Del ve válcových a sférických souřadnicích - Del in cylindrical and spherical coordinates - Wikipedia

Toto je seznam některých vektorový počet vzorce pro práci s obyčejnými křivočarý souřadnicové systémy.

Poznámky

Tento článek používá standardní notaci ISO 80000-2, který nahrazuje ISO 31-11, pro sférické souřadnice (jiné zdroje mohou zvrátit definice θ a φ):
- Polární úhel je označen θ: je to úhel mezi z-osa a radiální vektor spojující počátek s dotyčným bodem.
- Azimutální úhel je označen φ: je to úhel mezi X-osa a projekce radiálního vektoru na xy-letadlo.
Funkce atan2 (y, X) lze použít místo matematické funkce arktan (y/X) kvůli jeho doména a obraz. Klasická arktanová funkce má obraz (−π / 2, + π / 2), zatímco atan2 je definován tak, aby měl obraz (−π, π].

Koordinovat převody

Převod mezi kartézskými, válcovými a sférickými souřadnicemi^[1]
		Z
		Kartézský	Válcový	Sférické
Na	Kartézský	${ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = x y & = y z & = z end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = rho cos varphi y & = rho sin varphi z & = z end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = r sin theta cos varphi y & = r sin theta sin varphi z & = r cos theta end {zarovnáno}}}$
	Válcový	${ displaystyle { begin {aligned} rho & = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} varphi & = arctan left ({ frac {y} {x} } right) z & = z end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} rho & = rho varphi & = varphi z & = z end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} rho & = r sin theta varphi & = varphi z & = r cos theta end {zarovnáno}}}$
	Sférické	${ displaystyle { begin {aligned} r & = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} theta & = arctan left ({ frac { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {z}} right) varphi & = arctan left ({ frac {y} {x}} right) end {zarovnáno }}}$	${ displaystyle { begin {aligned} r & = { sqrt { rho ^ {2} + z ^ {2}}} theta & = arctan { left ({ frac { rho} {z }} right)} varphi & = varphi end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} r & = r varphi & = varphi theta & = theta konec {zarovnáno}}}$

Převody vektorových jednotek

Převod mezi jednotkovými vektory v kartézských, válcových a sférických souřadnicových systémech z hlediska *destinace* souřadnice^[1]
	Kartézský	Válcový	Sférické
Kartézský	N / A	${ displaystyle { begin {zarovnáno} { hat { mathbf {x}}} & = cos varphi { hat { boldsymbol { rho}}} - sin varphi { hat { boldsymbol { varphi}}} { hat { mathbf {y}}} & = sin varphi { hat { boldsymbol { rho}}} + cos varphi { hat { boldsymbol { varphi }}} { hat { mathbf {z}}} & = { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} { hat { mathbf {x}}} & = sin theta cos varphi { hat { mathbf {r}}} + cos theta cos varphi { hat { boldsymbol { theta}}} - sin varphi { hat { boldsymbol { varphi}}} { hat { mathbf {y}}} & = sin theta sin varphi { hat { mathbf {r}}} + cos theta sin varphi { hat { boldsymbol { theta}}} + cos varphi { hat { boldsymbol { varphi}} } { hat { mathbf {z}}} & = cos theta { hat { mathbf {r}}} - sin theta { hat { boldsymbol { theta}}} end {zarovnaný}}}$
Válcový	${ displaystyle { begin {aligned} { hat { boldsymbol { rho}}} & = { frac {x { hat { mathbf {x}}} + y { hat { mathbf {y} }}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} { hat { boldsymbol { varphi}}} & = { frac {-y { hat { mathbf { x}}} + x { hat { mathbf {y}}}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} { hat { mathbf {z}}} & = { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	N / A	${ displaystyle { begin {zarovnáno} { hat { boldsymbol { rho}}} & = sin theta { hat { mathbf {r}}} + cos theta { hat { boldsymbol { theta}}} { hat { boldsymbol { varphi}}} & = { hat { boldsymbol { varphi}}} { hat { mathbf {z}}} & = cos theta { hat { mathbf {r}}} - sin theta { hat { boldsymbol { theta}}} end {zarovnáno}}}$
Sférické	${ displaystyle { begin {aligned} { hat { mathbf {r}}} & = { frac {x { hat { mathbf {x}}} + y { hat { mathbf {y}} } + z { hat { mathbf {z}}}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} { hat { boldsymbol { theta }}} & = { frac { left (x { hat { mathbf {x}}} + y { hat { mathbf {y}}} right) z- left (x ^ {2} + y ^ {2} right) { hat { mathbf {z}}}} {{ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}} { hat { boldsymbol { varphi}}} & = { frac {-y { hat { mathbf {x}}} + x { hat { mathbf {y}}}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {aligned} { hat { mathbf {r}}} & = { frac { rho { hat { boldsymbol { rho}}} + z { hat { mathbf {z }}}} { sqrt { rho ^ {2} + z ^ {2}}}} { hat { boldsymbol { theta}}} & = { frac {z { hat { boldsymbol { rho}}} - rho { hat { mathbf {z}}}} { sqrt { rho ^ {2} + z ^ {2}}}} { hat { boldsymbol { varphi}}} & = { hat { boldsymbol { varphi}}} end {zarovnáno}}}$	N / A

Převod mezi jednotkovými vektory v kartézských, válcových a sférických souřadnicových systémech z hlediska *zdroj* souřadnice
	Kartézský	Válcový	Sférické
Kartézský	N / A	${ displaystyle { begin {aligned} { hat { mathbf {x}}} & = { frac {x { hat { boldsymbol { rho}}} - y { hat { boldsymbol { varphi }}}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} { hat { mathbf {y}}} & = { frac {y { hat { boldsymbol { rho}}} + x { hat { boldsymbol { varphi}}}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} { hat { mathbf {z}}} & = { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {aligned} { hat { mathbf {x}}} & = { frac {x left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} { hat { mathbf {r}}} + z { hat { boldsymbol { theta}}} vpravo) -y { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} { hat { boldsymbol { varphi}}}} {{ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ { 2}}}}} { hat { mathbf {y}}} & = { frac {y left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} { hat { mathbf {r}}} + z { hat { boldsymbol { theta}}} right) + x { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} { hat { boldsymbol { varphi}}}}} {{ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }}}}} { hat { mathbf {z}}} & = { frac {z { hat { mathbf {r}}} - { sqrt {x ^ {2} + y ^ { 2}}} { hat { boldsymbol { theta}}}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} end {zarovnáno}}}$
Válcový	${ displaystyle { begin {seřazeno} { hat { boldsymbol { rho}}} & = cos varphi { hat { mathbf {x}}} + sin varphi { hat { mathbf { y}}} { hat { boldsymbol { varphi}}} & = - sin varphi { hat { mathbf {x}}} + cos varphi { hat { mathbf {y} }} { hat { mathbf {z}}} & = { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	N / A	${ displaystyle { begin {aligned} { hat { boldsymbol { rho}}} & = { frac { rho { hat { mathbf {r}}} + z { hat { boldsymbol { theta}}}} { sqrt { rho ^ {2} + z ^ {2}}}} { hat { boldsymbol { varphi}}} & = { hat { boldsymbol { varphi} }} { hat { mathbf {z}}} & = { frac {z { hat { mathbf {r}}} - rho { hat { boldsymbol { theta}}}} { sqrt { rho ^ {2} + z ^ {2}}}} end {zarovnáno}}}$
Sférické	${ displaystyle { begin {aligned} { hat { mathbf {r}}} & = sin theta left ( cos varphi { hat { mathbf {x}}} + sin varphi { hat { mathbf {y}}} right) + cos theta { hat { mathbf {z}}} { hat { boldsymbol { theta}}} & = cos theta left ( cos varphi { hat { mathbf {x}}} + sin varphi { hat { mathbf {y}}} right) - sin theta { hat { mathbf {z} }} { hat { boldsymbol { varphi}}} & = - sin varphi { hat { mathbf {x}}} + cos varphi { hat { mathbf {y}}} end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {aligned} { hat { mathbf {r}}} & = sin theta { hat { boldsymbol { rho}}} + cos theta { hat { mathbf { z}}} { hat { boldsymbol { theta}}} & = cos theta { hat { boldsymbol { rho}}} - sin theta { hat { mathbf {z} }} { hat { boldsymbol { varphi}}} & = { hat { boldsymbol { varphi}}} end {zarovnáno}}}$	N / A

Del vzorec

Tabulka s del operátor v kartézských, válcových a sférických souřadnicích
Úkon	Kartézské souřadnice $(X, y, z)$	Válcové souřadnice $(ρ, φ, z)$	Sférické souřadnice $(r, θ, φ)$ , kde φ je azimutální a $θ$ je polární úhel^α
Vektorové pole $A$	${ displaystyle A_ {x} { hat { mathbf {x}}} + A_ {y} { hat { mathbf {y}}} + A_ {z} { hat { mathbf {z}}} }$	${ displaystyle A _ { rho} { hat { boldsymbol { rho}}} + A _ { varphi} { hat { boldsymbol { varphi}}} + A_ {z} { hat { mathbf { z}}}}$	${ displaystyle A_ {r} { hat { mathbf {r}}} + A _ { theta} { hat { boldsymbol { theta}}} + A _ { varphi} { hat { boldsymbol { varphi}}}}$
Spád $\nabla F$ ^[1]	${ displaystyle { částečné f nad částečné x} { klobouk { mathbf {x}}} + { částečné f přes částečné y} { klobouk { mathbf {y}}} + { částečné f over částečné z} { hat { mathbf {z}}}}$	${ displaystyle { částečné f nad částečné rho} { hat { boldsymbol { rho}}} + {1 nad rho} { částečné f nad částečné varphi} { hat { boldsymbol { varphi}}} + { částečné f nad částečné z} { klobouk { mathbf {z}}}}$	${ displaystyle { částečné f nad částečné r} { klobouk { mathbf {r}}} + {1 nad r} { částečné f nad částečné theta} { klobouk { boldsymbol { theta}}} + {1 over r sin theta} { částečné f přes částečné varphi} { hat { boldsymbol { varphi}}}}$
Divergence $\nabla \cdot A$ ^[1]	${ displaystyle { částečné A_ {x} nad částečné x} + { částečné A_ {y} nad částečné y} + { částečné A_ {z} nad částečné z}}$	${ displaystyle {1 over rho} { částečné left ( rho A _ { rho} right) over částečné rho} + {1 over rho} { částečné A _ { varphi} přes částečné varphi} + { částečné A_ {z} přes částečné z}}$	${ displaystyle {1 nad r ^ {2}} { částečné vlevo (r ^ {2} A_ {r} pravé) nad částečné r} + {1 nad r sin theta} { částečné nad částečné theta} levé (A _ { theta} sin theta pravé) + {1 nad r sin theta} { částečné A _ { varphi} nad částečné varphi}}$
Kučera $\nabla \times A$ ^[1]	${ displaystyle { begin {aligned} left ({ frac { částečné A_ {z}} { částečné y}} - { frac { částečné A_ {y}} { částečné z}} vpravo) & { hat { mathbf {x}}} + left ({ frac { částečné A_ {x}} { částečné z}} - { frac { částečné A_ {z}} { částečné x}} vpravo) & { hat { mathbf {y}}} + vlevo ({ frac { částečné A_ {y}} { částečné x}} - { frac { částečné A_ { x}} { částečné y}} vpravo) & { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {aligned} left ({ frac {1} { rho}} { frac { částečné A_ {z}} { částečné varphi}} - { frac { částečné A_ { varphi}} { částečné z}} doprava) & { hat { boldsymbol { rho}}} + doleva ({ frac { částečné A _ { rho}} { částečné z}} - { frac { částečné A_ {z}} { částečné rho}} pravé) & { hat { boldsymbol { varphi}}} {} + { frac {1} { rho} } left ({ frac { částečné left ( rho A _ { varphi} right)} { částečné rho}} - { frac { částečné A _ { rho}} { částečné varphi} } right) & { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} {r sin theta}} left ({ frac { partial} { partial theta}} left (A _ { varphi} sin theta right) - { frac { částečné A _ { theta}} { částečné varphi}} right) & { hat { mathbf {r}}} {} + { frac {1 } {r}} vlevo ({ frac {1} { sin theta}} { frac { částečné A_ {r}} { částečné varphi}} - { frac { částečné} { částečné r}} left (rA _ { varphi} right) right) & { hat { boldsymbol { theta}}} {} + { frac {1} {r}} left ({ frac { částečné} { částečné r}} levé (rA _ { theta} pravé) - { frac { částečné A_ {r}} { částečné theta}} pravé) & { hat { boldsymbol { varphi}}} end {zarovnáno}}}$
Operátor Laplace $\nabla 2 F \equiv ∆ F$ ^[1]	${ displaystyle { částečné ^ {2} f nad částečné x ^ {2}} + { částečné ^ {2} f nad částečné y ^ {2}} + { částečné ^ {2} f přes částečné z ^ {2}}}$	${ displaystyle {1 over rho} { částečné nad částečné rho} levé ( rho { částečné f nad částečné rho} pravé) + {1 nad rho ^ {2} } { částečné ^ {2} f nad částečné varphi ^ {2}} + { částečné ^ {2} f nad částečné z ^ {2}}}$	${ displaystyle {1 nad r ^ {2}} { částečné nad částečné r} ! vlevo (r ^ {2} { částečné f přes částečné}} vpravo) ! + ! {1 přes r ^ {2} ! Sin theta} { částečné přes částečné theta} ! Vlevo ( sin theta { částečné f přes částečné theta} vpravo) ! + ! {1 nad r ^ {2} ! Sin ^ {2} theta} { částečné ^ {2} f nad částečné varphi ^ {2}}}$
Vektor Laplacian $\nabla 2 A \equiv ∆ A$	${ displaystyle nabla ^ {2} A_ {x} { hat { mathbf {x}}} + nabla ^ {2} A_ {y} { hat { mathbf {y}}} + nabla ^ {2} A_ {z} { hat { mathbf {z}}}}$	- Zobrazit kliknutím na [zobrazit] - ${ displaystyle { begin {aligned} { mathopen {}} left ( nabla ^ {2} A _ { rho} - { frac {A _ { rho}} { rho ^ {2}}} - { frac {2} { rho ^ {2}}} { frac { částečné A _ { varphi}} { částečné varphi}} pravé) { mathclose {}} & { hat { boldsymbol { rho}}} + { mathopen {}} vlevo ( nabla ^ {2} A _ { varphi} - { frac {A _ { varphi}} { rho ^ {2}}} + { frac {2} { rho ^ {2}}} { frac { částečné A _ { rho}} { částečné varphi}} pravé) { mathclose {}} & { hat { boldsymbol { varphi}}} {} + nabla ^ {2} A_ {z} & { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	- Zobrazit kliknutím na [zobrazit] - ${ displaystyle { begin {aligned} left ( nabla ^ {2} A_ {r} - { frac {2A_ {r}} {r ^ {2}}} - { frac {2} {r ^ {2} sin theta}} { frac { částečný levý (A _ { theta} sin theta pravý)} { částečný theta}} - { frac {2} {r ^ {2 } sin theta}} { frac { částečný A _ { varphi}} { částečný varphi}} pravý) & { hat { mathbf {r}}} + vlevo ( nabla ^ {2} A _ { theta} - { frac {A _ { theta}} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} + { frac {2} {r ^ {2}}} { frac { částečné A_ {r}} { částečné theta}} - { frac {2 cos theta} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { částečný A _ { varphi}} { částečný varphi}} pravý) & { hat { boldsymbol { theta}}} + left ( nabla ^ {2} A _ { varphi} - { frac {A _ { varphi}} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} + { frac {2} {r ^ {2} sin theta}} { frac { částečné A_ {r}} { částečné varphi}} + { frac {2 cos theta} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { částečné A _ { theta}} { partial varphi}} right) & { hat { boldsymbol { varphi}}} end {zarovnáno}}}$
Materiál derivát^α^[2] $(A \cdot \nabla) B$	${ displaystyle mathbf {A} cdot nabla B_ {x} { hat { mathbf {x}}} + mathbf {A} cdot nabla B_ {y} { hat { mathbf {y} }} + mathbf {A} cdot nabla B_ {z} { hat { mathbf {z}}}}$	${ displaystyle { begin {aligned} left (A _ { rho} { frac { částečné B _ { rho}} { částečné rho}} + { frac {A _ { varphi}} { rho }} { frac { částečné B _ { rho}} { částečné varphi}} + A_ {z} { frac { částečné B _ { rho}} { částečné z}} - { frac {A_ { varphi} B _ { varphi}} { rho}} vpravo) & { hat { boldsymbol { rho}}} + doleva (A _ { rho} { frac { částečné B_ { varphi}} { částečné rho}} + { frac {A _ { varphi}} { rho}} { frac { částečné B _ { varphi}} { částečné varphi}} + A_ {z } { frac { částečné B _ { varphi}} { částečné z}} + { frac {A _ { varphi} B _ { rho}} { rho}} vpravo) & { hat { boldsymbol { varphi}}} + left (A _ { rho} { frac { částečné B_ {z}} { částečné rho}} + { frac {A _ { varphi}} { rho} } { frac { částečné B_ {z}} { částečné varphi}} + A_ {z} { frac { částečné B_ {z}} { částečné z}} vpravo) & { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	- Zobrazit kliknutím na [zobrazit] - ${ displaystyle { begin {aligned} left (A_ {r} { frac { částečné B_ {r}} { částečné r}} + { frac {A _ { theta}} {r}} { frac { částečné B_ {r}} { částečné theta}} + { frac {A _ { varphi}} {r sin theta}} { frac { částečné B_ {r}} { částečné varphi}} - { frac {A _ { theta} B _ { theta} + A _ { varphi} B _ { varphi}} {r}} right) & { hat { mathbf {r}}} + left (A_ {r} { frac { částečné B _ { theta}} { částečné r}} + { frac {A _ { theta}} {r}} { frac { částečné B_ { theta}} { částečná theta}} + { frac {A _ { varphi}} {r sin theta}} { frac { částečná B _ { theta}} { částečná varphi}} + { frac {A _ { theta} B_ {r}} {r}} - { frac {A _ { varphi} B _ { varphi} cot theta} {r}} vpravo) & { hat { boldsymbol { theta}}} + left (A_ {r} { frac { částečné B _ { varphi}} { částečné r}} + { frac {A _ { theta}} {r} } { frac { částečné B _ { varphi}} { částečné theta}} + { frac {A _ { varphi}} {r sin theta}} { frac { částečné B _ { varphi} } { partial varphi}} + { frac {A _ { varphi} B_ {r}} {r}} + { frac {A _ { varphi} B _ { theta} cot theta} {r} } right) & { hat { boldsymbol { varphi}}} end {zarovnáno }}}$
Tenzor $\nabla \cdot T$ (nezaměňovat s Tenzorová divergence 2. řádu )	- Zobrazit kliknutím na [zobrazit] - ${ displaystyle { begin {aligned} left ({ frac { částečné T_ {xx}} { částečné x}} + { frac { částečné T_ {yx}} { částečné y}} + { frac { částečné T_ {zx}} { částečné z}} pravé) & { hat { mathbf {x}}} + levé ({ frac { částečné T_ {xy}} { částečné x}} + { frac { částečný T_ {yy}} { částečný y}} + { frac { částečný T_ {zy}} { částečný z}} vpravo) & { hat { mathbf { y}}} + vlevo ({ frac { částečné T_ {xz}} { částečné x}} + { frac { částečné T_ {yz}} { částečné y}} + { frac { částečné T_ {zz}} { částečné z}} pravé) & { hat { mathbf {z}}} end {zarovnané}}}$	- Zobrazit kliknutím na [zobrazit] - ${ displaystyle { begin {aligned} left [{ frac { částečné T _ { rho rho}} { částečné rho}} + { frac {1} { rho}} { frac { částečný T _ { varphi rho}} { částečný varphi}} + { frac { částečný T_ {z rho}} { částečný z}} + { frac {1} { rho}} (T_ { rho rho} -T _ { varphi varphi}) right] & { hat { boldsymbol { rho}}} + left [{ frac { částečné T _ { rho varphi} } { částečné rho}} + { frac {1} { rho}} { frac { částečné T _ { varphi varphi}} { částečné varphi}} + { frac { částečné T_ { z varphi}} { částečné z}} + { frac {1} { rho}} (T _ { rho varphi} + T _ { varphi rho}) vpravo] & { hat { boldsymbol { varphi}}} + left [{ frac { částečné T _ { rho z}} { částečné rho}} + { frac {1} { rho}} { frac { částečné T _ { varphi z}} { částečné varphi}} + { frac { částečné T_ {zz}} { částečné z}} + { frac {T _ { rho z}} { rho}} vpravo] & { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	- Zobrazit kliknutím na [zobrazit] - ${ displaystyle { begin {aligned} left [{ frac { částečné T_ {rr}} { částečné r}} + 2 { frac {T_ {rr}} {r}} + { frac {1 } {r}} { frac { částečné T _ { theta r}} { částečné theta}} + { frac { cot theta} {r}} T _ { theta r} + { frac { 1} {r sin theta}} { frac { částečné T _ { varphi r}} { částečné varphi}} - { frac {1} {r}} (T _ { theta theta} + T _ { varphi varphi}) right] & { hat { mathbf {r}}} + left [{ frac { částečné T_ {r theta}} { částečné r}} + 2 { frac {T_ {r theta}} {r}} + { frac {1} {r}} { frac { částečné T _ { theta theta}} { částečné theta}} + { frac { cot theta} {r}} T _ { theta theta} + { frac {1} {r sin theta}} { frac { částečný T _ { varphi theta}} { částečný varphi}} + { frac {T _ { theta r}} {r}} - { frac { cot theta} {r}} T _ { varphi varphi} right] & { hat { boldsymbol { theta}}} + left [{ frac { částečné T_ {r varphi}} { částečné r}} + 2 { frac {T_ {r varphi}} {r}} + { frac {1} {r}} { frac { částečné T _ { theta varphi}} { částečné theta}} + { frac {1} {r sin theta}} { frac { částečné T _ { varphi varphi}} { částečné varphi}} + { frac {T _ { var phi r}} {r}} + { frac { cot theta} {r}} (T _ { theta varphi} + T _ { varphi theta}) right] & { hat { boldsymbol { varphi}}} end {zarovnáno}}}$
Diferenční posunutí $d ℓ$ ^[1]	${ displaystyle dx , { hat { mathbf {x}}} + dy , { hat { mathbf {y}}} + dz , { hat { mathbf {z}}}}$	${ displaystyle d rho , { hat { boldsymbol { rho}}} + rho , d varphi , { hat { boldsymbol { varphi}}} + dz , { hat { mathbf {z}}}}$	${ displaystyle dr , { hat { mathbf {r}}} + r , d theta , { hat { boldsymbol { theta}}} + r , sin theta , d varphi , { hat { boldsymbol { varphi}}}}$
Diferenční normální plocha $d S$	${ displaystyle { begin {seřazeno} dy , dz & , { hat { mathbf {x}}} {} + dx , dz & , { hat { mathbf {y}}} {} + dx , dy & , { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} rho , d varphi , dz & , { hat { boldsymbol { rho}}} {} + d rho , dz & , { hat { boldsymbol { varphi}}} {} + rho , d rho , d varphi & , { hat { mathbf {z}}} end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} r ^ {2} sin theta , d theta , d varphi & , { hat { mathbf {r}}} {} + r sin theta , dr , d varphi & , { hat { boldsymbol { theta}}} {} + r , dr , d theta & , { hat { boldsymbol { varphi}}} end {zarovnáno}}}$
Diferenční objem $dV$ ^[1]	${ displaystyle dx , dy , dz}$	${ displaystyle rho , d rho , d varphi , dz}$	${ Displaystyle r ^ {2} sin theta , dr , d theta , d varphi}$

^ α Tato stránka používá

{ displaystyle theta}

pro polární úhel a

{ displaystyle varphi}

pro azimutální úhel, což je běžná notace ve fyzice. Zdroj, který se používá pro tyto vzorce, používá

{ displaystyle theta}

pro azimutální úhel a

{ displaystyle varphi}

pro polární úhel, což je běžná matematická notace. Chcete-li získat matematické vzorce, přepněte

{ displaystyle theta}

a

{ displaystyle varphi}

ve vzorcích uvedených v tabulce výše.

Netriviální pravidla výpočtu

${ displaystyle operatorname {div} , operatorname {grad} f equiv nabla cdot nabla f equiv nabla ^ {2} f}$
${ displaystyle operatorname {curl} , operatorname {grad} f equiv nabla times nabla f = mathbf {0}}$
${ displaystyle operatorname {div} , operatorname {curl} mathbf {A} equiv nabla cdot ( nabla times mathbf {A}) = 0}$
${ displaystyle operatorname {curl} , operatorname {curl} mathbf {A} equiv nabla times ( nabla times mathbf {A}) = nabla ( nabla cdot mathbf {A} ) - nabla ^ {2} mathbf {A}}$ (Lagrangeův vzorec pro del)
${ displaystyle nabla ^ {2} (fg) = f nabla ^ {2} g + 2 nabla f cdot nabla g + g nabla ^ {2} f}$

Kartézská derivace

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {div} mathbf {A} = lim _ {V až 0} { frac { iint _ { částečné V} mathbf {A} cdot d mathbf {S}} { iiint _ {V} dV}} & = { frac {A_ {x} (x + dx) dydz-A_ {x} (x) dydz + A_ {y} (y + dy) dxdz-A_ {y} (y) dxdz + A_ {z} (z + dz) dxdy-A_ {z} (z) dxdy} {dxdydz}} & = { frac { částečné A_ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné A_ {y}} { částečné y}} + { frac { částečné A_ {z}} { částečné z}} konec {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ {x} = lim _ {S ^ { perp mathbf { hat {x}}} na 0} { frac { int _ { částečné S} mathbf {A} cdot d mathbf { ell}} { iint _ {S} dS}} & = { frac {A_ {z} (y + dy ) dz-A_ {z} (y) dz + A_ {y} (z) dy-A_ {y} (z + dz) dy} {dydz}} & = { frac { částečné A_ {z} } { částečné y}} - { frac { částečné A_ {y}} { částečné z}} konec {zarovnáno}}}$

Výrazy pro ${ displaystyle ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ {y}}$ a ${ displaystyle ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ {z}}$ se nacházejí stejným způsobem.

Válcová derivace

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {div} mathbf {A} & = lim _ {V to 0} { frac { iint _ { částečné V} mathbf {A} cdot d mathbf {S}} { iiint _ {V} dV}} & = { frac {A _ { rho} ( rho + d rho) ( rho + d rho) d phi dz- A _ { rho} ( rho) rho d phi dz + A _ { phi} ( phi + d phi) d rho dz-A _ { phi} ( phi) d rho dz + A_ { z} (z + dz) d rho ( rho + d rho / 2) d phi -A_ {z} (z) d rho ( rho + d rho / 2) d phi} { rho d phi d rho dz}} & = { frac {1} { rho}} { frac { částečný ( rho A _ { rho})} { částečný rho}} + { frac {1} { rho}} { frac { částečné A _ { phi}} { částečné phi}} + { frac { částečné A_ {z}} { částečné z}} konec { zarovnaný}}}

{ displaystyle { begin {aligned} ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ { rho} & = lim _ {S ^ { perp { boldsymbol { hat { rho}}}} to 0} { frac { int _ { částečné S} mathbf {A} cdot d mathbf { ell}} { iint _ {S} dS}} & = { frac {A_ { phi} (z) ( rho + d rho) d phi -A _ { phi} (z + dz) ( rho + d rho) d phi + A_ {z} ( phi + d phi) dz-A_ {z} ( phi) dz} {( rho + d rho) d phi dz}} & = - { frac { částečný A _ ​​{ phi}} { částečný z}} + { frac {1} { rho}} { frac { částečné A_ {z}} { částečné phi}} konec {zarovnáno}}}

{ displaystyle { begin {aligned} ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ { phi} & = lim _ {S ^ { perp { boldsymbol { hat { phi}}}} to 0} { frac { int _ { částečné S} mathbf {A} cdot d mathbf { ell}} { iint _ {S} dS}} & = { frac {A_ {z} ( rho) dz-A_ {z} ( rho + d rho) dz + A _ { rho} (z + dz) d rho -A _ { rho} (z) d rho} { d rho dz}} & = - { frac { částečné A_ {z}} { částečné rho}} + { frac { částečné A _ { rho}} { částečné z}} konec {zarovnaný}}}

{ displaystyle { begin {aligned} ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ {z} & = lim _ {S ^ { perp { boldsymbol { hat {z}}}}} na 0} { frac { int _ { částečné S} mathbf {A} cdot d mathbf { ell}} { iint _ {S} dS}} & = { frac {A _ { rho} ( phi) d rho -A _ { rho} ( phi + d phi) d rho + A _ { phi} ( rho + d rho) ( rho + d rho) d phi -A _ { phi} ( rho) rho d phi} { rho d rho d phi}} & = - { frac {1} { rho}} { frac { částečný A _ { rho}} { částečné phi}} + { frac {1} { rho}} { frac { částečné ( rho A _ { phi})} { částečné rho}} konec {zarovnaný}}}

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {curl} mathbf {A} & = ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ { rho} { hat { boldsymbol { rho}}} + ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ { phi} { hat { boldsymbol { phi}}} + ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ {z} { hat { boldsymbol {z}}} & = left ({ frac {1} { rho}} { frac { částečné A_ {z}} { částečné phi}} - { frac { částečné A _ { phi}} { částečné z}} pravé) { hat { boldsymbol { rho}}} + levé ({ frac { částečné A _ { rho}} { částečné z}} - { frac { částečné A_ {z}} { částečné rho}} pravé) { hat { boldsymbol { phi}}} + { frac {1} { rho}} vlevo ({ frac { částečné ( rho A _ { phi})} { částečné rho}} - { frac { částečné A _ { rho}} { částečné phi}} pravé) { hat { tučný symbol {z}}} end {zarovnáno}}}

Sférická derivace

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {div} mathbf {A} & = lim _ {V to 0} { frac { iint _ { částečné V} mathbf {A} cdot d mathbf {S}} { iiint _ {V} dV}} & = { frac {A_ {r} (r + dr) (r + dr) d theta , (r + dr) sin theta d phi -A_ {r} (r) rd theta , r sin theta d phi + A _ { theta} ( theta + d theta) sin ( theta + d theta) , rdrd phi -A _ { theta} ( theta) sin ( theta) , rdrd phi + A _ { phi} ( phi + d phi) rdrd theta -A _ { phi} ( phi) rdrd theta} {dr , rd theta , r sin theta d phi}} & = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné (r ^ {2} A_ {r})} { částečné r}} + { frac {1} {r sin theta}} { frac { částečné (A _ { theta} sin theta) } { částečné theta}} + { frac {1} {r sin theta}} { frac { částečné A _ { phi}} { částečné phi}} konec {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ {r} = lim _ {S ^ { perp { boldsymbol { hat {r}}}} na 0 } { frac { int _ { částečné S} mathbf {A} cdot d mathbf { ell}} { iint _ {S} dS}} & = { frac {A _ { theta} ( phi) , rd theta + A _ { phi} ( theta + d theta) , r sin ( theta + d theta) d phi -A _ { theta} ( phi + d phi) , rd theta -A _ { phi} ( theta) , r sin ( theta) d phi} {rd theta , r sin theta d phi}} & = { frac {1} {r sin theta}} { frac { částečné (A _ { phi} sin theta)} {{částečné theta}} - { frac {1} {r sin theta}} { frac { částečné A _ { theta}} { částečné phi}} konec {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ { theta} = lim _ {S ^ { perp { boldsymbol { hat { theta}}}} do 0} { frac { int _ { částečné S} mathbf {A} cdot d mathbf { ell}} { iint _ {S} dS}} & = { frac {A _ { phi } (r) , r sin theta d phi + A_ {r} ( phi + d phi) dr-A _ { phi} (r + dr) (r + dr) sin theta d phi -A_ {r} ( phi) dr} {dr , r sin theta d phi}} & = { frac {1} {r sin theta}} { frac { částečné A_ {r}} { částečné phi}} - { frac {1} {r}} { frac { částečné (rA _ { phi})} { částečné r}} konec {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ { phi} = lim _ {S ^ { perp { boldsymbol { hat { phi}}}} do 0} { frac { int _ { částečné S} mathbf {A} cdot d mathbf { ell}} { iint _ {S} dS}} & = { frac {A_ {r} ( theta) dr + A _ { theta} (r + dr) (r + dr) d theta -A_ {r} ( theta + d theta) dr-A _ { theta} (r) , rd theta} {(r) drd theta}} & = { frac {1} {r}} { frac { částečné (rA _ { theta})} { částečné r}} - { frac {1} {r}} { frac { částečné A_ {r}} { částečné theta}} konec {zarovnáno}}}$

${ displaystyle operatorname {curl} mathbf {A} = ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ {r} , { hat { boldsymbol {r}}} + ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ { theta} , { hat { boldsymbol { theta}}} + ( operatorname {curl} mathbf {A}) _ { phi} , { hat { boldsymbol { phi}}} = { frac {1} {r sin theta}} left ({ frac { částečné (A _ { phi} sin theta)} { částečné theta}} - { frac { částečné A _ { theta}} { částečné phi}} pravé) { hat { boldsymbol {r}}} + { frac {1} {r}} levé ({ frac {1} { sin theta}} { frac { částečné A_ {r}} { částečné phi}} - { frac { částečné (rA _ { phi})} { částečné r}} right) { hat { boldsymbol { theta}}} + { frac {1} {r}} left ({ frac { částečné (rA _ { theta})} { částečné r}} - { frac { částečné A_ {r}} { částečné theta}} pravé) { hat { boldsymbol { phi}}}}$

Vzorec převodu jednotkových vektorů

Jednotkový vektor parametru souřadnic u je definována takovým způsobem, že malá pozitivní změna v u způsobí poziční vektor ${ displaystyle { boldsymbol { vec {r}}}}$ změnit ${ displaystyle { boldsymbol { hat {u}}}}$ směr.

Proto,

{ displaystyle { částečný { boldsymbol { vec {r}}} přes částečný u} = { částečný {s} přes částečný u} { boldsymbol { klobouk {u}}}}

kde s je parametr délky oblouku.

Pro dvě sady souřadnicových systémů ${ displaystyle u_ {i}}$ a ${ displaystyle v_ {j}}$ , podle řetězové pravidlo,

{ displaystyle d { boldsymbol { vec {r}}} = součet _ {i} { částečný { boldsymbol { vec {r}}} přes částečný u_ {i}} du_ {i} = sum _ {i} { částečné {s} nad částečné u_ {i}} { boldsymbol { hat {u_ {i}}}} du_ {i} = součet _ {j} { částečné { s} přes částečné v_ {j}} { boldsymbol { hat {v_ {j}}}} dv_ {j} = součet _ {j} { částečné {s} přes částečné v_ {j} } { boldsymbol { hat {v_ {j}}}} sum _ {i} { parciální {v_ {j}} over parciální u_ {i}} du_ {i} = sum _ {i} sum _ {j} { částečné {s} nad částečné v_ {j}} { částečné {v_ {j}} nad částečné u_ {i}} { boldsymbol { hat {v_ {j} }}} du_ {i}}

Nyní izolujeme ${ displaystyle i ^ {th}}$ součástka. Pro ${ displaystyle i { neq} k}$ , nechť ${ displaystyle du_ {k} = 0}$ . Poté vydělte na obou stranách znakem ${ displaystyle du_ {i}}$ dostat:

{ displaystyle { částečné {s} nad částečné u_ {i}} { boldsymbol { hat {u_ {i}}}} = součet _ {j} { částečné {s} přes částečné v_ {j}} { částečné {v_ {j}} nad částečné u_ {i}} { boldsymbol { hat {v_ {j}}}}}

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Griffiths, David J. (2012). Úvod do elektrodynamiky. Pearson. ISBN 978-0-321-85656-2.
^ Weisstein, Eric W. „Konvektivní operátor“. Mathworld. Citováno 23. března 2011.

externí odkazy

Skripty systému Maxima Computer Algebra generovat některé z těchto operátorů ve válcových a sférických souřadnicích.

[griffiths-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Griffiths, David J. (2012). Úvod do elektrodynamiky. Pearson. ISBN 978-0-321-85656-2.

[Mathworld-2] Weisstein, Eric W. „Konvektivní operátor“. Mathworld. Citováno 23. března 2011.

[1]

α

[2]