klein-Gordonovu rovnici lze zobecnit a popsat pole v nějakém potenciálu PROTI(ψ) tak jako^[7]

${ displaystyle Box psi + { frac { částečné V} { částečné psi}} = 0.}$

Zachovaný proud

Zachovaný proud spojený s U(1) symetrie komplexního pole ${ displaystyle varphi (x) v mathbb {C}}$ uspokojení Klein-Gordonovy rovnice zní

${ displaystyle částečné _ { mu} J ^ { mu} (x) = 0, quad J ^ { mu} (x) equiv { frac {e} {2m}} left (, varphi ^ {*} (x) částečné ^ { mu} varphi (x) - varphi (x) částečné ^ { mu} varphi ^ {*} (x) , vpravo).}$

Formu konzervovaného proudu lze systematicky odvodit aplikací Noetherova věta do U(1) symetrie. Neuděláme to zde, ale jednoduše poskytneme důkaz, že tento konzervovaný proud je správný.

Relativistický roztok volných částic

Klein-Gordonovu rovnici pro volnou částici lze zapsat jako

${ displaystyle mathbf { nabla} ^ {2} psi - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}} } psi = { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi.}$

Hledáme řešení rovinných vln formy

${ displaystyle psi ( mathbf {r}, t) = e ^ {i ( mathbf {k} cdot mathbf {r} - omega t)}}$

pro nějakou konstantu úhlová frekvence ω ∈ ℝ a číslo vlny k ∈ ℝ³. Střídání dává disperzní vztah

${ displaystyle - | mathbf {k} | ^ {2} + { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = { frac {m ^ {2} c ^ {2} } { hbar ^ {2}}}.}$

Energie a hybnost jsou považovány za úměrné ω a k:

${ displaystyle langle mathbf {p} rangle = langle psi | -i hbar mathbf { nabla} | psi rangle = hbar mathbf {k},}$

${ displaystyle langle E rangle = left langle psi left | i hbar { frac { částečné} { částečné t}} vpravo | psi right rangle = hbar omega.}$

Disperzní vztah je tedy jen klasická relativistická rovnice:

${ displaystyle langle E rangle ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + langle mathbf {p} rangle ^ {2} c ^ {2}.}$

Pro nehmotné částice můžeme nastavit m = 0, obnovení vztahu mezi energií a hybností pro nehmotné částice:

${ displaystyle langle E rangle = { big |} langle mathbf {p} rangle { big |} c.}$

Akce

Klein-Gordonovu rovnici lze odvodit také pomocí a variační metoda, vzhledem k akci^{[pochybný – diskutovat]}

${ displaystyle { mathcal {S}} = int left (- { frac { hbar ^ {2}} {m}} eta ^ { mu nu} částečný _ { mu} { bar { psi}} , částečné _ { nu} psi -mc ^ {2} { bar { psi}} psi vpravo) mathrm {d} ^ {4} x,}$

kde ψ je pole Klein – Gordon a m je jeho hmotnost. The komplexní konjugát z ψ je psáno ψ. Pokud je skalární pole považováno za reálné, pak ψ = ψa je obvyklé zavést faktor 1/2 pro oba výrazy.

Použití vzorce pro Hilbertův tenzor napětí a energie k Lagrangeově hustotě (veličině uvnitř integrálu) můžeme odvodit tenzor napětí a energie skalárního pole. to je

${ displaystyle T ^ { mu nu} = { frac { hbar ^ {2}} {m}} vlevo ( eta ^ { mu alpha} eta ^ { nu beta} + eta ^ { mu beta} eta ^ { nu alpha} - eta ^ { mu nu} eta ^ { alpha beta} right) částečný _ { alpha} { bar { psi}} , částečné _ { beta} psi - eta ^ { mu nu} mc ^ {2} { bar { psi}} psi.}$

Integrací časové a časové složky T⁰⁰ na celém prostoru lze ukázat, že jak kladné, tak záporné kmitočtové řešení s rovinnými vlnami mohou být fyzicky spojeny s částicemi pozitivní energie. To neplatí pro Diracovu rovnici a její tenzor energie a hybnosti.^[3]

Nerelativistický limit

Klasické pole

Vezmeme-nerelativistický limit (v << c) klasického Klein-Gordonova pole ψ (X, t) začíná ansatzovým faktorem oscilačního klidová hmotnost energie období,

${ displaystyle psi ( mathbb {x}, t) = phi ( mathbb {x}, t) , e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t} quad { textrm {kde}} quad phi ( mathbb {x}, t) = u_ {E} (x) e ^ {- { frac {i} { hbar}} ne}. }$

Definování kinetické energie ${ displaystyle E '= E-mc ^ {2} = { sqrt {m ^ {2} c ^ {4} + c ^ {2} p ^ {2}}} - mc ^ {2} cca { frac {p ^ {2}} {2m}}}$, ${ displaystyle E ' ll mc ^ {2}}$ v nerelativistickém limitu v ~ p << c, a tedy

${ displaystyle left | i hbar { frac { částečné phi} { částečné t}} pravé | = E ' phi ll mc ^ {2} phi.}$

Použitím tohoto se získá nerelativistická hranice druhé časové derivace ${ displaystyle psi}$,

${ displaystyle { frac { částečné psi} { částečné t}} = levé (-i { frac {mc ^ {2}} { hbar}} phi + { frac { částečné phi } { částečné t}} pravé) , e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t} cca -i { frac {mc ^ {2}} { hbar}} phi , e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t}}$

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné t ^ {2}}} přibližně - vlevo (i { frac {2mc ^ {2}} { hbar}} { frac { částečné phi} { částečné t}} + levé ({ frac {mc ^ {2}} { hbar}} pravé) ^ {2} phi pravé) e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t}}$

Dosazením do volné Klein-Gordonovy rovnice, ${ displaystyle c ^ {- 2} částečný _ {t} ^ {2} psi = nabla ^ {2} psi -m ^ {2} psi}$, výnosy

${ displaystyle - { frac {1} {c ^ {2}}} vlevo (i { frac {2mc ^ {2}} { hbar}} { frac { částečný phi} { částečný t }} + left ({ frac {mc ^ {2}} { hbar}} right) ^ {2} phi right) e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t} přibližně vlevo ( nabla ^ {2} - vlevo ({ frac {mc ^ {2}} { hbar}} vpravo) ^ {2} vpravo) phi , e ^ {- { frac {i} { hbar}} mc ^ {2} t}}$

který (vydělením exponenciálu a odečtením hromadného členu) se zjednoduší na

${ displaystyle i hbar { frac { částečné phi} { částečné t}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} phi.}$

Tohle je klasický Schrödingerovo pole.

Kvantové pole

Analogický limit kvantového Klein-Gordonova pole je komplikován nekomutativitou operátora pole. V limitu v << c, operátory tvorby a zničení oddělit a chovat se jako nezávislé kvantum Schrödingerova pole.

Elektromagnetická interakce

Existuje jednoduchý způsob, jak zajistit, aby jakékoli pole interagovalo s elektromagnetismem v a měřidlo-invariantní způsob: nahraďte derivační operátory derivačními operátory měřidla. Důvodem je zachování symetrie fyzikálních rovnic pro vlnovou funkci ${ displaystyle varphi}$ pod místním U(1) transformace měřidla ${ displaystyle varphi to varphi '= exp (i theta) varphi}$, kde ${ displaystyle theta (t, { textbf {x}})}$ je lokálně proměnný fázový úhel, jehož transformace přesměruje vlnovou funkci v komplexním fázovém prostoru definovaném symbolem ${ displaystyle exp (i theta) = cos theta + i sin theta}$, je nutné, aby běžné deriváty ${ displaystyle částečné _ { mu}}$ být nahrazeny deriváty měřícího kovariantu ${ displaystyle D _ { mu} = částečné _ { mu} -ieA _ { mu}}$, zatímco pole měřidla se transformují jako ${ displaystyle eA _ { mu} až eA '_ { mu} = eA _ { mu} + částečný _ { mu} theta}$. Klein-Gordonova rovnice se proto stává

${ displaystyle D _ { mu} D ^ { mu} varphi = - ( částečné _ {t} -ieA_ {0}) ^ {2} varphi + ( částečné _ {i} -ieA_ {i} ) ^ {2} varphi = m ^ {2} varphi}$

v přirozené jednotky, kde A je vektorový potenciál. I když je možné přidat mnoho výrazů vyššího řádu, například

${ displaystyle D _ { mu} D ^ { mu} varphi + AF ^ { mu nu} D _ { mu} varphi D _ { nu} (D _ { alpha} D ^ { alpha} varphi) = 0,}$

tyto podmínky nejsou obnovitelné v rozměrech 3 + 1.

Polní rovnice pro nabité skalární pole se vynásobí i,^{[je zapotřebí objasnění ]} což znamená, že pole musí být komplexní. Aby se pole mohlo nabít, musí mít dvě složky, které se mohou otáčet do sebe, skutečnou a imaginární část.

Akce pro bezhmotný nabitý skalár je kovariantní verzí nenabité akce:

${ displaystyle S = int _ {x} eta ^ { mu nu} vlevo ( částečné _ { mu} varphi ^ {*} + ieA _ { mu} varphi ^ {*} vpravo ) left ( partial _ { nu} varphi -ieA _ { nu} varphi right) = int _ {x} | D varphi | ^ {2}.}$

Gravitační interakce

v obecná relativita, zahrneme účinek gravitace nahrazením částečného s kovarianční deriváty a Klein-Gordonova rovnice se stává (v většinou plusový podpis )^[8]

${ displaystyle { begin {aligned} 0 & = - g ^ { mu nu} nabla _ { mu} nabla _ { nu} psi + { dfrac {m ^ {2} c ^ {2 }} { hbar ^ {2}}} psi = -g ^ { mu nu} nabla _ { mu} ( částečný _ { nu} psi) + { dfrac {m ^ {2 } c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi & = - g ^ { mu nu} částečný _ { mu} částečný _ { nu} psi + g ^ { mu nu} Gamma ^ { sigma} {} _ { mu nu} částečný _ { sigma} psi + { dfrac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi, end {zarovnáno}}}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle { frac {-1} { sqrt {-g}}} částečný _ { mu} vlevo (g ^ { mu nu} { sqrt {-g}} částečný _ { nu} psi right) + { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi = 0,}$

kde G^αβ je inverzní k metrický tenzor to je pole gravitačního potenciálu, G je určující metrického tenzoru, ∇_μ je kovarianční derivace, a Γ^σ_μν je Christoffelův symbol to je gravitační silové pole.

Viz také

• Diracova rovnice
• Teorie kvantového pole
• Kvartická interakce
• Relativistické vlnové rovnice
• Rarita – Schwingerova rovnice
• Teorie skalárního pole
• Sine – Gordonova rovnice

Poznámky

Poznámky

Reference

• Davydov, A. S. (1976). Kvantová mechanika, 2. vydání. Pergamon Press. ISBN  0-08-020437-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Feshbach, H .; Villars, F. (1958). "Elementární relativistická vlnová mechanika rotace 0 a rotace 1/2 částic". Recenze moderní fyziky. 30 (1): 24–45. Bibcode:1958RvMP ... 30 ... 24F. doi:10.1103 / RevModPhys.30.24.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gordon, Walter (1926). „Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie“. Zeitschrift für Physik. 40 (1–2): 117. Bibcode:1926ZPhy ... 40..117G. doi:10.1007 / BF01390840. S2CID  122254400.
• Greiner, W. (2000). Relativistická kvantová mechanika. Vlnové rovnice (3. vyd.). Springer Verlag. ISBN  3-5406-74578.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Greiner, W .; Müller, B. (1994). Kvantová mechanika: symetrie (2. vyd.). Springer. ISBN  978-3540580805.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gross, F. (1993). Relativistická kvantová mechanika a teorie pole (1. vyd.). Wiley-VCH. ISBN  978-0471591139.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Klein, O. (1926). „Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie“. Zeitschrift für Physik. 37 (12): 895. Bibcode:1926ZPhy ... 37..895K. doi:10.1007 / BF01397481.
• Sakurai, J. J. (1967). Pokročilá kvantová mechanika. Addison Wesley. ISBN  0-201-06710-2.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Weinberg, S. (2002). Kvantová teorie polí. Já. Cambridge University Press. ISBN  0-521-55001-7.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

• „Klein – Gordonova rovnice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Klein-Gordonova rovnice“. MathWorld.
• Lineární Klein-Gordonova rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
• Nelineární Klein-Gordonova rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
• Úvod do nelokálních rovnic.