Seznam vzorců v Riemannově geometrii - List of formulas in Riemannian geometry

Toto je seznam vzorce narazil na [gamma ijk = gamma jik částečně na vztazích symetrie Christoffel symboly prvního druhu. [Riemannova geometrie]].

Christoffel symboly, kovarianční derivace

Hladce souřadnicový graf, Christoffel symboly prvního druhu jsou dány

${displaystyle Gamma _ {kij} = {frac {1} {2}} vlevo ({frac {částečné} {částečné x ^ {j}}} g_ {ki} + {frac {částečné} {částečné x ^ {i} }} g_ {kj} - {frac {částečný} {částečný x ^ {k}}} g_ {ij} ight) = {frac {1} {2}} vlevo (g_ {ki, j} + g_ {kj, i} -g_ {ij, k} ight) ,,}$

a symboly Christoffel druhého druhu podle

${displaystyle {egin {aligned} Gamma ^ {m} {} _ {ij} & = g ^ {mk} Gamma _ {kij} & = {frac {1} {2}}, g ^ {mk} vlevo ( {frac {částečné} {částečné x ^ {j}}} g_ {ki} + {frac {částečné} {částečné x ^ {i}}} g_ {kj} - {frac {částečné} {částečné x ^ {k} }} g_ {ij} ight) = {frac {1} {2}}, g ^ {mk} vlevo (g_ {ki, j} + g_ {kj, i} -g_ {ij, k} ight) ,. konec {zarovnáno}}}$

Tady ${displaystyle g ^ {ij}}$ je inverzní matice na metrický tenzor ${displaystyle g_ {ij}}$. Jinými slovy,

${displaystyle delta ^ {i} {} _ {j} = g ^ {ik} g_ {kj}}$

a tudíž

${displaystyle n = delta ^ {i} {} _ {i} = g ^ {i} {} _ {i} = g ^ {ij} g_ {ij}}$

je rozměr potrubí.

Symboly Christoffel uspokojují vztahy symetrie

${displaystyle Gamma _ {kij} = Gamma _ {kji}}$ nebo ${displaystyle Gamma ^ {i} {} _ {jk} = Gamma ^ {i} {} _ {kj}}$,

druhý z nich je ekvivalentní torzní pružnosti Připojení Levi-Civita.

Smluvní vztahy na Christoffelských symbolech jsou dány vztahem

${displaystyle Gamma ^ {i} {} _ {ki} = {frac {1} {2}} g ^ {im} {frac {částečný g_ {im}} {částečný x ^ {k}}} = {frac { 1} {2g}} {frac {částečný g} {částečný x ^ {k}}} = {frac {částečný protokol {sqrt {| g |}}} {částečný x ^ {k}}}}$

a

${displaystyle g ^ {kell} Gamma ^ {i} {} _ {kell} = {frac {-1} {sqrt {| g |}}}; {frac {částečný vlevo ({sqrt {| g |}}, g ^ {ik} ight)} {částečné x ^ {k}}}}$

kde |G| je absolutní hodnota určující metrického tenzoru ${displaystyle g_ {ik}}$. Jsou užitečné při řešení divergencí a Laplacianů (viz níže).

The kovarianční derivace a vektorové pole s komponenty ${displaystyle v ^ {i}}$ je dána:

${displaystyle v ^ {i} {} _ {; j} = (abla _ {j} v) ^ {i} = {frac {částečné v ^ {i}} {částečné x ^ {j}}} + gama ^ {i} {} _ {jk} v ^ {k}}$

a podobně kovariantní derivát a ${displaystyle (0,1)}$-tenzorové pole s komponenty ${displaystyle v_ {i}}$ je dána:

${displaystyle v_ {i; j} = (abla _ {j} v) _ {i} = {frac {částečné v_ {i}} {částečné x ^ {j}}} - gama ^ {k} {} _ { ij} v_ {k}}$

Pro ${displaystyle (2,0)}$-tenzorové pole s komponenty ${displaystyle v ^ {ij}}$ toto se stává

${displaystyle v ^ {ij} {} _ {; k} = abla _ {k} v ^ {ij} = {frac {částečné v ^ {ij}} {částečné x ^ {k}}} + gama ^ {i } {} _ {kell} v ^ {ell j} + Gamma ^ {j} {} _ {kell} v ^ {iell}}$

a podobně pro tenzory s více indexy.

Kovarianční derivace funkce (skalární) ${displaystyle phi}$ je jen jeho obvyklý rozdíl:

${displaystyle abla _ {i} phi = phi _ {; i} = phi _ {, i} = {frac {částečný phi} {částečný x ^ {i}}}}$

Protože Připojení Levi-Civita je metrický kompatibilní, kovariantní deriváty metrik zmizí,

${displaystyle (abla _ {k} g) _ {ij} = 0, quad (abla _ {k} g) ^ {ij} = 0}$

stejně jako kovarianční deriváty metrického determinantu (a objemového prvku)

${displaystyle abla _ {k} {sqrt {| g |}} = 0}$

The geodetické ${displaystyle X (t)}$ počínaje počátkem s počáteční rychlostí ${displaystyle v ^ {i}}$ má v grafu Taylorovu expanzi:

${displaystyle X (t) ^ {i} = tv ^ {i} - {frac {t ^ {2}} {2}} Gamma ^ {i} {} _ {jk} v ^ {j} v ^ {k } + O (t ^ {3})}$

Tenzory zakřivení

Definice

(3,1) Riemannův tenzor zakřivení

• ${displaystyle {R_ {ijk}} ^ {l} = {frac {částečné gama _ {ik} ^ {l}} {částečné x ^ {j}}} - {frac {částečné gama _ {jk} ^ {l} } {částečné x ^ {i}}} + součet _ {p = 1} ^ {n} {ig (} Gamma _ {ik} ^ {p} Gamma _ {jp} ^ {l} -Gamma _ {jk} ^ {p} Gamma _ {ip} ^ {l} {ig)}}$
• ${displaystyle R (u, v) w = abla _ {v} abla _ {u} w-abla _ {u} abla _ {v} w-abla _ {[v, u]} w}$

Ricciho zakřivení

• ${displaystyle R_ {ik} = součet _ {j = 1} ^ {n} {R_ {ijk}} ^ {j}}$
• ${displaystyle operatorname {Ric} (u, v) = operatorname {tr} (vmapsto R (u, v) w)}$

Skalární zakřivení

• ${displaystyle R = součet _ {i = 1} ^ {n} součet _ {k = 1} ^ {n} g ^ {ik} R_ {ik}}$
• ${displaystyle R = operatorname {tr} _ {g} operatorname {Ric}}$

Traceless Ricciho tenzor

• ${displaystyle Q_ {ik} = R_ {ik} - {frac {1} {n}} Rg_ {ik}}$
• ${displaystyle Q (u, v) = operatorname {Ric} (u, v) - {frac {1} {n}} Rg (u, v)}$

(4,0) Riemannův tenzor zakřivení

• ${displaystyle R_ {ijkl} = součet _ {p = 1} ^ {n} {R_ {ijk}} ^ {p} g_ {pl}}$
• ${displaystyle operatorname {Rm} (u, v, w, x) = g {ig (} R (u, v) w, x {ig)}}$

(4,0) Weylův tenzor

• ${displaystyle W_ {ijkl} = R_ {ijkl} - {frac {1} {n (n-1)}} R {ig (} g_ {ik} g_ {jl} -g_ {il} g_ {jk} {ig )} - {frac {1} {n-2}} {ig (} Q_ {ik} g_ {jl} -Q_ {jk} g_ {il} -Q_ {il} g_ {jk} + Q_ {jl} g_ {ik} {ig)}}$
• ${displaystyle W (u, v, w, x) = operatorname {Rm} (u, v, w, x) - {frac {1} {n (n-1)}} R {ig (} g (u, w) g (v, x) -g (u, x) g (v, w) {ig)} - {frac {1} {n-2}} {ig (} Q (u, w) g (v , x) -Q (v, w) g (u, x) -Q (u, x) g (v, w) + Q (v, x) g (u, w) {ig)}}$

Einsteinův tenzor

• ${displaystyle G_ {ik} = R_ {ik} - {frac {1} {2}} Rg_ {ik}}$
• ${displaystyle G (u, v) = operatorname {Ric} (u, v) - {frac {1} {2}} Rg (u, v)}$

Totožnosti

Vidět Důkazy zahrnující symboly Christoffel pro některé důkazy

Základní symetrie

• ${displaystyle {R_ {ijk}} ^ {l} = - {R_ {jik}} ^ {l}}$
• ${displaystyle R_ {ijkl} = - R_ {jikl} = - R_ {ijlk} = R_ {klij}}$

Weylův tenzor má stejné základní symetrie jako Riemannův tenzor, ale jeho „analog“ Ricciho tenzoru je nulový:

• ${displaystyle W_ {ijkl} = - W_ {jikl} = W_ {ijlk} = W_ {klij}}$
• ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {l = 1} ^ {n} g ^ {il} W_ {ijkl} = 0}$

Ricciho tenzor, Einsteinův tenzor a stopový Ricciho tenzor jsou symetrické 2-tenzory:

• ${displaystyle R_ {jk} = R_ {kj}}$
• ${displaystyle G_ {jk} = G_ {kj}}$
• ${displaystyle Q_ {jk} = Q_ {kj}}$

První identita Bianchi

• ${displaystyle R_ {ijkl} + R_ {jkil} + R_ {kijl} = 0}$
• ${displaystyle W_ {ijkl} + W_ {jkil} + W_ {kijl} = 0}$

Druhá identita Bianchi

• ${displaystyle abla _ {p} R_ {ijkl} + abla _ {i} R_ {jpkl} + abla _ {j} R_ {pikl} = 0}$
• ${displaystyle (abla _ {u} operatorname {Rm}) (v, w, x, y) + (abla _ {v} operatorname {Rm}) (w, u, x, y) + (abla _ {w} operatorname {Rm}) (u, v, x, y) = 0}$

Sjednaná druhá identita Bianchi

• ${displaystyle abla _ {j} R_ {pk} -abla _ {p} R_ {jk} = - abla ^ {l} R_ {jpkl}}$
• ${displaystyle (abla _ {u} operatorname {Ric}) (v, w) - (abla _ {v} operatorname {Ric}) (u, w) = - operatorname {tr} _ {g} {ig (} ( x, y) mapsto (abla _ {x} operatorname {Rm}) (u, v, w, y) {ig)}}$

Dvakrát uzavřená druhá identita Bianchi

• ${displaystyle sum _ {p = 1} ^ {n} sum _ {q = 1} ^ {n} g ^ {pq} abla _ {p} R_ {qk} = {frac {1} {2}} abla _ {k} R}$
• ${displaystyle operatorname {div} _ {g} operatorname {Ric} = {frac {1} {2}} dR}$

Ekvivalentně:

• ${displaystyle sum _ {p = 1} ^ {n} sum _ {q = 1} ^ {n} g ^ {pq} abla _ {p} G_ {qk} = 0}$
• ${displaystyle operatorname {div} _ {g} G = 0}$

Ricciho identita

Li ${displaystyle X}$ je tedy vektorové pole

${displaystyle abla _ {i} abla _ {j} X ^ {k} -abla _ {j} abla _ {i} X ^ {k} = - {R_ {ijp}} ^ {k} X ^ {p} ,}$

což je jen definice Riemannova tenzoru. Li ${displaystyle omega}$ je tedy jedna forma

${displaystyle abla _ {i} abla _ {j} omega _ {k} -abla _ {j} abla _ {i} omega _ {k} = {R_ {ijk}} ^ {p} omega _ {p}. }$

Obecněji, pokud ${displaystyle T}$ je tedy (0, k) -tensorové pole

${displaystyle abla _ {i} abla _ {j} T_ {l_ {1} cdots l_ {k}} - abla _ {j} abla _ {i} T_ {l_ {1} cdots l_ {k}} = {R_ {ijl_ {1}}} ^ {p} T_ {pl_ {2} cdots l_ {k}} + cdots + {R_ {ijl_ {k}}} ^ {p} T_ {l_ {1} cdots l_ {k- 1} p}.}$

Poznámky

Říká to klasický výsledek ${displaystyle W = 0}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle (M, g)}$ je místně konformně plochý, tj. právě tehdy ${displaystyle M}$ mohou být pokryty hladkými souřadnicovými grafy, ve vztahu k nimž má metrický tenzor tvar ${displaystyle g_ {ij} = e ^ {varphi} delta _ {ij}}$ pro nějakou funkci ${displaystyle varphi}$ na grafu.

Přechod, divergence, operátor Laplace – Beltrami

The spád funkce ${displaystyle phi}$ se získá zvýšením indexu diferenciálu ${displaystyle částečné _ {i} phi dx ^ {i}}$, jehož komponenty jsou dány:

${displaystyle abla ^ {i} phi = phi ^ {; i} = g ^ {ik} phi _ {; k} = g ^ {ik} phi _ {, k} = g ^ {ik} částečný _ {k} phi = g ^ {ik} {frac {částečný phi} {částečný x ^ {k}}}}$

The divergence vektorového pole s komponentami ${displaystyle V ^ {m}}$ je

${displaystyle abla _ {m} V ^ {m} = {frac {částečný V ^ {m}} {částečný x ^ {m}}} + V ^ {k} {frac {částečný záznam {sqrt {| g |} }} {částečné x ^ {k}}} = {frac {1} {sqrt {| g |}}} {frac {částečné (V ^ {m} {sqrt {| g |}})} {částečné x ^ {m}}}.}$

The Operátor Laplace – Beltrami působící na funkci ${displaystyle f}$ je dána divergencí gradientu:

${displaystyle {egin {aligned} Delta f & = abla _ {i} abla ^ {i} f = {frac {1} {sqrt {| g |}}} {frac {částečný} {částečný x ^ {j}}} vlevo (g ^ {jk} {sqrt {| g |}} {frac {částečné f} {částečné x ^ {k}}} vpravo) & = g ^ {jk} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {j} částečné x ^ {k}}} + {frac {částečné g ^ {jk}} {částečné x ^ {j}}} {frac {částečné f} {částečné x ^ {k}}} + {frac {1} {2}} g ^ {jk} g ^ {il} {frac {částečný g_ {il}} {částečný x ^ {j}}} {frac {částečný f} {částečný x ^ {k }}} = g ^ {jk} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {j} částečné x ^ {k}}} - g ^ {jk} gama ^ {l} {} _ {jk } {frac {částečné f} {částečné x ^ {l}}} konec {zarovnáno}}}$

Divergence antisymetrický tenzor pole typu ${displaystyle (2,0)}$ zjednodušuje na

${displaystyle abla _ {k} A ^ {ik} = {frac {1} {sqrt {| g |}}} {frac {částečný (A ^ {ik} {sqrt {| g |}})}} {částečný x ^ {k}}}.}$

Hesensko mapy ${displaystyle phi: Mightarrow N}$ je dána

${displaystyle left (abla left (dphi ight) ight) _ {ij} ^ {gamma} = {frac {částečné ^ {2} phi ^ {gamma}} {částečné x ^ {i} částečné x ^ {j}}} - ^ {M} Gamma ^ {k} {} _ {ij} {frac {částečné phi ^ {gamma}} {částečné x ^ {k}}} + ^ {N} Gamma ^ {gamma} {} _ {alfa eta} {frac {částečný phi ^ {alpha}} {částečný x ^ {i}}} {frac {částečný phi ^ {eta}} {částečný x ^ {j}}}.}$

Produkt Kulkarni – Nomizu

The Produkt Kulkarni – Nomizu je důležitý nástroj pro konstrukci nových tenzorů ze stávajících tenzorů na Riemannově potrubí. Nechat ${displaystyle A}$ a ${displaystyle B}$ být symetrické kovariantní 2-tenzory. V souřadnicích,

${displaystyle A_ {ij} = A_ {ji} qquad qquad B_ {ij} = B_ {ji}}$

Pak je můžeme vynásobit v určitém smyslu a získat nový kovariantní 4-tenzor, který se často označuje ${displaystyle A {~ klín !!!!!! igcirc ~} B}$. Definující vzorec je

${displaystyle left (A {~ wedge !!!!!! igcirc ~} Bight) _ {ijkl} = A_ {ik} B_ {jl} + A_ {jl} B_ {ik} -A_ {il} B_ {jk} -A_ {jk} B_ {il}}$

Je zřejmé, že produkt vyhovuje

${displaystyle A {~ klín !!!!!! igcirc ~} B = B {~ klín !!!!!! igcirc ~} A}$

V setrvačném rámu

Ortonormální setrvačný rám je souřadnicový graf tak, že na počátku má člověk vztahy ${displaystyle g_ {ij} = delta _ {ij}}$ a ${displaystyle Gamma ^ {i} {} _ {jk} = 0}$ (ale ty nemusí držet v jiných bodech rámečku). Tyto souřadnice se také nazývají normální souřadnice.V takovém rámci je výraz pro několik operátorů jednodušší. Níže uvedené vzorce jsou platné pouze na počátku rámu.

${displaystyle R_ {ikell m} = {frac {1} {2}} vlevo ({frac {částečné ^ {2} g_ {im}} {částečné x ^ {k} částečné x ^ {ell}}} + {frac {částečné ^ {2} g_ {kell}} {částečné x ^ {i} částečné x ^ {m}}} - {frac {částečné ^ {2} g_ {iell}} {částečné x ^ {k} částečné x ^ {m}}} - {frac {částečné ^ {2} g_ {km}} {částečné x ^ {i} částečné x ^ {ell}}} včas)}$

${displaystyle R ^ {ell} {} _ {ijk} = {frac {částečné} {částečné x ^ {j}}} gama ^ {ell} {} _ {ik} - {frac {částečné} {částečné x ^ { k}}} Gama ^ {ell} {} _ {ij}}$

Konformní změna ${displaystyle {widetilde {g}} = e ^ {2varphi} g}$

Nechat ${displaystyle g}$ být Riemannovou nebo pseudo-Riemannovou metrikou na plynulém potrubí ${displaystyle M}$, a ${displaystyle varphi}$ plynulá funkce se skutečnou hodnotou ${displaystyle M}$. Pak

${displaystyle {ilde {g}} = e ^ {2varphi} g}$

je také Riemannova metrika ${displaystyle M}$. Říkáme to ${displaystyle {ilde {g}}}$ je (bodově) konformní s ${displaystyle g}$. Konformita metrik je evidentně vztahem ekvivalence. Zde jsou některé vzorce pro konformní změny tenzorů spojených s metrikou. (Množství označená vlnovkou budou spojena s ${displaystyle {ilde {g}}}$, zatímco ti, u kterých není označení, budou spojeni s ${displaystyle g}$.)

Připojení Levi-Civita

• ${displaystyle {widetilde {Gamma}} _ {ij} ^ {k} = Gamma _ {ij} ^ {k} + {frac {parciální varphi} {parciální x ^ {i}}} delta _ {j} ^ {k } + {frac {parciální varphi} {parciální x ^ {j}}} delta _ {i} ^ {k} - {frac {parciální varphi} {parciální x_ {k}}} g_ {ij}}$
• ${displaystyle {widetilde {abla}} _ {X} Y = abla _ {X} Y + dvarphi (X) Y + dvarphi (Y) X-g (X, Y) abla varphi}$

(4,0) Riemannův tenzor zakřivení

• ${displaystyle {widetilde {R}} _ {ijkl} = e ^ {2varphi} R_ {ijkl} -e ^ {2varphi} {ig (} g_ {ik} T_ {jl} + g_ {jl} T_ {ik} - g_ {il} T_ {jk} -g_ {jk} T_ {il} {ig)}}$ kde ${displaystyle T_ {ij} = abla _ {i} abla _ {j} varphi -abla _ {i} varphi abla _ {j} varphi + {frac {1} {2}} | dvarphi | ^ {2} g_ { ij}}$

Za použití Produkt Kulkarni – Nomizu:

• ${displaystyle {widetilde {operatorname {Rm}}} = e ^ {2varphi} operatorname {Rm} -e ^ {2varphi} g {~ klín !!!!!! igcirc ~} left (operatorname {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi + {frac {1} {2}} | dvarphi | ^ {2} gight)}$

Ricciho tenzor

• ${displaystyle {widetilde {R}} _ {ij} = R_ {ij} - (n-2) {ig (} abla _ {i} abla _ {j} varphi -abla _ {i} varphi abla _ {j} varphi {ig)} - {ig (} Delta varphi + (n-2) | dvarphi | ^ {2} {ig)} g_ {ij}}$
• ${displaystyle {widetilde {operatorname {Ric}}} = operatorname {Ric} - (n-2) {ig (} operatorname {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi {ig)} - {ig (} Delta varphi + (n- 2) | dvarphi | ^ {2} {ig)} g}$

Skalární zakřivení

• ${displaystyle {widetilde {R}} = e ^ {- 2varphi} R-2 (n-1) e ^ {- 2varphi} Delta varphi - (n-2) (n-1) e ^ {- 2varphi} | dvarphi | ^ {2}}$
• -li ${displaystyle neq 2}$ toto lze napsat ${displaystyle {ilde {R}} = e ^ {- 2varphi} vlevo [R + {frac {4 (n-1)} {(n-2)}} e ^ {- (n-2) varphi / 2} riangle left (e ^ {(n-2) varphi / 2} ight) ight]}$

Traceless Ricciho tenzor

• ${displaystyle {widetilde {R}} _ {ij} - {frac {1} {n}} {widetilde {R}} {widetilde {g}} _ {ij} = R_ {ij} - {frac {1} { n}} Rg_ {ij} - (n-2) {ig (} abla _ {i} abla _ {j} varphi -abla _ {i} varphi abla _ {j} varphi {ig)} - {frac {n -2} {n}} {ig (} Delta varphi + | dvarphi | ^ {2} {ig)} g_ {ij}}$
• ${displaystyle {widetilde {operatorname {Ric}}} - {frac {1} {n}} {widetilde {R}} {widetilde {g}} = operatorname {Ric} - {frac {1} {n}} Rg- (n-2) {ig (} operatorname {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi {ig)} - {frac {n-2} {n}} {ig (} Delta varphi + | dvarphi | ^ {2} {ig )}G}$

(3,1) Weylovo zakřivení

• ${displaystyle {{widetilde {W}} _ {ijk}} ^ {l} = {W_ {ijk}} ^ {l}}$
• ${displaystyle {widetilde {W}} (X, Y, Z) = W (X, Y, Z)}$ pro všechna vektorová pole ${displaystyle X, Y, Z}$

Objemová forma

• ${displaystyle {sqrt {det {widetilde {g}}}} = e ^ {nvarphi} {sqrt {det g}}}$
• ${displaystyle dmu _ {widetilde {g}} = e ^ {nvarphi}, dmu _ {g}}$

Hodge operátor na p-formulářích

• ${displaystyle {widetilde {ast}} _ {i_ {1} cdots i_ {np}} ^ {j_ {1} cdots j_ {p}} = e ^ {(n-2p) varphi} ast _ {i_ {1} cdots i_ {np}} ^ {j_ {1} cdots j_ {p}}}$
• ${displaystyle {widetilde {ast}} = e ^ {(n-2p) varphi} ast}$

Kodiferenciální na p-formách

• ${displaystyle {widetilde {d ^ {ast}}} _ {j_ {1} cdots j_ {p-1}} ^ {i_ {1} cdots i_ {p}} = e ^ {- 2varphi} (d ^ {ast }) _ {j_ {1} cdots j_ {p-1}} ^ {i_ {1} cdots i_ {p}} - (n-2p) e ^ {- 2varphi} abla ^ {i_ {1}} varphi delta _ {j_ {1}} ^ {i_ {2}} delta cdots _ {j_ {p-1}} ^ {i_ {p}}}$
• ${displaystyle {widetilde {d ^ {ast}}} = e ^ {- 2varphi} d ^ {ast} - (n-2p) e ^ {- 2varphi} iota _ {abla varphi}}$

Laplacian o funkcích

• ${displaystyle {widetilde {Delta ^ {d}}} Phi = e ^ {- 2varphi} {Big (} Delta ^ {d} Phi - (n-2) g (dvarphi, dPhi) {Big)}}$

Hodge Laplacian na p-formách

• ${displaystyle {widetilde {Delta ^ {d}}} omega = e ^ {- 2varphi} {Big (} Delta ^ {d} omega - (n-2p) dcirc iota _ {abla varphi} omega - (n-2p- 2) iota _ {abla varphi} cirkus domega +2 (n-2p) klín dvarphi iota _ {abla varphi} omega -2dvarphi klín d ^ {ast} omega {velký)}}$

Druhá základní forma ponoření

Předpokládat ${displaystyle (M, g)}$ je Riemannian a ${displaystyle F: Sigma o (M, g)}$ je dvakrát rozlišitelné ponoření. Připomeňme, že druhá základní forma je pro každého ${displaystyle pin M,}$ symetrická bilineární mapa ${displaystyle h_ {p}: T_ {p} Sigma je T_ {p} Sigma o T_ {F (p)} M,}$ který je oceněn v ${displaystyle g_ {F (p)}}$-ortogonální lineární podprostor do ${displaystyle dF_ {p} (T_ {p} Sigma) podmnožina T_ {F (p)} M.}$ Pak

• ${displaystyle {widetilde {h}} (u, v) = h (u, v) - (abla varphi) ^ {perp} g (u, v)}$ pro všechny ${displaystyle u, vin T_ {p} M}$

Tady ${displaystyle (abla varphi) ^ {perp}}$ označuje ${displaystyle g_ {F (p)}}$-ortogonální projekce ${displaystyle abla varphi in T_ {F (p)} M}$ na ${displaystyle g_ {F (p)}}$-ortogonální lineární podprostor do ${displaystyle dF_ {p} (T_ {p} Sigma) podmnožina T_ {F (p)} M.}$

Střední zakřivení ponoření

Ve stejném nastavení, jak je uvedeno výše, si pamatujte, že střední zakřivení je pro každého ${displaystyle pin Sigma}$ prvek ${displaystyle H_ {p} v T_ {F (p)} M}$ definován jako ${displaystyle g}$- stopa druhé základní formy. Pak

• ${displaystyle e ^ {2varphi} {widetilde {H}} = H-n (abla varphi) ^ {perp}.}$

Variační vzorce

Nechat ${displaystyle M}$ být hladký potrubí a nechat ${displaystyle g_ {t}}$ být jednoparametrická rodina Riemanannovy nebo pseudo-Riemannovy metriky. Předpokládejme, že jde o diferencovatelnou rodinu v tom smyslu, že pro jakýkoli hladký souřadnicový graf jsou to deriváty ${displaystyle {frac {částečné} {částečné t}} {ig (} (g_ {t}) _ {ij} {ig)}}$ existují a samy o sobě jsou tak rozlišitelné, jak je nutné, aby následující výrazy dávaly smysl. Označit ${displaystyle v = {frac {částečné g} {částečné t}},}$ jako jednoparametrická rodina symetrických 2-tenzorových polí.

• ${displaystyle {frac {částečné} {částečné t}} gama _ {ij} ^ {k} = {frac {1} {2}} součet _ {p = 1} ^ {n} g ^ {kp} {velký ( } abla _ {i} v_ {jp} + abla _ {j} v_ {ip} -abla _ {p} v_ {ij} {velký)}.}$
• ${displaystyle {frac {částečné} {částečné t}} R_ {ijkl} = {frac {1} {2}} {velký (} abla _ {j} abla _ {k} v_ {il} + abla _ {i} abla _ {l} v_ {jk} -abla _ {i} abla _ {k} v_ {jl} -abla _ {j} abla _ {l} v_ {ik} {velký)} + součet _ {p = 1 } ^ {n} {R_ {ijk}} ^ {p} v_ {pl} -sum _ {p = 1} ^ {n} {R_ {ijl}} ^ {p} v_ {pk}}$
• ${displaystyle {frac {částečné} {částečné t}} R_ {ik} = {frac {1} {2}} {velký (} součet _ {p = 1} ^ {n} abla ^ {p} abla _ {k } v_ {ip} + abla _ {i} (operatorname {div} v) _ {k} -abla _ {i} abla _ {k} (operatorname {tr} _ {g} v) -Delta v_ {ik} {Big)} - součet _ {p = 1} ^ {n} R_ {i} ^ {p} v_ {pk}}$
• ${displaystyle {frac {částečné} {částečné t}} R = Delta (operatorname {tr} _ {g} v) + operatorname {div} _ {g} operatorname {div} _ {g} v-langle v, operatorname { Úhel Ric} _ {g}}$
• ${displaystyle {frac {částečné} {částečné t}} dmu _ {g} = - {frac {1} {2}} součet _ {p = 1} ^ {n} součet _ {q = 1} ^ {n} g ^ {pq} v_ {pq}, dmu _ {g}}$
• ${displaystyle {frac {částečné} {částečné t}} abla _ {i} abla _ {j} Phi = abla _ {i} abla _ {j} {frac {částečné Phi} {částečné t}} - {frac {1 } {2}} součet _ {p = 1} ^ {n} g ^ {kp} {velký (} abla _ {i} v_ {jp} + abla _ {j} v_ {ip} -abla _ {p} v_ {ij} {Big)} {frac {částečné Phi} {částečné x ^ {k}}}}$
• ${displaystyle {frac {částečné} {částečné t}} Delta Phi = -langle v, operatorname {Hess} úhel Phi _ {g} -g {Big (} operatorname {div} v- {frac {1} {2}} d (operatorname {tr} _ {g} v), dPhi {Big)}}$

Hlavní symbol

Výpočty variačních vzorců výše definují hlavní symbol mapování, který vysílá pseudo-Riemannovu metriku na Riemannův tenzor, Ricciho tenzor nebo skalární zakřivení.

• Hlavní symbol mapy ${displaystyle gmapsto operatorname {Rm} ^ {g}}$ přiřadí každému ${displaystyle xi v T_ {p} ^ {ast} M}$ mapa z prostoru symetrických (0,2) -tenzorů zapnuta ${displaystyle T_ {p} M}$ do prostoru (0,4) -tenzorů zapnuto ${displaystyle T_ {p} M,}$ dána

${displaystyle vmapsto {frac {xi _ {j} xi _ {k} v_ {il} + xi _ {i} xi _ {l} v_ {jk} -xi _ {i} xi _ {k} v_ {jl} -xi _ {j} xi _ {l} v_ {ik}} {2}}.}$

• Hlavní symbol mapy ${displaystyle gmapsto operatorname {Ric} ^ {g}}$ přiřadí každému ${displaystyle xi v T_ {p} ^ {ast} M}$ endomorfismus prostoru symetrických 2-tenzorů ${displaystyle T_ {p} M}$ dána

${displaystyle vmapsto v (xi ^ {sharp}, cdot) otimes xi + xi otimes v (xi ^ {sharp}, cdot) - (operatorname {tr} _ {g_ {p}} v) xi otimes xi - | xi | _ {g} ^ {2} v.}$

• Hlavní symbol mapy ${displaystyle gmapsto R ^ {g}}$ přiřadí každému ${displaystyle xi v T_ {p} ^ {ast} M}$ prvek duálního prostoru do vektorového prostoru symetrických 2-tenzorů ${displaystyle T_ {p} M}$ podle

${displaystyle vmapsto | xi | _ {g} ^ {2} operatorname {tr} _ {g} v + v (xi ^ {sharp}, xi ^ {sharp}).}$

Viz také

• Liouvilleovy rovnice
• Seznam vzorců v elementární geometrii

Reference

• Arthur L. Besse. „Einsteinova potrubí.“ Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a příbuzných oblastech (3)], 10. Springer-Verlag, Berlín, 1987. xii + 510 pp. ISBN  3-540-15279-2