v lineární algebra, an ortogonální transformace je lineární transformace T : PROTI → PROTI na nemovitý vnitřní produktový prostor PROTI, který zachovává vnitřní produkt. To znamená pro každý pár u, proti prvkůPROTI, my máme[1]
Protože délky vektorů a úhly mezi nimi jsou definovány prostřednictvím vnitřního součinu, ortogonální transformace zachovávají délky vektorů a úhlů mezi nimi. Zejména mapa ortogonálních transformací ortonormální základy na ortonormální základy.
Ortogonální transformace jsou injekční: pokud pak , proto , takže jádro z je triviální.
Ortogonální transformace ve dvou nebo třechdimenzionální Euklidovský prostor jsou tuhé rotace, odrazy nebo kombinace rotace a odrazu (také známé jako nesprávné otáčení ). Odrazy jsou transformace, které obracejí směr zepředu dozadu, kolmý k rovině zrcadla, jako zrcadla (ve skutečném světě). The matice odpovídající správným rotacím (bez odrazu) mají a určující +1. Transformace s odrazem jsou reprezentovány maticemi s determinantem -1. To umožňuje zobecnit koncept rotace a odrazu do vyšších dimenzí.
V konečných dimenzionálních prostorech je maticová reprezentace (vzhledem k ortonormální základ ) ortogonální transformace je ortogonální matice. Jeho řádky jsou vzájemně ortogonální vektory s jednotkovou normou, takže řádky tvoří ortonormální základPROTI. Sloupce matice tvoří další ortonormální základPROTI.
Pokud je ortogonální transformace invertibilní (což je vždy případ, kdy PROTI je konečně-dimenzionální), pak jeho inverzní je další ortogonální transformace. Jeho maticová reprezentace je transpozice maticové reprezentace původní transformace.
Příklady
Zvažte vnitřní produktový prostor se standardním euklidovským vnitřním produktem a standardní základnou. Poté transformace matice
je kolmý. Chcete-li to vidět, zvažte
Pak,
Předchozí příklad lze rozšířit o konstrukci všech ortogonálních transformací. Například následující matice definují ortogonální transformace :
Viz také
Reference