Rellich – Kondrachovova věta - Rellich–Kondrachov theorem

v matematika, Rellich – Kondrachovova věta je kompaktní vložení teorém vztahující se k Sobolevovy prostory. Je pojmenována po rakousko-německém matematikovi Franz Rellich a ruský matematik Vladimir Iosifovich Kondrashov. Rellich dokázal L² věta a Kondrashov L^p teorém.

Výrok věty

Nechť Ω ⊆Rⁿ být otevřeno, ohraničený Lipschitzova doména, a nechť 1 ≤p < n. Soubor

${ displaystyle p ^ {*}: = { frac {np} {n-p}}.}$

Pak Sobolevův prostor Ž^1,p(Ω;R) je průběžně vloženo v L^p prostor L^p∗(Ω;R) a je kompaktně zabudováno v L^q(Ω;R) za každou 1 ≤q < p^∗. V symbolech,

${ displaystyle W ^ {1, p} ( Omega) hookrightarrow L ^ {p ^ {*}} ( Omega)}$

a

${ displaystyle W ^ {1, p} ( Omega) podmnožina podmnožina L ^ {q} ( Omega) { text {pro}} 1 leq q$

Kondrachov věta o vložení

Na kompaktním potrubí s C¹ hranice, Kondrachov věta o vložení uvádí, že pokud k > ℓ a k − n/p > ℓ − n/q pak Sobolevovo vložení

${ displaystyle W ^ {k, p} (M) podmnožina W ^ { ell, q} (M)}$

je zcela kontinuální (kompaktní).

Důsledky

Protože vložení je kompaktní kdyby a jen kdyby operátor zahrnutí (identity) je a kompaktní operátor, Rellich – Kondrachovova věta znamená, že každá rovnoměrně ohraničená sekvence v Ž^1,p(Ω;R) má subsekvenci, která konverguje L^q(Ω;R). Uvedeno v této podobě, v minulosti byl výsledek někdy označován jako Věta o výběru Rellich – Kondrachov, protože jeden „vybere“ konvergentní subsekvenci. (Nicméně dnes je obvyklým názvem „věta o kompaktnosti“, zatímco „věta o výběru“ má přesný a zcela odlišný význam, odkazující na multifunkční ).

K prokázání lze použít Rellich – Kondrachovovu větu Poincarého nerovnost,^[1] který uvádí, že pro u ∈ Ž^1,p(Ω;R) (kde Ω splňuje stejné hypotézy jako výše),

${ displaystyle | u-u _ { Omega} | _ {L ^ {p} ( Omega)} leq C | nabla u | _ {L ^ {p} ( Omega)}}$

pro nějakou konstantu C záleží jen na p a geometrii domény Ω, kde

${ displaystyle u _ { Omega}: = { frac {1} { operatorname {measure} ( Omega)}} int _ { Omega} u (x) , mathrm {d} x}$

označuje střední hodnotu u přes Ω.

Reference

Literatura

• Evans, Lawrence C. (2010). Parciální diferenciální rovnice (2. vyd.). Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-4974-3.
• Kondrachov, V. I., O určitých vlastnostech funkcí v prostoru L p. Dokl. Akad. Nauk SSSR 48, 563–566 (1945).
• Leoni, Giovanni (2009). První kurz v Sobolevových prostorech. Postgraduální studium matematiky. 105. Americká matematická společnost. str. xvi + 607. ISBN  978-0-8218-4768-8. PAN 2527916. Zbl 1180.46001
• Rellich, Franz (24. ledna 1930). „Ein Satz über mittlere Konvergenz“. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (v němčině). 1930: 30–35. JFM  56.0224.02.