Dirichletova forma - Dirichlet form - Wikipedia

tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Září 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V oboru matematika známý jako teorie potenciálu (a v funkční analýza ), Dirichletova forma je zevšeobecněním Laplacian které lze definovat na každém změřte prostor, aniž by bylo nutné zmínit částečné derivace. To umožňuje matematikům studovat Laplaceova rovnice a rovnice tepla na prostorech, které nejsou rozdělovače: například, fraktály. Výhodou v těchto prostorech je, že to lze udělat, aniž byste potřebovali operátor přechodu, a zejména můžete dokonce slabě definovat „laplacián“ tímto způsobem, pokud začínáte formou Dirichlet. Klasická Dirichletova forma na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ darováno:

${ displaystyle { mathcal {E}} (u, v) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} nabla u (x) cdot nabla v (x) ; dx}$

kde se často diskutuje ${ displaystyle { mathcal {E}} (u): = { mathcal {E}} (u, u) = | nabla u | _ {2} ^ {2}}$ která se často označuje jako „energie“ funkce ${ displaystyle u (x)}$. Funkce, které minimalizují energii danou určitými okrajovými podmínkami, se nazývají harmonické a přidružený Laplacian (slabý nebo ne) bude v interiéru podle očekávání nulový. Jako alternativní příklad je standardní graf Dirichletovy formy dán vztahem:

${ displaystyle { mathcal {E}} _ {G} (u, v) = součet _ {x sim y} ((u (x) -u (y)) (v (x) -v (y ))}$

kde ${ displaystyle x sim y}$ znamená, že jsou spojeny hranou. Nechť je vybrána podmnožina sady vrcholů a nazvěme ji hranicí grafu. Přiřaďte Dirichletovu okrajovou podmínku (pro každý hraniční vrchol vyberte reálná čísla). Lze najít funkci, která minimalizuje energii grafu a bude harmonická. Zejména uspokojí průměrnou vlastnost, kterou ztělesňuje graf Laplacian, tedy pokud ${ displaystyle u_ {G} (x)}$ je tedy harmonická v grafu ${ displaystyle Delta _ {G} u_ {G} (x) = součet _ {y sim x} (u_ {G} (y) -u_ {G} (x)) = 0}$ na které lze samozřejmě přeskupit ${ displaystyle u_ {G} (x) = { frac {1} {| {y: y sim x } |}} součet _ {y sim x} u_ {G} (y)}$ ukazující vlastnost průměrování.

Technicky, a Dirichletova forma je Markovian Zavřeno symetrická forma na L²-prostor.^[1] Tyto objekty jsou studovány v teorie abstraktního potenciálu, založené na klasice Dirichletův princip. Teorie Dirichletových forem vznikla v díle Beurlinga a Denyho (1958, 1959 ) na Dirichletových prostorech.

Dirichletův formulář na a změřte prostor ${ displaystyle (X, mu)}$ je bilineární funkce

${ displaystyle { mathcal {E}}: D krát D to mathbb {R}}$

takhle

1) ${ displaystyle D}$ je hustá podmnožina ${ displaystyle L ^ {2} (X, mu)}$

2) ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ je symetrický, to znamená ${ displaystyle { mathcal {E}} (u, v) = { mathcal {E}} (v, u)}$ pro každého ${ displaystyle u, v v D}$.

3) ${ displaystyle { mathcal {E}} (u, u) geq 0}$ pro každého ${ displaystyle u v D}$.

4) Sada ${ displaystyle D}$ vybavené vnitřním výrobkem definovaným ${ displaystyle (u, v) _ { mathcal {E}}: = (u, v) _ {L ^ {2} (X, mu)} + { mathcal {E}} (u, v) }$ je skutečný Hilbertův prostor.

5) Pro každého ${ displaystyle u v D}$ máme to ${ displaystyle u _ {*} = min ( max (u, 0), 1) v D}$ a ${ displaystyle { mathcal {E}} (u _ {*}, u _ {*}) leq { mathcal {E}} (u, u)}$

Jinými slovy, Dirichletova forma není nic jiného než nezáporná symetrická bilineární forma definovaná v husté podmnožině ${ displaystyle L ^ {2} (X, mu)}$ tak, že 4) a 5) platí. Alternativně kvadratická forma ${ displaystyle u to { mathcal {E}} (u, u)}$ sama o sobě je známá jako Dirichletova forma a je stále označována ${ displaystyle { mathcal {E}}}$,tak ${ displaystyle { mathcal {E}} (u): = { mathcal {E}} (u, u)}$.

Nejznámější Dirichletova forma je Dirichletova energie funkcí ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$

${ displaystyle { mathcal {E}} (u) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u | ^ {2} ; dx}$

což vede k Sobolevův prostor ${ displaystyle H ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n})}$. Další příklad Dirichletovy formy uvádí

${ displaystyle { mathcal {E}} (u) = iint _ { mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n}} (u (y) -u (x)) ^ {2} k (x, y) , mathrm {d} x , mathrm {d} y}$

kde ${ displaystyle k: mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ je nějaká nezáporná symetrická integrální jádro.

Pokud jádro ${ displaystyle k}$ uspokojuje vázané ${ displaystyle k (x, y) leq Lambda | x-y | ^ {- n-s}}$, pak je kvadratická forma ohraničena ${ displaystyle { dot {H}} ^ {s / 2}}$.Kromě toho ${ displaystyle lambda | x-y | ^ {- n-s} leq k (x, y)}$, pak je forma srovnatelná s normou v ${ displaystyle { dot {H}} ^ {s / 2}}$ na druhou a v tom případě sada${ displaystyle D podmnožina L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n})}$ definované výše je dáno vztahem ${ displaystyle H ^ {s / 2} ( mathbb {R} ^ {n})}$. Dirichletovy formy jsou tedy přirozeným zobecněním Dirichletovy integrály

${ displaystyle { mathcal {E}} (u) = int (A nabla u, nabla u) ; mathrm {d} x,}$

kde ${ displaystyle A (x)}$ je pozitivní symetrická matice. Euler-Lagrangeova rovnice Dirichletovy formy je nelokálním analogem eliptických rovnic ve formě divergence. Rovnice tohoto typu jsou studovány pomocí variačních metod a očekává se, že budou splňovat podobné vlastnosti.^[2][3][4]

Reference

• Beurling, Arne; Deny, J. (1958), "Espaces de Dirichlet. I. Le cas élémentaire", Acta Mathematica, 99 (1): 203–224, doi:10.1007 / BF02392426, ISSN  0001-5962, PAN  0098924
• Beurling, Arne; Deny, J. (1959), "Dirichletovy prostory", Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 45 (2): 208–215, Bibcode:1959PNAS ... 45..208B, doi:10.1073 / pnas.45.2.208, ISSN  0027-8424, JSTOR  90170, PAN  0106365, PMC  222537, PMID  16590372
• Fukushima, Masatoshi (1980), Dirichletovy formy a Markovovy procesyMatematická knihovna v Severním Holandsku, 23, Amsterdam: Severní Holandsko, ISBN  978-0-444-85421-6, PAN  0569058
• Jost, Jürgen; Kendall, Wilfrid; Mosco, Umberto; Röckner, Michael; Sturm, Karl-Theodor (1998), Nové směry v Dirichletových formách, AMS / IP Studies in Advanced Mathematics, 8„Providence, RI: American Mathematical Society, str. xiv + 277, ISBN  978-0-8218-1061-3, PAN  1652277.
• "Abstraktní teorie potenciálu", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]