Gausssův zákon - Gausss law - Wikipedia

v fyzika, Gaussův zákon, také známý jako Gaussova věta o toku, je zákon týkající se distribuce elektrický náboj k výslednému elektrické pole. Ve své integrální formě uvádí, že tok z elektrické pole z libovolného uzavřený povrch je úměrná elektrický náboj uzavřený povrchem, bez ohledu na to, jak je tento náboj distribuován. I když samotný zákon nestačí k určení elektrického pole přes povrch obklopující jakékoli rozložení náboje, je to možné v případech, kdy symetrie vyžaduje uniformitu pole. Tam, kde taková symetrie neexistuje, lze použít Gaussův zákon v jeho diferenciální formě, který říká, že divergence elektrického pole je úměrná místní hustotě náboje.
Zákon byl první[1] formuloval Joseph-Louis Lagrange v roce 1773,[2] následován Carl Friedrich Gauss v roce 1813,[3] oba v kontextu přitažlivosti elipsoidů. Je to jeden z Maxwellovy čtyři rovnice, které tvoří základ klasická elektrodynamika.[poznámka 1] Gaussův zákon lze použít k odvození Coulombův zákon,[4] a naopak.
Kvalitativní popis
Slovy to říká Gaussův zákon
Síť elektrický tok přes jakékoli hypotetické uzavřený povrch je rovný krát síť elektrický náboj uvnitř uzavřeného povrchu.[5]
Gaussův zákon má blízkou matematickou podobnost s řadou zákonů v jiných oblastech fyziky, jako např Gaussův zákon pro magnetismus a Gaussův zákon pro gravitaci. Vlastně jakékoli zákon inverzního čtverce lze formulovat podobným způsobem jako Gaussův zákon: například samotný Gaussův zákon je v podstatě ekvivalentní inverznímu čtverci Coulombův zákon a Gaussův zákon gravitace je v podstatě ekvivalentní inverznímu čtverci Newtonův gravitační zákon.
Zákon lze vyjádřit matematicky pomocí vektorový počet v integrální formulář a rozdíl formulář; oba jsou rovnocenné, protože jsou ve vztahu věta o divergenci, nazývaný také Gaussova věta. Každá z těchto forem může být také vyjádřena dvěma způsoby: Pokud jde o vztah mezi elektrické pole E a celkový elektrický náboj, nebo ve smyslu pole elektrického posunu D a volný, uvolnit elektrický náboj.[6]
Rovnice zahrnující E pole
Gaussův zákon lze určit buď pomocí elektrické pole E nebo pole elektrického posunu D. Tato část ukazuje některé formuláře s E; formulář s D je níže, stejně jako jiné formy s E.
Integrální forma


Gaussův zákon lze vyjádřit jako:[6]
kde ΦE je elektrický tok skrz uzavřený povrch S uzavírající jakýkoli svazek PROTI, Q je celkem nabít uvnitř PROTI, a ε0 je elektrická konstanta. Elektrický tok ΦE je definována jako a povrchový integrál z elektrické pole:
kde E je elektrické pole, dA je vektor představující infinitezimální prvek plocha povrchu,[poznámka 2] a · představuje Tečkovaný produkt dvou vektorů.
Protože tok je definován jako integrální elektrického pole, tento výraz Gaussova zákona se nazývá integrální forma.

V problémech zahrnujících vodiče nastavené na známé potenciály se potenciál od nich získá řešením Laplaceova rovnice analyticky nebo numericky. Elektrické pole se poté vypočítá jako negativní gradient potenciálu. Gaussův zákon umožňuje najít distribuci elektrického náboje: Poplatek v kterékoli dané oblasti vodiče lze odvodit integrací elektrického pole k nalezení toku skrz malou skříňku, jejíž strany jsou kolmé k povrchu vodiče, a tím, že elektrické pole je kolmé k povrchu a uvnitř vodiče nula.
Zpětný problém, kdy je známo rozložení elektrického náboje a je třeba vypočítat elektrické pole, je mnohem obtížnější. Celkový tok daným povrchem poskytuje málo informací o elektrickém poli a může se pohybovat dovnitř a ven z povrchu v libovolně komplikovaných vzorcích.
Výjimkou je, pokud nějaké existují symetrie v problému, který nařizuje, aby elektrické pole prošlo povrchem jednotným způsobem. Pak, pokud je znám celkový tok, lze v každém bodě odvodit samotné pole. Mezi běžné příklady symetrií, které jsou vhodné pro Gaussův zákon, patří: válcová symetrie, rovinná symetrie a sférická symetrie. Viz článek Gaussův povrch pro příklady, kde jsou tyto symetrie využívány k výpočtu elektrických polí.
Diferenciální forma
Podle věta o divergenci, Gaussův zákon lze alternativně zapsat do diferenciální forma:
kde ∇ · E je divergence elektrického pole, ε0 je elektrická konstanta, a ρ je objem hustota náboje (poplatek za jednotku objemu).
Ekvivalence integrálních a diferenciálních forem
Integrální a diferenciální formy jsou matematicky ekvivalentní věta o divergenci. Zde je argument konkrétněji.
Nástin důkazu Integrální forma Gaussova zákona je: pro jakýkoli uzavřený povrch S obsahující náboj Q. Podle věty o divergenci je tato rovnice ekvivalentní:
pro jakýkoli svazek PROTI obsahující náboj Q. Vztahem mezi nábojem a hustotou náboje je tato rovnice ekvivalentní:
pro jakýkoli svazek PROTI. Aby tato rovnice byla současně pravda pro každý možný objem PROTI, je nutné (a dostačující), aby byla celá čísla stejná všude. Proto je tato rovnice ekvivalentní:
Integrální a diferenciální formy jsou tedy ekvivalentní.
-
Rovnice zahrnující D pole
Zdarma, vázaný a celkový poplatek
Elektrický náboj, který vznikne v nejjednodušších učebnicových situacích, by byl klasifikován jako „bezplatný náboj“ - například náboj, který se přenáší v statická elektřina, nebo poplatek na a kondenzátor talíř. Naproti tomu „vázaný náboj“ vzniká pouze v kontextu dielektrikum (polarizovatelné) materiály. (Všechny materiály jsou do určité míry polarizovatelné.) Když jsou tyto materiály umístěny ve vnějším elektrickém poli, elektrony zůstanou navázány na příslušné atomy, ale posunou mikroskopickou vzdálenost v reakci na pole, takže jsou více na jedné straně atomu než druhý. Všechny tyto mikroskopické posuny se sčítají a poskytují makroskopické rozložení čistého náboje, což představuje „vázaný náboj“.
I když je mikroskopicky veškerý náboj v zásadě stejný, často existují praktické důvody, proč chtít zacházet s vázaným nábojem odlišně od poplatku zdarma. Výsledkem je, že základnější Gaussův zákon, pokud jde o E (výše), se někdy uvádí do ekvivalentní podoby níže, což je ve smyslu D a pouze bezplatný poplatek.
Integrální forma
Tato formulace Gaussova zákona stanoví celkovou formu poplatku:
kde ΦD je D-pole tok skrz povrch S který uzavírá svazek PROTI, a Qvolný, uvolnit je bezplatný poplatek obsažený v PROTI. Tok ΦD je definován analogicky k toku ΦE elektrického pole E přes S:
Diferenciální forma
Diferenciální forma Gaussova zákona, zahrnující pouze bezplatný poplatek, uvádí:
kde ∇ · D je divergence - pole elektrického posunu a - ρvolný, uvolnit je hustota bezplatného elektrického náboje.
Ekvivalence celkových a bezplatných výpisů
Důkaz, že formulace Gaussova zákona, pokud jde o bezplatný poplatek, jsou ekvivalentní formulacím zahrnujícím celkový poplatek. V tomto důkazu ukážeme, že rovnice je ekvivalentní s rovnicí
Všimněte si, že máme co do činění pouze s diferenciálními formami, nikoli s integrálními formami, ale to je dostačující, protože diferenciální a integrální formy jsou v každém případě ekvivalentní teorémem o divergenci.
Představujeme hustota polarizace P, který má následující vztah k E a D:
a následující vztah k vázanému poplatku:
Nyní zvažte tři rovnice:
Klíčovým poznatkem je, že součet prvních dvou rovnic je třetí rovnicí. Tím je dokončen důkaz: První rovnice je podle definice pravdivá, a proto platí druhá rovnice kdyby a jen kdyby třetí rovnice je pravdivá. Druhá a třetí rovnice jsou tedy ekvivalentní, což jsme chtěli dokázat.
Rovnice pro lineární materiály
v homogenní, izotropní, nedisperzní, lineární materiály, existuje jednoduchý vztah mezi E aD:
kde ε je permitivita materiálu. Pro případ vakuum (aka volný prostor ), ε = ε0. Za těchto okolností se Gaussův zákon upravuje na
pro integrální formu a
pro diferenciální formu.
Výklady
![]() | Tato sekce může obsahovat obsah, který se opakuje nebo je nadbytečný v textu kdekoli v článku. Prosím pomozte vylepši to sloučením podobného textu nebo odstraněním opakovaných příkazů. (Září 2016) |
Pokud jde o silová pole
Gaussovu větu lze interpretovat z hlediska silových linií pole takto:
Tok skrz uzavřený povrch je závislý jak na velikosti, tak na směru linií elektrického pole pronikajících na povrch. Obecně je pozitivní tok definován těmito liniemi opouštějícími povrch a negativní tok liniemi vstupujícími na tento povrch. To má za následek, že kladné náboje způsobují kladný tok a záporné náboje vytvářejí záporný tok. Tyto čáry elektrického pole se rozšíří na nekonečné snížení síly o faktor jedna na vzdálenost od zdroje náboje na druhou. Čím větší je počet siločar vycházejících z náboje, tím větší je velikost náboje a čím blíže k sobě jsou siločáry, tím větší je velikost elektrického pole. To má přirozený výsledek toho, že elektrické pole zeslabuje, jak se člověk vzdaluje od nabité částice, ale zvětšuje se také povrchová plocha, takže čisté elektrické pole opouštějící tuto částici zůstane stejné. Jinými slovy, uzavřený integrál elektrického pole a bodový derivát oblasti se budou rovnat uzavřenému síťovému náboji dělenému permitivitou volného prostoru.
Vztah k Coulombovu zákonu
Odvození Gaussova zákona od Coulombova zákona
Přísně vzato, z Gaussova zákona nelze odvodit Coulombův zákon sám, protože Coulombův zákon dává elektrické pole kvůli jednotlivci bodový náboj pouze. Gaussův zákon umět být prokázáno z Coulombova zákona, pokud se navíc předpokládá, že elektrické pole se řídí princip superpozice. Princip superpozice říká, že výsledné pole je vektorový součet polí generovaných každou částicí (nebo integrálem, pokud jsou náboje v prostoru rozloženy hladce).
Nástin důkazu Coulombův zákon uvádí, že elektrické pole v důsledku stacionární bodový náboj je: kde
- Er je radiální jednotkový vektor,
- r je poloměr, |r|,
- ε0 je elektrická konstanta,
- q je náboj částice, o kterém se předpokládá, že je umístěn na původ.
Pomocí výrazu z Coulombova zákona dostaneme celkové pole na r pomocí integrálu k sečtení pole na r kvůli nekonečně malému náboji v každém druhém bodě s ve vesmíru, dát
kde ρ je hustota náboje. Vezmeme-li divergenci obou stran této rovnice s ohledem na ra použijte známou větu[8]
kde δ(r) je Diracova delta funkce, výsledek je
Za použití "prosívání majetku „funkce Diracova delta, dorazíme k
což je podle potřeby diferenciální forma Gaussova zákona.
Vzhledem k tomu, že Coulombův zákon se vztahuje pouze na stacionární poplatky, není důvod očekávat, že Gaussův zákon bude platit pro pohyblivé poplatky pouze na základě této derivace. Ve skutečnosti platí Gaussův zákon pro pohyblivé nálože a v tomto ohledu je Gaussův zákon obecnější než Coulombův zákon.
Důkaz (bez Dirac Delta) Nechat být omezenou otevřenou sadou a být elektrickým polem s spojitá funkce (hustota náboje). To platí pro všechny že .
Zvažte nyní kompaktní sadu mít a po částech hladká hranice takhle . Z toho vyplývá, že a tak pro teorém o divergenci:
Ale protože ,
- = 0 pro výše uvedený argument ( a pak )
Proto je tok uzavřeným povrchem generovaný určitou hustotou náboje venku (povrch) nulový.
Nyní zvažte , a jak koule vycentrovala dovnitř mít jako poloměr (existuje, protože je otevřená sada).
Nechat a být elektrické pole vytvořené uvnitř koule nebo vně koule. Pak,
- = , = a + =
Poslední rovnost následuje pozorováním toho a výše uvedený argument.
RHS je elektrický tok generovaný nabitou koulí, a tak:
Kde poslední rovnost následuje větou o střední hodnotě pro integrály. Za použití zmáčknout teorém a kontinuita , jeden dorazí na:
Odvození Coulombova zákona od Gaussova zákona
Striktně vzato, Coulombův zákon nelze odvodit pouze z Gaussova zákona, protože Gaussův zákon neposkytuje žádné informace týkající se kučera z E (vidět Helmholtzův rozklad a Faradayův zákon ). Coulombův zákon umět z Gaussova zákona lze dokázat, pokud se navíc předpokládá, že elektrické pole z a bodový náboj je sféricky symetrický (tento předpoklad, stejně jako samotný Coulombův zákon, platí přesně, pokud je náboj stacionární, a přibližně stejný, pokud je náboj v pohybu).
Nástin důkazu Brát S v integrální formě Gaussova zákona být sférický povrch o poloměru r, soustředěný na bodový náboj Q, my máme Za předpokladu sférické symetrie je integrand konstanta, kterou lze vyjmout z integrálu. Výsledek je
kde r̂ je jednotkový vektor směřující radiálně od náboje. Opět sférickou symetrií, E body v radiálním směru, a tak dostaneme
což je v zásadě ekvivalentní Coulombovu zákonu. Tak zákon inverzního čtverce závislost elektrického pole v Coulombově zákoně vyplývá z Gaussova zákona.
Viz také
Poznámky
- ^ Ostatní tři z Maxwellovy rovnice jsou: Gaussův zákon pro magnetismus, Faradayův zákon indukce, a Ampereův zákon s Maxwellovou korekcí
- ^ Přesněji řečeno, nekonečně malá oblast je považována za rovinný as oblastí dA. Vektor dA je normální k tomuto plošnému prvku a má velikost dA.[7]
Citace
- ^ Duhem, Pierre. Leçons sur l'électricité et le magnétisme (francouzsky). sv. 1, kap. 4, s. 22–23. ukazuje, že Lagrange má přednost před Gaussem. Další poté, co Gauss objevil „Gaussův zákon“, také.
- ^ Lagrange, Joseph-Louis (1773). „Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques“. Mémoires de l'Académie de Berlin (ve francouzštině): 125.
- ^ Gauss, Carl Friedrich (1877). Theoria Attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (v latině). (Gauss, Werke, sv. V, str. 1). Gauss zmiňuje Newton je Principia nabídka XCI týkající se zjištění síly vyvíjené koulí na bod kdekoli podél osy procházející koulí.
- ^ Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Základy fyziky. John Wiley & Sons. 452–453.
- ^ Serway, Raymond A. (1996). Fyzika pro vědce a inženýry s moderní fyzikou (4. vydání). str. 687.
- ^ A b Grant, I. S .; Phillips, W. R. (2008). Elektromagnetismus. Manchester Physics (2. vydání). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
- ^ Matthews, Paul (1998). Vektorový počet. Springer. ISBN 3-540-76180-2.
- ^ Viz například Griffiths, David J. (2013). Úvod do elektrodynamiky (4. vydání). Prentice Hall. str. 50.
Reference
- Gauss, Carl Friedrich (1867). Werke Band 5. Digitální verze
- Jackson, John David (1998). Klasická elektrodynamika (3. vyd.). New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X. David J. Griffiths (6. vyd.)
externí odkazy
- Série přednášek o videu MIT (přednášky 30 x 50 minut) - elektřina a magnetismus Učil profesor Walter Lewin.
- část o Gaussově zákonu v online učebnici
- MISN-0-132 Gaussův zákon pro sférickou symetrii (Soubor PDF ) od Petera Signella pro Projekt PHYSNET.
- MISN-0-133 Gaussův zákon platil pro válcové a planární distribuce náboje (Soubor PDF) od Petera Signella pro Projekt PHYSNET.